2022年内蒙古包头高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知非零向量满足£石=0，g=3,且£与£+坂的夹角为一，则|司=（）

4

A.6B.3亚C.272D.3

2.已知函数/（幻=5由（的+9）（3>0,|0区工），x=-生为/（X）的零点，x=工为y=/（x）图象的对称轴，且/（X）

244

在区间（?，g）上单调，则”的最大值是（）

A.C.10D.9

、8

3.的二项展开式中,X2的系数是（）

A.70B.-70C.28D.-28

4.函数y=，4—4的定义域为A,集合8={x|log2（x+l）>l},则AD8=（）

A.{x[l<x<2}B.{x|-2<x<2}C.{x|-2<x<3}D.{x[l<x<3}

5.已知集合A={0,1,2},B={x|Mx-2）<0}jJl!!AnB=

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

6.已知函数/（x）=Acos（s+。）（A>0,。>0,|^|<|）,将函数的图象向左平移彳个单位长度，得到

函数g（x）的部分图象如图所示，则是+=@的（）

31212J3

B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排

木工工作，则不同的安排方法共有()

A.12种B.18种C.24种D.64种

8.函数〃%)=6*+狈(«<0)的图像可以是()

A.20B.1816D.14

10.若|OA|=1,|OB|=Vs>OA-OB=0»点C在AB上，且NAOC=30°，设近=加丽+〃砺

tn

则一的值为（）

n

A.-B.3C.—D.也

33

11.双曲线二—V=i的渐近线方程是（）

4

A.y=土昱xB.y=±-xC.y=

D.y=±2x

232

12.已知函数，(x)=xx-/n—I，关于X的方程/(x)=a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是()

iaI

A.(0,1)U(1,e)B.

(1A

C.-AD.(0,1)

leJ

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某市公租房源位于A、3、。三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房

子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源的概率是.(用数字作答)

14.已知｛4｝为等差数列，S“为其前n项和，若q=6,4+/=°，贝!|S6=.

15.已知向量£,B满足忖=2,W=l，,一0=6，则向量Z在的夹角为.

16.已知数列｛可｝是各项均为正数的等比数列，若弓-4=5,则g+8%的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)若。>0,〃>0,且，+1=而

ab

(1)求/+匕3的最小值；

(2)是否存在风尻使得2a+3〃=6?并说明理由.

18.(12分)如图，点T为圆。：f+y2=i上一动点，过点丁分别作了轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B,连接

84延长至点P,使得丽=而，点P的轨迹记为曲线C.

(2)若点A,3分别位于x轴与)'轴的正半轴上，直线A8与曲线C相交于"，N两点，且|A8|=1,试问在曲线

C上是否存在点。，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线/方程；若不存在，说明理由.

19.(12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中

随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：

处罚金额X(单位：元)5101520

会闯红灯的人数y50402010

若用表中数据所得频率代替概率.

(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；8类是其他市民.

现对A类与3类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为8类市民的概率是多少？

20.(12分)在直角坐标系xOy中，把曲线G：《\.(。为参数)上每个点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标

y=2sma

不变,得到曲线c,.以坐标原点为极点，以X轴正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程psin(6--)=472.

4

(1)写出的普通方程和G的直角坐标方程；

(2)设点M在上，点N在G上，求IMNI的最小值以及此时M的直角坐标.

21.(12分)在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有和“5”两种结果，其中某选手选择正确的概率为

P，选择错误的概率为小若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完〃道题后总得分为s“”.

(1)当。=4=(时，记J=S3,求自的分布列及数学期望；

1o

(2)当p=3,4时，求Sg=2且S,.20(i=l,2,3,4)的概率.

222

22.(10分)已知抛物线尸=4%的准线过椭圆C：0+白=1(4>b>0)的左焦点凡且点尸到直线/：x=—(c

为椭圆焦距的一半)的距离为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点?做直线与椭圆C交于A,B两点,尸是AB的中点，线段A5的中垂线交直线/于点Q.若|PQ|=2|AB|,求

直线AB的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

7T

解：非零向量£,B满足4石=0,可知两个向量垂直，1—1=3,且£与£+石的夹角为一，

4

说明以向量分为邻边，Z+B为对角线的平行四边形是正方形，所以则|B|=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

2.B

【解析】

由题意可得3(—£)+9=既，且3。+°=〃万+1，故有0=2伏J%)+1①，再根据:二£..£一£,求得g,12②,

44226y34

由①②可得①的最大值，检验。的这个值满足条件.

