第2章-单自由度系统的振动2课件

2.4简谐激励下的无阻尼强迫振动一、运动微分方程及其解动力平衡方程为:若干扰力为简谐荷载：则动力方程为：化为标准形式:本节讨论简谐激励作用下无阻尼系统的强迫振动。外界的激励有两类，一是持续的激励力；一类是持续的支座运动。激励可能是周期的也可能是非周期的。该方程为二阶常系数线性非齐次方程，其通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的任意一个特解。现在寻找非齐次方程的特解，设其一个特解为齐次方程的通解在前面讨论过，即为代入微分方程，有解得其中激励力幅值引起的静位移激励力频率与固有频率之比，也称为无量纲化的激励力频率则非齐次方程的通解为假设初始条件为令解满足初始条件，可以确定积分常数故运动微分方程的通解为第三项：纯强迫振动，稳态受迫振动前两项：初始条件决定的自由振动，初始自由振动第四项：伴随激励力而产生的自由振动，伴随自由振动可以看到，即使初始条件为零，仍然有伴随自由振动发生实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分很快会衰减掉，过渡阶段很短，很快就只剩下了稳态的强迫振动部分，因而这一部分应引起格外关注稳态解为---稳态振幅荷载幅值作为静荷载所引起的静位移位移动力系数其中动力系数的性质：①无量纲；②只与激励力频率和固有频率的比值有关，与其它因素无关；③其值可大于或小于1、可正可负，正号表示位移与激励的相位差为零（同步），负号表示位移落后激励力的相位差为180度（反拍）。二、幅频响应曲线和振动特征重要的特性：当θ/ω→0时,

→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0<θ/ω

<1时,

>1，并且随θ/ω的增大而增大。1023123wq当θ/ω→1时,

→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。当θ/ω

>1时,的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应,→0

。必须指出，上述的幅频响应曲线只是振动系统稳态运动的情形，亦即激励力频率固定在某一值相当时间使振动达到稳定以后的情况。上述共振时振幅在理论上将趋向无穷大，实际上是不可能的，因为：实际系统不可能完全没有阻尼，而只要有极微小的阻尼就足以限制振幅的无限扩大；在振幅大到一定程度后，弹簧的弹力与变形将不再成比例；即使系统完全没有阻尼，弹簧的弹力始终与变形成正比，在时，原动力微分方程的特解也已不能再取的形式，而应改用如下形式的特解其中的常数可求出如下将代入动力学方程整理后得显然应有特解就是该式的曲线如右图所示，可见，此时的振幅随时间线性增大，需要经过无限长时间才能到达无穷大，也就是说，共振需要一个相当长的建立过程。三、“拍”的现象现在，我们来关注一下强迫振动的过渡阶段，为简单起见，假设初始条件均为零，此时，系统在过渡阶段响应总和为当激励力的频率与系统的固有频率接近时，设为小量则上式可以看作是振幅按逐渐变化，频率为的简谐振动，其振动的曲线如图所示这种特殊的振动现象称作是“拍”拍的周期为拍的周期很长，因此实际振动的振幅变化较慢。在实验过程中，很慢地调频到接近共振时，系统的振幅会出现周期性忽大忽小的变化，就是因为产生拍的现象。由于故也得到了振幅随时间线性增大的结论，并说明了共振的建立过程。解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知mEIl/2l/2PP=1四、结构最大位移和内力计算因为可以看到:干扰力与惯性力同频同步变化,故只需要将干扰力幅值和惯性力幅值同时加在结构上,此时产生的内力即最大内力.P解:例:求图示体系右端的质点振幅mlmkll若选右端质点竖向位移为广义坐标，其等效质量和刚度为固有频率为动力系数静力位移振幅也可以直接根据平衡方程来求APo因为此时，惯性力和外荷载同步，只需要把最大惯性力、最大弹性力和最大荷载幅值同时加在结构上，如图解:例:求图示体系弹簧支座的最大动反力。ml/2kll/2ABCD系统一定和干扰力作同步简谐振动。设A点振幅为A，则当振幅最大时，将系统中的最大干扰力、最大惯性力以及最大弹性力同时加在结构中，然后由得于是，弹簧的最大反力为例:求图示体系质点处的振幅、B点动力位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。已知mEIl/2l/2ABC解:l/2l可见，二者的合力相当于将激励力乘了一个位移动力系数，此时，可直接将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。

