全等三角形的性质与判定八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题全等三角形的性质与判定〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•南京期中〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，假设DC＝，BF＝1，那么AF的长为〔〕A．B．C．1D．【分析】根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解析】∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF与△ABC中，∠C∴△DBF≌△ABC〔AAS〕，∴BF＝BC，∵DC＝，BF＝1，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝﹣1﹣1＝，应选：A．2．〔2021秋•宝应县期中〕如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，假设AC＝3，AD＝4，那么AB是〔〕A．3B．4C．5D．6【分析】证明△DAB≌△CBA〔AAS〕，由全等三角形的性质得出AC＝BD，根据勾股定理可求出答案．【解析】在△DAB和△CBA，∠D∴△DAB≌△CBA〔AAS〕，∴AC＝BD，∵AC＝3，AD＝4，∴BD＝3，∴AB=AD应选：C．3．〔2021秋•铜官区期末〕如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解析】①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知；②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC+BE＝AB；③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC；④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC＝∠ADE，所以AD平分∠CDE；⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD＝AB：AC．所以正确的有五个，应选：A．4．〔2021秋•射阳县期末〕工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如下图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是〔〕A．HLB．SSSC．SASD．ASA【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据条件结合判定方法逐个验证．【解析】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．应选：B．5．〔2021秋•田家庵区期末〕如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，那么线段DF的长度为〔〕A．3B．4C．5D．6【分析】证明△BDF≌△ADC，即可推出DF＝CD解决问题．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴BD＝AD，∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠C，∵∠AFE＝∠BFD∴∠C＝∠BFD在△BDF和△ADC中，∠C∴△BDF≌△ADC〔AAS〕，∴DF＝CD＝4，应选：B．6．〔2021春•崇川区期末〕如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，以下结论中正确的选项是〔〕A．AB﹣AD＞CB﹣CDB．AB﹣AD＝CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CDD．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【分析】在AB上截取AE＝AD，那么易得△AEC≌△ADC，那么AE＝AD，CE＝CD，那么AB﹣AD＝BE，放在△BCE中，根据三边之间的关系解答即可．【解析】如图，在AB上截取AE＝AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC〔SAS〕，∴AE＝AD，CE＝CD，∴AB﹣AD＝AB﹣AE＝BE，BC﹣CD＝BC﹣CE，∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，∴AB﹣AD＞CB﹣CD．应选：A．7．〔2021秋•锡山区校级月考〕如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，假设BC＝8，AD＝6，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．24B．18C．12D．9【分析】利用SSS证明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面积＝△ACD的面积，通过拼接可得阴影局部的面积＝△ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解．【解析】∵AB＝AC，BD＝CD=12BC＝∴AD是BC的中垂线，∴BE＝CE，BF＝CF，在△BEF和△CEF中，BE∴△BEF≌△CEF〔SSS〕，∴S△BEF＝S△CEF，∴S阴影＝S△ADB=12×CD×AD应选：C．8．〔2021春•雨花区校级期末〕如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，那么∠FDE的度数为〔〕A．75°B．80°C．65°D．95°【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．【解析】∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C=12×〔180°﹣50∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，BF=∴△BDF≌△CED〔SAS〕，∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．应选：C．9．〔2021春•峄城区期中〕如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出以下结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．【解析】①∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③无法证明∠1＝∠2，故③错误；④∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵AB＝CE，∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．故其中正确的结论有①④，共两个．应选：B．10．〔2021秋•襄州区期末〕如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出以下结论：①AF＝AC；②DF＝CF；③∠AFC＝∠C；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论个数有〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先根据条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．【解析】在△ABC与△AEF中，AB=∴△AEF≌△ABC〔SAS〕，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C；由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知：△ADE∽△FDB；∵∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF，由△ADE∽△FD，B可得∠EAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAF．综上可知：①③④正确．应选：B．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•泰州月考〕如图，AB∥FC，E是DF的中点，假设AB＝30，CF＝17，那么BD＝13．【分析】由“ASA〞可证△ADE≌△CFE，可得AD＝CF＝17，即可求解．【解析】∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠F，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE和△CFE中，∠ADE∴△ADE≌△CFE〔ASA〕，∴AD＝CF＝17，∴BD＝AB﹣AD＝30﹣17＝13，故答案为13．12．〔2021秋•宜兴市月考〕：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝60°，那么∠D＝60°．