人教版九年级数学1-用二次函数解实际应用的四种常见类型

双休创新练(四)方法技巧训练1用二次函数解实际应用的四种常见类型第22章

二次函数第1页，共40页。12345678910第2页，共40页。1．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．1类型拱桥问题第3页，共40页。(1)抛物线对应的函数解析式是__________________．y＝－

x2＋11第4页，共40页。(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函数关系h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当顶点C到水面的距离不大于5m时，需禁止船只通行．请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？第5页，共40页。当顶点C到水面的距离不大于5m时，h≥6，把h＝6代入h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，解得t1＝35，t2＝3.|t1－t2|＝32(h)．答：需32h禁止船只通行．返回第6页，共40页。2．(中考•朝阳)为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．2类型运动问题第7页，共40页。(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)．第8页，共40页。解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，∴设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－7)2＋3.2，将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋3.2＝1.8，解得a＝－.∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝－(x－7)2＋165.第9页，共40页。(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．由题意知，当x＝9.5时，y＝－(9.5－7)2＋165≈3.02＜3.1，故这次她可以拦网成功．第10页，共40页。(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－7)2＋h，将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋h＝1.8，即a＝

第11页，共40页。∴此时抛物线对应的函数解析式为：y＝(x－7)2＋h.根据题意，得解得h≥3.025.返回第12页，共40页。3．(中考•随州)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如图和下表所示．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(3类型利润问题第13页，共40页。单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w与x的函数解析式．时间x/天1306090每天的销售量p/件1981408020第14页，共40页。解：当1≤x＜50时，设商品的售价y与时间x的函数解析式为：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)，∵直线y＝kx＋b经过点(0，40)，(50，90)，∴解得第15页，共40页。∴售价y与时间x的函数解析式为y＝x＋40；当50≤x≤90时，y＝90.∴售价y与时间x的函数解析式为：第16页，共40页。由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数解析式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)，∵直线p＝mx＋n过点(60，80)，(30，140)，解得∴第17页，共40页。∴p＝－2x＋200(1≤x≤90，且x为整数)．当1≤x＜50时，w＝(y－30)•p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，w＝(90－30)(－2x＋200)＝－120x＋12000.综上所述，每天的销售利润w与时间x的函数解析式是w＝第18页，共40页。(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．当1≤x＜50时，w＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050，∵－2＜0且1≤x＜50，∴当x＝45时，w取最大值，最大值为6050；第19页，共40页。当50≤x≤90时，w＝－120x＋12000，∵－120＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为6000.∵6050＞6000，∴当x＝45时，w最大，最大值为6050.即销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大利润是6050元．第20页，共40页。(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．返回第21页，共40页。1题型几何中的决策问题4．如图，有长为24m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为xm，面积为Sm2.(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．第22页，共40页。解：(1)因为AB＝xm，所以BC＝(24－3x)m，此时S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.第23页，共40页。(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得≤x＜8，∴x＝3不符合题意，故AB＝5m.第24页，共40页。(3)能围成面积比45m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵≤x＜8，∴当x＝

时，S最大值＝46.∴能围成面积比45m2更大的鸡舍．围法是：BC的长是10m，AB的长是4m，这时鸡舍的面积最大，为46m2.返回第25页，共40页。5．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P运动到B时，两点均停止运动，设P点运动时间为t(s)．第26页，共40页。(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？解：(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝

BP或BP＝

BQ，即t＝(3－t)或3－t＝

t.解得t＝1或t＝2，即当t为1或2时，△PBQ是直角三角形．第27页，共40页。(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数解析式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝

BP＝(3－t)cm.∴PM＝第28页，共40页。∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－

t•(3－t)＝

t2－

t＋

，即y＝＝

t2－

t＋

，易知0<t<3.于是y＝∴当t＝

时，y取得最小值，为

即当t为

时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm2.返回第29页，共40页。6．(中考•资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1300(0＜x2≤20，x2为整数)．2题型实际中的决策问题第30页，共40页。(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的

倍，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？第31页，共40页。解：由题意可知，空调的采购数量为x1台，则冰箱的采购数量为(20－x1)台，由题意，得解得11≤x1≤15.∵x1为整数，∴x1可取的值为11，12，13，14，15.∴该商家共有5种进货方案．第32页，共40页。(2)该商家分别以1760元和1700元的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．第33页，共40页。设总利润为W元，y2＝－10x2＋1300＝－10(20－x1)＋1300＝10x1＋1100，则W＝(1760－y1)x1＋(1700－y2)x＝1760x1－(－20x1＋1500)x1＋(1700－10x1－1100)(20－x1)＝1760x1＋20x21－1500x1＋10x21－800x1＋12000＝30x21－540x1＋12000＝30(x1－9)2＋9570.第34页，共40页。当x1＞9时，W随x1的增大而增大，∵11≤x1≤15，∴当x1＝15时，W最大值＝30×(15－9)2＋9570＝10650.答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10650元．返回第35页，共40页。7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费