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文档简介
广东省深圳市育才第二中学2024届十校联考最后数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,AD为△ABC的中线,点E为AC边的中点,连接DE,则下列结论中不一定成立的是()A.DC=DE B.AB=2DE C.S△CDE=S△ABC D.DE∥AB2.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增,计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位:m1),绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断:①年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费;②年用水量不超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费;③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180m1之间;④该市居民家庭年用水量的众数约为110m1.其中合理的是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④3.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()A.x>0 B.x≥0 C.x≠0 D.任意实数4.下列分式中,最简分式是()A. B. C. D.5.某排球队名场上队员的身高(单位:)是:,,,,,.现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员,与换人前相比,场上队员的身高()A.平均数变小,方差变小 B.平均数变小,方差变大C.平均数变大,方差变小 D.平均数变大,方差变大6.欧几里得的《原本》记载,形如的方程的图解法是:画,使,,,再在斜边上截取.则该方程的一个正根是()A.的长 B.的长 C.的长 D.的长7.如图,在△ABC中,过点B作PB⊥BC于B,交AC于P,过点C作CQ⊥AB,交AB延长线于Q,则△ABC的高是()A.线段PB B.线段BC C.线段CQ D.线段AQ8.有三张正面分别标有数字-2,3,4的不透明卡片,它们除数字不同外,其余全部相同,现将它们背面朝上洗匀后,从中任取一张(不放回),再从剩余的卡片中任取一张,则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是()A. B. C. D.9.如图,边长为2a的等边△ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是()A. B.a C. D.10.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术.为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用来求得较为精确的圆周率.祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数增加24576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时是领先其他国家一千多年,如图,依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是()A.0.5 B.1 C.3 D.π11.如图,直线、及木条在同一平面上,将木条绕点旋转到与直线平行时,其最小旋转角为().A. B. C. D.12.已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3,则用科学记数法表示该数为()A.1.239×10﹣3g/cm3 B.1.239×10﹣2g/cm3C.0.1239×10﹣2g/cm3 D.12.39×10﹣4g/cm3二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为_________.14.如图,在矩形ABCD中,AD=4,点P是直线AD上一动点,若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个,则AB的长为.15.如图,利用图形面积的不同表示方法,能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可).16.已知点P(3,1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,﹣1﹣b),则ab的值为_____.17.已知点P是线段AB的黄金分割点,PA>PB,AB=4cm,则PA=____cm.18.某商品原价100元,连续两次涨价后,售价为144元.若平均每次增长率为x,则x=__________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)在平面直角坐标系中,某个函数图象上任意两点的坐标分别为(﹣t,y1)和(t,y2)(其中t为常数且t>0),将x<﹣t的部分沿直线y=y1翻折,翻折后的图象记为G1;将x>t的部分沿直线y=y2翻折,翻折后的图象记为G2,将G1和G2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G.例如:如图,当t=1时,原函数y=x,图象G所对应的函数关系式为y=.(1)当t=时,原函数为y=x+1,图象G与坐标轴的交点坐标是.(2)当t=时,原函数为y=x2﹣2x①图象G所对应的函数值y随x的增大而减小时,x的取值范围是.②图象G所对应的函数是否有最大值,如果有,请求出最大值;如果没有,请说明理由.(3)对应函数y=x2﹣2nx+n2﹣3(n为常数).①n=﹣1时,若图象G与直线y=2恰好有两个交点,求t的取值范围.②当t=2时,若图象G在n2﹣2≤x≤n2﹣1上的函数值y随x的增大而减小,直接写出n的取值范围.20.(6分)关于的一元二次方程有实数根.求的取值范围;如果是符合条件的最大整数,且一元二次方程与方程有一个相同的根,求此时的值.21.(6分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=10,OE=3,求tan∠DBC的值.22.(8分)如图,把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD,点E、F分别是CB、DC延长上的动点,且始终保持BE=CF,连结AE、AF、EF.求证:AEF是等边三角形.23.(8分)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.24.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,BD为对角线,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接AF、CE,求证:AF=CE.25.(10分)甲班有45人,乙班有39人.现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加歌咏比赛.如果从甲班抽调的人数比乙班多1人,那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍.请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛?26.(12分)计算:×(2﹣)﹣÷+.27.(12分)先化简:,然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解题分析】
根据三角形中位线定理判断即可.【题目详解】∵AD为△ABC的中线,点E为AC边的中点,