【分析】由“SSS〞可证△ABC≌△DEF，可得∠A＝∠D＝60°．【解析】∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=∴△ABC≌△DEF〔SSS〕，∴∠A＝∠D＝60°，故答案为：60°．13．〔2021秋•泗阳县期中〕如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝5，∠ACB＝90°，D是AC的中点，直线l经过点D，BE⊥l，CF⊥l，垂足分别为E，F，那么BE+CF的最大值＝13．【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，证明△CFD≌△AKD〔AAS〕，由全等三角形的性质得出CF＝AK，延长BE，过点A作AN⊥BE于点N，可知当直线l⊥AB时，AN最小，BN的最大值为AB的长，由勾股定理可得出答案．【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，∵点D为AC中点，∴AD＝CD，在△CFD与△AKD中，∠CFD∴△CFD≌△AKD〔AAS〕，∴CF＝AK，延长BE，过点A作AN⊥BE于点N，可得BE+CF＝BE+AK＝BE+EN＝BN，在Rt△ABN中，BN＜AB，当直线l⊥AB时，AN最小，BN的最大值为AB的长，∵AC＝12，BC＝5，∠ACB＝90°，∴AB=BC综上所述，BE+CF的最大值为13．故答案为：13．14．〔2021秋•梁园区期末〕如下图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，那么∠3＝55°．【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解析】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，AB∴△BAD≌△CAE〔SAS〕，∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．15．〔2021春•沭阳县期中〕如图，假设∠AOB＝∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，OC＝4，那么四边形AOBC的面积是8．【分析】作CN⊥OA，CM⊥OB，证得△CAN≌△CMB，利用勾股定理求得正方形CNOM的边长，即可求得面积．【解析】如图，作CN⊥OA，CM⊥OB，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴∠3+∠4＝180°，∵∠5+∠4＝180°，∴∠3＝∠5，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，在△CAN和△CMB中，∠3=∴△CAN≌△CMB〔AAS〕，∴CN＝CM，∵∠ONC＝∠OMC＝∠MON＝90°，∴四边形OMCN是矩形，∴四边形CNOM是正方形，∴四边形AOBC的面积等于正方形CNOM．设正方形CNOM的边长为x，OC＝4，由勾股定理可知：x2+x2＝16，∴x2＝8，∴四边形AOBC的面积等于8．故答案为：8．16．〔2021秋•常熟市期中〕如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BD∥AC，且BD＝BC，过点D作DE⊥BC，垂足为E．假设CE＝2，那么BD的长为17．【分析】根据AAS证明△ABC≌△EDB，由全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，根据勾股定理可得出答案．【解析】∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵AC∥BD，∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠BDE＝90°，∴∠ABC＝∠BDE，在△ABC和△EDB中，∠ABC∴△ABC≌△EDB〔AAS〕，∴AB＝DE＝8，设BD＝x，那么BE＝x﹣2，∵BE2+DE2＝BD2，∴〔x﹣2〕2+82＝x2，∴x＝17，∴BD＝17．故答案为：17．17．〔2021秋•鼓楼区校级月考〕如图，在△ABC与△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，且∠B和∠B′都是钝角，那么能否证明△ABC与△A′B′C′全等？能．〔填“能〞或“否〞〕【分析】根据题目中的图形，作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，作C′D′⊥A′B′，交A′B′的延长线于点D′，然后根据全等三角形的判定和性质，可以证明△ABC≌△A'B'C'．【解析】能证明△ABC与△A′B′C′全等．证明：作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，作C′D′⊥A′B′，交A′B′的延长线于点D′，那么∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，∵∠CBA＝∠C′B′A′，∴∠CBD＝∠C′B′D′，在△CBD和△C′B′D′中，∠CDB∴△CBD≌△C′B′D′〔AAS〕，∴CD＝C′D′，BD＝B′D′，∵∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，∴在Rt△CDA和Rt△C′D′A′中，AC=∴Rt△CDA≌Rt△C′D′A′〔HL〕，∴∠A＝∠A′，AD＝A′D′，又∵BD＝B′D′，∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，AC=∴△ABC≌△A′B′C′〔SAS〕．故答案为：能．18．〔2021秋•天宁区校级期中〕如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、CA边上，且BE＝CF，BD＝CE，如果∠A＝44°，那么∠EDF的度数为56°．【分析】根据∠A＝44°可求出∠ABC＝∠ACB＝68°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中BE=∴△DBE≌△ECF〔SAS〕，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B=12〔180°﹣44°〕＝∴∠1+∠2＝180°﹣68°∴∠3+∠2＝180°﹣68°∴∠DEF＝68°，∴∠EDF=180°-68°故答案为：56°．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021•梁溪区模拟〕如图，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线．求证：AM＝DN．【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠E＝∠B，利用AAS证明△ABM与△DEN全等，进而证明即可．【解答】证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠B＝∠E，∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线，∴BM=12BC，EN=∴BM＝EN．在△ABM和△DEN中，AB=∴△ABM≌△DEN〔SAS〕，∴AM＝DN．20．〔2021春•姑苏区校级月考〕如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论．【解答】证明：如图，连接AC，在△ACE和△ACF中，AE=∴△ACE≌△ACF〔SSS〕，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACB和△ACD中，∠BAC∴△ACB≌△ACD〔AAS〕，∴CB＝CD．21．〔2021秋•江都区期末〕，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD，判断AC，BD的位置关系，并加以证明．【分析】证明△ABC≌△ADC〔SSS〕，得出∠BAC＝∠DAC，由等腰三角形的性质即可得出结论．【解析】AC⊥BD，理由如下：在△ABC和△ADC中，AB=∴△ABC≌△ADC〔SSS〕，∴∠BAC＝∠DAC，又∵AB＝AD，∴AC⊥BD〔等腰三角形三线合一〕．22．〔2021秋•苏州期末〕如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．〔1〕求证：△ABC≌△DFE；〔2〕求证：点O为BF的中点．【分析】〔1〕由“SAS〞可证△ABC≌△DFE；〔2〕由“AAS〞可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答】证明：〔1〕∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=∴△ABC≌△DFE〔SAS〕；〔2〕∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB∴△ACO≌△DEO〔AAS〕，∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．23．〔2021秋•苏州期末〕如图，△ABC中，AB＝A