若动荷载作用于质点运动方向时(激励力与惯性力方向一致)，二者的合力计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。例

求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知mEIEIlPl/4解.Pl/3动弯矩幅值图例：已知m=300kg，I=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,θ=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求动力放大系数3)求ymax，Mmax2m2m例题1解：2.5简谐激励下的有阻尼强迫振动一、动力方程及其解设或通解代入动力方程得于是得到非齐次方程的一个特解若初始条件为代入一般解,可确定待定系数.方程的通解即可写为故微分方程的解可写为其中也可写为初始条件自由振动伴随自由振动纯受迫振动平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。很明显，振动开始三种振动同时存在，但无论是初始自由振动还是伴随自由振动，都含有一个负指数幂因子，随着时间的延伸，必定会衰减掉，最后只剩下稳态的强迫振动，从而，在而达到平稳阶段。线性系统对简谐激励的稳态响应是:频率等同于激励力频率而相位滞后于激励力的简谐振动.稳态响应的振幅和相位只取决于系统本身的参数和激励力的频率与力幅,而与系统的初始条件无关.如果以动力系数为纵坐标、以无量纲频率为横坐标画出的曲线称为幅频特性曲线二、稳态响应的特征当当此时系统的振幅很小，质点在平衡位置作微幅颤动当此时系统的振幅急剧增大，若不考虑阻尼，其振幅将会是无穷大，即出现共振现象．响应的振幅与静移相当，接近静荷载情况。在以上两个区域此时动力系数受阻尼影响非常显著，在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反应,阻尼的影响是不容忽略。阻尼较小时，振幅急剧增大；阻尼较强时，振幅急剧减小.系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度可通过共振时的振幅放大因子体现，称作系统的品质因数,记作对应的两点在共振峰的两侧取和称作系统的带宽。可以证明阻尼愈弱，品质因子愈大，带宽愈窄，共振峰愈陡峭。反之，共振峰愈平坦。需要指出：并不是发生在时，而是稍微偏左令如果以相位差为纵坐标、以无量纲频率为横坐标画出的曲线称为相频特性曲线表明受迫振动的响应与激励在低频范围内同相，在高频范围内反相，共振时的相位差阻尼越小，同相和反相现象越明显，增大阻尼，相位差逐渐向靠近，共振时的相位差与阻尼无关稳态振动时，位移、速度和加速度为很显然，它们之间的相位依次滞后相应的，弹性力、阻尼力和惯性力为位移、速度、加速度以及简谐激励力、弹性力、阻尼力和惯性力4个旋转矢量之间的相位关系如左下图所示。在任一时刻，简谐激励力、弹性力、阻尼力和惯性力必须满足形式上的平衡，它们构成的封闭多边形见右下图。可见，在低频振动时，外荷载主要由弹性力平衡；在高频振动时外荷载主要由惯性力平衡，；在共振时外荷载主要由阻尼力平衡。例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向振动时的振幅。解：考虑阻尼时，除动力系数的计算不同之外，其它过程与无阻尼类似。但要注意：干扰力与惯性力不再是同相位的2m2m例题解：（一）不共振情况梁中点的总位移：动力弯矩图的绘制动力系数法1519801131829若用一般方法，则必须考虑干扰力与惯性力的相位差*确定动位移达到幅值时的时间*确定惯性力幅值和此时动荷载的大小*将惯性力幅值和动荷载幅加在体系上，绘动力弯矩图15019801131829（二）共振情况1、动力系数：2、动位移幅值：3、梁中点的总位移：设自振频率在计算过程中有25%的误差，则

61.5×（1－25%）≤

≤61.5×(1＋25%）

46.125≤

≤76.875而

=52.3，产生共振。4389801418542三、稳态振动中的能量平衡关系由于阻尼的存在，系统在振动过程中要消耗能量，外部激励力不断给系统输入能量，系统才能维持稳态振动。我们来求激励力和阻尼力在稳态振动一个周期内所做的功由于故有一、简谐惯性力激励下的强迫振动以地基振动为例，设安装质量弹簧系统的基座沿轴方向作振幅为频率为的简谐振动

