初中数学规律探究题的解题方法

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h初中数学规律探究题的解法指导广南县篆角乡初级中学郭应龙新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。 笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。一、数式规律探究 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律①1、4、9、16......n2②1、3、6、10……③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=⑤1+3+5+…+(2n-1)=n2⑥2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦12+22+32….+n2=n(n+1)(2n+1)⑧13+23+33….+n3=n2(n+1）数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×=1-②2×=2-③3×=3-④4×=4-……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：①1×=1-观察相应位置上变化的数字与序列号②2×=2-的对应关系（注意分清正整数的奇偶）③3×=3-易观察出结果为：④4×=4-n×=n-例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：32.函数法例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：所剪次数1234…n正三角形个数471013…an则an=（用含n的代数式表示）分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）正三角形个数：4、7、10、13第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b第一次求差：333代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1∴an=3n+1例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。分析：对这组数据做求差处理：原数125101726 第一次求差：13579第二次求差：2222第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y=x2-2x+2=（x-1）2+1∴当=8时，y=50尝试练习：1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。2.观察下列各式：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5……设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。3.观察下列各式：=2；=3；=4……请你将猜想到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。4.已知：2+=22×；3+=32×；4+=42×；5+=52×…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=。已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式：。6、观察下列算式：，，，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：.1、下面有8个算式，排成4行2列2＋2，2×23＋，3×4＋，4×5＋，5×……，……（1）同一行中两个算式的结果怎样？（2）算式2005＋和2005×的结果相等吗？（3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数n的代数式表示这一规律。（5分）2、你能很快算出吗？（5分）为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的正整数的平方，任意一个个位数为5的正整数可写成10n＋5（n为正整数），即求的值，试分析，2，3……这些简单情形，从中探索其规律。⑴通过计算，探索规律:可写成；可写成；可写成；可写成；………………可写成________________________________可写成________________________________⑵根据以上规律，试计算=3（5分）已知;;

（1）猜想填空：

（2）计算①②23+43+63+983+……+10031、观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，……猜想：（1）1＋3＋5＋7…＋99＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝_____________.（结果用含n的式子表示，其中n=1,2,3,……）。2、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，－；；－；；；；……；第2003个数是。二、图形规律探究由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。拆图法例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。（1）（2）（3）（1）（2）（3）分析：本例①可拆为即1+3=4（根）第②拆为即1+32=7（根）；第③图可拆为即1+33=10(根)由此可知，第⑩图为1+310=31（根），第n个图为：（3n+1）根。例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△①②③分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第n堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。尝试练习：1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．……n=1n=2n=33．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝．（用……n=1n=2n=3（1）（2）（3）4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．（1）（2）（3）5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！三、课外拓展：1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则a99=。5.已知=1-，=-，=-……，则+++…+=；用相同思路探究：++…+=。6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．………第1幅第2幅第3幅第n幅图57．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．第1个图形第2