【详解】

解：函数f(x)=sin(<yx+e)3>0,\(p\„,

x=-f为/(力的零点，x=工为y=/(x)图象的对称轴，

44

69*()+0=Z4，且3*(p=kr7THk、KwZ,3=2(〃—A)+1,即①为奇数①.

442t

•.•/。)在(1,£)单调，.••〈马…；.如12②.

432G34

由①②可得。的最大值为1.

TT_rrTT

当G=11时，由工=一为y=/(x)图象的对称轴，可得11><£+8=无万+《，keZ,

442

故有°=一工，5(一£)+夕="，满足x=一色为/(x)的零点，

444

(71

同时也满足满足/(X)在［I，§J上单调，

故。=11为。的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

3.A

【解析】

试题分析：由题意得，二项展开式的通项为却|=《产’(一七)'=(—令8_}=2nr=4,所以/的

系数是(-1尸C；=7(),故选A.

考点：二项式定理的应用.

4.A

【解析】

根据函数定义域得集合A,解对数不等式得到集合B,然后直接利用交集运算求解.

【详解】

解：由函数y=j4_d得4一Y'o,解得一2WxW2,即4={川—2<x<2}；

Xlog2(x+l)>l=log22,解得x>l,即8={x|x>l},

则Ac8=1x|l<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.

5.A

【解析】

先解A、B集合，再取交集。

【详解】

x(x-2)<0=>0<x<2,所以B集合与A集合的交集为{1},故选A

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

6.B

【解析】

先根据图象求出函数g(X)的解析式，再由平移知识得到f(x)的解析式,然后分别找出

/1(X)=!和+苴的等价条件，即可根据充分条件，必要条件的定义求出.

3(212J3

【详解】

设g(x)=Asin(a)x+4),根据图象可知,

A=l,%=工-(-卫］=>丁=乃=>0=2,

46V12J

3兀

将函数g。)的图象向右平移了个单位长度，得到函数/⑺的图象,

.(.\(%](1、

I4jLI4J3jI3)

令。=x-刍,则sin。==>cos26=l-2sin?8=」,显然,cos29=—Ksin0—

63333

/(x)=：是g[曰+2]=迫的必要不充分条件.

3气212J3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式，三角函数的图形变换，二倍角公式的应用，充分条件,必要条件的定

义的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.

7.C

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有C：=6种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况,

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有用=2种情况，

此时有2x2=4种情况，

则有6x4=24种不同的安排方法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

8.B

【解析】

根据x<0,/(x)>0,可排除A。，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.

【详解】

由题可知：a<0,

所以当x<()时，/(%)>0,

又.r(x)=e*+a,

令/(x)>0,则%>ln(-a)

令/’(x)<0,则x<ln(-a)

所以函数“X)在(F/n(-a))单调递减

在(ln(—a),+8)单调递增，

故选：B

【点睛】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：(1)定义域；(2)奇偶性；(3)特殊值；(4)单调性；(5)值域，属

基础题.

9.A

【解析】

设等差数列｛q｝的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得为+%即可.

【详解】

.[%=7,[a+4<7=7,[a.=15,

设等差数列(/｝的公差为d.由5C得x…一八，解得c•所以

，，[a^+a-j=0[q+9d+q+6d=0[d=-2

4+%=2〃]+5d=2x15+5x(-2)=20.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解，属于基础题.

10.B

【解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【详解】

解：ZAOC=3(f

cos<OC,OA>=—

2

OCOA_6

OA+nOB)・OA百

一M砺+〃画明2

m|(?A|+nOB•OA6

yjm2|O4|2+2mnOAOB+n2|ofi|2|OA|2

V|OA|=1,\OB\=^3,OA.OB=O

m_V3

yjm2+3H22

/.m2=9n2

又在AB上

m>Q,n>0

:.-=3

n

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

11.C

【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】

2

由题意可知，双曲线3-丁=1的渐近线方程是),=±;.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.