∴DC=BC,DE=AB,∵BC不一定等于AB,∴DC不一定等于DE,A不一定成立;∴AB=2DE,B一定成立;S△CDE=S△ABC,C一定成立;DE∥AB,D一定成立;故选A.【题目点拨】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.2、B【解题分析】
利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案.【题目详解】①由条形统计图可得:年用水量不超过180m1的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万),
×100%=80%,故年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费,正确;
②∵年用水量超过240m1的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(万),
∴×100%=7%≠5%,故年用水量超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费,故此选项错误;
③∵5万个数据的中间是第25000和25001的平均数,
∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间,故此选项错误;
④该市居民家庭年用水量为110m1有1.5万户,户数最多,该市居民家庭年用水量的众数约为110m1,因此正确,
故选B.【题目点拨】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义,正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键.3、C【解题分析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行解答.【题目详解】解:依题意得:x2≥1且x≠1.解得x≠1.故选C.【题目点拨】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.解题时,注意分母不等于零且被开方数是非负数.4、A【解题分析】试题分析:选项A为最简分式;选项B化简可得原式==;选项C化简可得原式==;选项D化简可得原式==,故答案选A.考点:最简分式.5、A【解题分析】分析:根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差,再根据方差的意义即可得出答案.详解:换人前6名队员身高的平均数为==188,方差为S2==;换人后6名队员身高的平均数为==187,方差为S2==∵188>187,>,∴平均数变小,方差变小,故选:A.点睛:本题考查了平均数与方差的定义:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.6、B【解题分析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根,根据勾股定理求出AB的长,进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得:∵∴∴AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等,熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.7、C【解题分析】
根据三角形高线的定义即可解题.【题目详解】解:当AB为△ABC的底时,过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,故选C.【题目点拨】本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.8、C【解题分析】画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况,
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是:.故选C.【题目点拨】运用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.9、A【解题分析】
取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出∠HBN=∠MBG,根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短,再根据∠BCH=30°求解即可.【题目详解】如图,取BC的中点G,连接MG,∵旋转角为60°,∴∠MBH+∠HBN=60°,又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,∴∠HBN=∠GBM,∵CH是等边△ABC的对称轴,∴HB=AB,∴HB=BG,又∵MB旋转到BN,∴BM=BN,在△MBG和△NBH中,,∴△MBG≌△NBH(SAS),∴MG=NH,根据垂线段最短,MG⊥CH时,MG最短,即HN最短,此时∵∠BCH=×60°=30°,CG=AB=×2a=a,∴MG=CG=×a=,∴HN=,故选A.【题目点拨】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,垂线段最短的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.10、C【解题分析】
连接OC、OD,根据正六边形的性质得到∠COD=60°,得到△COD是等边三角形,得到OC=CD,根据题意计算即可.【题目详解】连接OC、OD,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠COD=60°,又OC=OD,∴△COD是等边三角形,∴OC=CD,正六边形的周长:圆的直径=6CD:2CD=3,故选:C.【题目点拨】本题考查的是正多边形和圆,掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.11、B【解题分析】
如图所示,过O点作a的平行线d,根据平行线的性质得到∠2=∠3,进而求出将木条c绕点O旋转到与直线a平行时的最小旋转角.【题目详解】如图所示,过O点作a的平行线d,∵a∥d,由两直线平行同位角相等得到∠2=∠3=50°,木条c绕O点与直线d重合时,与直线a平行,旋转角∠1+∠2=90°.故选B【题目点拨】本题主要考查图形的旋转与平行线,解题的关键是熟练掌握平行线的性质.12、A【解题分析】试题分析:0.001219=1.219×10﹣1.故选A.考点:科学记数法—表示较小的数.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、1a1.【解题分析】
结合图形,发现:阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积.【题目详解】阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积=(1a)1+a1-×1a×3a=4a1+a1-3a1=1a1.故答案为:1a1.【题目点拨】此题考查了整式的混合运算,关键是列出求阴影部分面积的式子.14、1.【解题分析】试题分析:如图,当AB=AD时,满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个,△P1BC,△P2BC是等腰直角三角形,△P3BC是等腰直角三角形(P3B=P3C),则AB=AD=1,故答案为1.考点:矩形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;分类讨论.15、(a+b)2=a2+2ab+b2【解题分析】