2.6隔振与测振原理则在物体上产生的简谐振变化的惯性力为将物体相对基座的位移记作则动力学方程可写成令相对振动的振幅为得到其幅频特性和相频特性曲线如下图不难知道当激励力频率远小于固有频率时，相对运动的振幅接近于零，相位接近相同，这说明系统的质点相对于基座无相对运动，而是与基座一起作同步的缓慢的运动.当激励频率远大于系统固有频率时，相对运动的振幅接近于基座运动的振幅，但相位正好相反，这说明此时的系统与基座作反相等幅的运动，或者说质点此时基本处于静止状态，绝对运动的振幅接近于零。当激励频率接近系统固有频率时，依然存在着振幅急剧增大的共振现象。若将质点相对惯性坐标系的绝对位移作为响应其中为绝对运动的振幅。二、惯性式测振仪原理设x为质点m相对于外壳的位移,质点的动力学方程为相对运动的振幅为因为仪器的读数幅值接近于外壳振动的振幅此时该仪器可以用来测定设备振动的振幅,称为位移计振幅还可以写为当仪器的固有频率远大于外壳（基座）的振动频率时，仪器的读数幅值与外壳加速度的幅值成正比。因此，测振仪应是根据不同的用途选择其固有频率。低固有频率的测振仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计。高固有频率的测振仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计.

而设隔振前机器传至地基的力为

三、振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响，这种隔振称为主动隔振。隔离的方法是在机器与地基之间垫置一些弹性阻尼材料

.1.主动隔振隔振后，机器在激励力作用下的受迫振动幅频特性为

隔振后机器通过弹簧和阻尼器传递至地基的力为计算的模的幅值，得到导出主动隔振系数

例求：隔振后传到地基上的力幅值。解：将地基的振动与机器设备隔离开来，以免将地基的振动传至设备，称为被动隔振。隔振的方法依然是设置弹性阻尼垫层。前面我们已经知道2.被动隔振显然，它与主动隔振系数完全相同。2.8周期激励下的稳态强迫振动一、谐波分析法（付氏级数）实际工程中大多数激励为周期激励而少有简谐激励

假定系统受到的激励力为

根据Fourier级数理论,它可以展开为无穷多个谐和函数的叠加

,即Fourier系数为运动微分方程为系统的稳态响应为

稳态响应为这种将周期力展开成Fourier级数的分析方法称为谐波分析法

以各阶频率为横坐标，作出和的离散图形称作频谱图。根据频谱图分析周期激励力响应状况称作频谱分析法

例

设质量—弹簧系统受到周期方波激励，如图求此系统的响应解:

因为

关于反对称,而1和关于正对称，所以有为偶数时因为

关于和正对称关于和反对称故为奇数时关于和正对称故于是相应的频谱图为例

设发动机的曲柄连杆机构与活塞相连，如图所示连杆AB长度为l两者的质量不计活塞B的质量为发动机与地面之间以刚度系数为k和阻尼系数为c的阻尼器相隔，曲柄以匀角速度转动只保留的一次项。试计算发动机的响应。解将和作为辅助坐标活塞的位置坐标为坐标轴以O点的静力平衡位置为原点建立曲柄OA长度为r发动机的总质量为m设

将上式对求导，得到将式对二次求导只保留的一次项，得到对包括活塞在内的发动机系统建立动力学方程

整理后得受迫振动的稳态解为其中2.9一般激励下的强迫振动一、杜哈梅积分将看作一系列脉冲激励的叠加在至的间隔内产生的冲量为，它引起各个时刻的响应为利用线性系统的叠加原理，系统对任意激励力的响应等于内各个脉冲响应的总和。系统在在脉冲力作用和瞬间，位移来不及发生变化，但速度可以产生突变设系统在初始时刻受冲量S作用，根据动量定理有：于是冲量作用时间很短，还未使系统产生位移时便又消失了，实际上系统只获得了一个初始速度，如果再没有其它激励，系统在以