12.D

【解析】

原问题转化为三•冬/〃三=1有四个不同的实根，换元处理令对g(f)=勿/一，；(/二]进行零点

aTaa7a\t)

个数讨论.

【详解】

x

由题意，a>2,令片一尸，

(Y)X21XX2

则/(x)=。<=>犬x-ln—=。<=^-----=>-=/n—=1

、aJay/ayjaa

当t<2时，g(f)=2ln(-£)-y[a(£一；)单调递减，且g(-2)=2,

又g(2)=2,J只需gQ)=2在(2,+oo)上有两个不等于2的不等根.

则/=0m=泻，

、r，、2tlnt「、

记力(力=----(fz>2且#2),

r-1

贝！)〃,⑺_(2/加+2心

二(r7)2=(r—IP

22

t2-\lt(t+\\-2t(t-}1(『—I)?

令(p(z)-Int>则(p'(/)=<2.

产+1(r+1>t(t2+I)2

t2-\

■：（p（2）=2,.\<p（Z）=—..../加在（2,2）大于2,在（2,+oo）上小于2.

r+1

：.h'（/）在（2,2）上大于2,在（2,+oo）上小于2,

则h（f）在（2,2）上单调递增，在（2,+oo）上单调递减.

由/z加挚加也上2=1,可得&V1，即“V2.

3产一1—I2

二实数。的取值范围是（2,2）.

故选：D.

【点睛】

此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.妈

243

【解析】

基本事件总数〃=3$=243，恰好有2人申请A小区房源包含的基本事件个数m=.2?=80,由此能求出该市的任意5

位申请人中，恰好有2人申请A小区房源的概率.

【详解】

解：某市公租房源位于A、8、C三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房

子是等可能的，

该市的任意5位申请人中，基本事件总数“=35=243,

该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源包含的基本事件个数：

3

OT=C；.2=80,

该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A小区房源的概率是=黑.

n243

必定4也.80

故答案为：——.

243

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

14.1

【解析】

试题分析：因为｛q｝是等差数列，所以的+%=2%=。，即4=0,又%-q=34=-6,所以d=—2,

所以§6=6q+15"=6x6+15x(-2)=6.故答案为1.

【考点】等差数列的基本性质

【名师点睛】在等差数列五个基本量,,d，n,6^中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列

的通项公式、前〃项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应

用.

15.-

3

【解析】

把归-囚=6平方利用数量积的运算化简即得解.

【详解】

因为,=2,忖=1,卜_q=6,

所以+歹=3，•,•。石=1，

二cos6=—，因为

2

7T

所以。=2.

故答案为：y

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16.40

【解析】

设等比数列｛%｝的公比为夕，根据4-4=5,可得4=总不，因为

5年+8）（9、

%+8a,=qd+8aq=—^—^=5^-1+—+2,根据均值不等式，即可求得答案.

q-iIq-i）

【详解】

设等比数列｛《,｝的公比为

•/a3-a2=5,

5

・•.a｝=------,

q（q—D

••・等比数列｛%｝的各项为正数,

；•q>1,

,、、5(^2+8)

二g+8%=+8J=-

(9)

=54—1+——+2>40,当且仅当q-l=3,

lq-i)

即4=4时，2+8/取得最小值40.

故答案为：40.

【点睛】

本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和

计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)4后；(2)不存在.

【解析】

(1)由已知,+?=而，利用基本不等式的和积转化可求曲22,利用基本不等式可将"+尸转化为由不

ab

等式的传递性，可求/+)3的最小值；(2)由基本不等式可求2a+3。的最小值为4出，而46〉6,故不存在.

【详解】

(1)由=7+卫布,得必22,且当a=b=后时取等号.

故a'+h3>2J//>4，且当a=b=V2时取等号♦

所以/+/?的最小值为40；

(2)由(1)知，2a+3/722"旅24G.

由于46〉6,从而不存在应力，使得2a+3匕=6成立.

【考点定位】

基本不等式.