完全平方公式的几何背景,即乘法公式的几何验证.此类题型可从整体和部分两个方面分析问题.本题从整体来看,整个图形为一个正方形,找到边长,表示出面积,从部分来看,该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示,从不同角度思考,但是同一图形,所以它们面积相等,列出等式.【题目详解】解:,【题目点拨】此题考查了完全平方公式的几何意义,从不同角度思考,用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.16、2【解题分析】
根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”求出ab的值即可.【题目详解】∵点P(3,1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,﹣1﹣b),∴a+b=-3,-1-b=1;解得a=-1,b=-2,∴ab=2.故答案为2.【题目点拨】本题考查了关于x轴,y轴对称的点的坐标,解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的坐标的性质.17、2-2【解题分析】
根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AP=AB,代入运算即可.【题目详解】解:由于P为线段AB=4的黄金分割点,且AP是较长线段;则AP=4×=cm,故答案为:(2-2)cm.【题目点拨】此题考查了黄金分割的定义,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的,难度一般.18、20%.【解题分析】试题分析:根据原价为100元,连续两次涨价x后,现价为144元,根据增长率的求解方法,列方程求x.试题解析:依题意,有:100(1+x)2=144,1+x=±1.2,解得:x=20%或-2.2(舍去).考点:一元二次方程的应用.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)(2,0);(2)①﹣≤x≤1或x≥;②图象G所对应的函数有最大值为;(3)①;②n≤或n≥.【解题分析】
(1)根据题意分别求出翻转之后部分的表达式及自变量的取值范围,将y=0代入,求出x值,即可求出图象G与坐标轴的交点坐标;(2)画出函数草图,求出翻转点和函数顶点的坐标,①根据图象的增减性可求出y随x的增大而减小时,x的取值范围,②根据图象很容易计算出函数最大值;(3)①将n=﹣1代入到函数中求出原函数的表达式,计算y=2时,x的值.据(2)中的图象,函数与y=2恰好有两个交点时t大于右边交点的横坐标且-t大于左边交点的横坐标,据此求解.②画出函数草图,分别计算函数左边的翻转点A,右边的翻转点C,函数的顶点B的横坐标(可用含n的代数式表示),根据函数草图以及题意列出关于n的不等式求解即可.【题目详解】(1)当x=时,y=,当x≥时,翻折后函数的表达式为:y=﹣x+b,将点(,)坐标代入上式并解得:翻折后函数的表达式为:y=﹣x+2,当y=0时,x=2,即函数与x轴交点坐标为:(2,0);同理沿x=﹣翻折后当时函数的表达式为:y=﹣x,函数与x轴交点坐标为:(0,0),因为所以舍去.故答案为:(2,0);(2)当t=时,由函数为y=x2﹣2x构建的新函数G的图象,如下图所示:点A、B分别是t=﹣、t=的两个翻折点,点C是抛物线原顶点,则点A、B、C的横坐标分别为﹣、1、,①函数值y随x的增大而减小时,﹣≤x≤1或x≥,故答案为:﹣≤x≤1或x≥;②函数在点A处取得最大值,x=﹣,y=(﹣)2﹣2×(﹣)=,答:图象G所对应的函数有最大值为;(3)n=﹣1时,y=x2+2x﹣2,①参考(2)中的图象知:当y=2时,y=x2+2x﹣2=2,解得:x=﹣1±,若图象G与直线y=2恰好有两个交点,则t>﹣1且-t>,所以;②函数的对称轴为:x=n,令y=x2﹣2nx+n2﹣3=0,则x=n±,当t=2时,点A、B、C的横坐标分别为:﹣2,n,2,当x=n在y轴左侧时,(n≤0),此时原函数与x轴的交点坐标(n+,0)在x=2的左侧,如下图所示,则函数在AB段和点C右侧,故:﹣2≤x≤n,即:在﹣2≤n2﹣2≤x≤n2﹣1≤n,解得:n≤;当x=n在y轴右侧时,(n≥0),同理可得:n≥;综上:n≤或n≥.【题目点拨】在做本题时,可先根据题意分别画出函数的草图,根据草图进行分析更加直观.在做第(1)问时,需注意翻转后的函数是分段函数,所以对最终的解要进行分析,排除掉自变量之外的解;(2)根据草图很直观的便可求得;(3)①需注意图象G与直线y=2恰好有两个交点,多于2个交点的要排除;②根据草图和增减性,列出不等式,求解即可.20、(1);(2)的值为.【解题分析】
(1)利用判别式的意义得到,然后解不等式即可;(2)利用(1)中的结论得到的最大整数为2,解方程解得,把和分别代入一元二次方程求出对应的,同时满足.【题目详解】解:(1)根据题意得,解得;(2)的最大整数为2,方程变形为,解得,∵一元二次方程与方程有一个相同的根,∴当时,,解得;当时,,解得,而,∴的值为.【题目点拨】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.21、(1)见解析;(2)tan∠DBC=.【解题分析】
(1)先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再利用平行线的性质得∠AEO=90°,则根据垂径定理得到,从而有AD=CD;(2)先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE,则根据正切的定义得到tan∠DAE的值,然后根据圆周角定理得到∠DAC=∠DBC,从而可确定tan∠DBC的值.【题目详解】(1)证明:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴,∴AD=CD;(2)解:∵AB=10,∴OA=OD=5,∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2,在Rt△OAE中,AE==4,∴tan∠DAE=,∵∠DAC=∠DBC,∴tan∠DBC=.【题目点拨】垂径定理及圆周角定理是本题的考点,熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.22、见解析【解题分析】分析:由等边三角形的性质即可得出∠ABE=∠ACF,由全等三角形的性质即可得出结论.详解:证明:∵△ABC和△ACD均为等边三角形∴AB=AC,∠ABC=∠ACD=60°,∴∠ABE=∠ACF=120°,∵BE=CF,∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∴∠EAB=∠FAC,∴∠EAF=∠BAC=60°,∴△AEF是等边三角形.点睛:此题是四边形综合题,主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是判断出△ABE≌△ACF.23、解:(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,理由见解析(2)BE=1.【解题分析】试题分析:(1)连接OD,可知由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°,再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°,从而得∠CDO=90°,根据切线的判定即可得出;(2)由已知利用勾股定理可求得DC的长,根据切线长定理有DE=EB,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.试题解析:(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,理由是:连接OD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DB
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