2

18.(1)—+/=1(2)不存在；详见解析

4

【解析】

(1)设7(%,%),P(x,y),通过丽=而，即A为心的中点，转化求解，点P的轨迹C的方程.

(2)设直线/的方程为丁=履+，，先根据|49|=1,可得二+*=1,①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得

k2

4/=4父+1,②，将①代入②可得4/+产+1=0,该方程无解，问题得以解决

【详解】

⑴设尸(x,y),7(%,%),则4(毛,0),5(0,%),

由题意知画=丽，所以A为心中点，

x

%)=一_x

2

由中点坐标公式得即「%—5,

力=-y

2

又点T在圆。：f+y2=］上，故满足％2+为2=1,得二+丁=1.

4

丫2

曲线。的方程工+>2=1.

4一

(2)由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为.y=Ax+f,

x22

因为|AB|=|OT|=1,故+*=i,即3+r=1①,

y-kx+t

2消去,得：(4公+1)%2+8攵氏+4(/一［)=o,

联立x21

—+y=1

14

设加(不丁3N(x2,y2),

8k4（/2-1）

~/一一^71，%々=^17r'

1（\c/的）c2t

X+%=攵（芯+x，）+2,=%---——+2t=--——

12V1-}I4/+U4公+1

8kt2t）

因为四边形。MQN为平行四边形，故。一4公+1'4产+J

(SktY

点。在椭圆上，故［一4PxiJ(2t丫整理得4r=4炉+1②，

------------—+——=1

4y4k2+1)

将①代入②，得4/+Y+i=o,该方程无解，故这样的直线不存在.

【点睛】

本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

19.(1)降低,(2)-

56

【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；

(2)闯红灯的市民有80人，其中A类市民和3类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的

概率值.

【详解】

401

解：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为诉=m：

on2

不进行处罚，行人闯红灯的概率为诉=?；

211

所以当罚金定为io元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低

(2)由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和B类市民各有40人

故分别从A类市民和B类市民各抽出两人，4人依次排序

记A类市民中抽取的两人对应的编号为L2,3类市民中抽取的两人编号为3,4

则4人依次排序分别为(123,4),(124,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),

(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3』,2),(4,3,2」)，共有24种

前两位均为3类市民排序为(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有4种，所以前两位均为8类市民的概率是

P=A=1.

246

【点睛】

本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.

22

20.(1)C,的普通方程为工+匕=1,G的直角坐标方程为x-y+8=0.(2)最小值为2拒，此时加(-3,1)

124

【解析】

(1)由。2的参数方程消去a求得。2的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得G的直角坐标方程.

(2)设出M点的坐标，利用点到直线的距离公式求得|用N|最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小

值以及此时M点的坐标.

【详解】

，、…j八一一…|%=26cosa,、，,、“，、

(1)由题意知G的参数方程为(。为参数)

y=2sin(7

22―

所以C,的普通方程为工+X=1.由Psin(^--)=4J5.得「cos。一psin。+8=0,所以C,的直角坐标方程为

1244

x-y+8=().

(2)由题意，可设点M的直角坐标为(2省cosa,2sina),

因为G是直线，所以IMN|的最小值即为M到C、的距离d(a),

因为d(a)=12Gc()s.sina+8|=+-)+2\.

V26

当且仅当。=2br+号伏eZ)时，"(a)取得最小值为20，此时M的直角坐标为(26cos包,2sin红)即

666

(-3,1).

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距

离的最小值问题，属于中档题.

QQ

21.(1)见解析，0(2)----

2187

【解析】

(1)J=S,即该选手答完3道题后总得分，可能出现的情况为3道题都答对，答对2道答错1道，答对1道答错2道Q道

题都答错，进而求解即可；

(2)当Sg=2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题，又S：>0(/=1,2,3,4),则第一题答对，第二题第三

题至少有一道答对，进而求解.

【详解】

解：(1)4的取值可能为-3,-1,1,3,又因为p=q=；,

故尸(—3)=Q<1JY=1("3)=<旧iY=§i,

产©-3出=|,PC=D=CX*£)=|.

所以j的分布列为:

g-3