梯度下降法推导逻辑回归

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梯度下降法推导逻辑回归梯度下降法是一种常用的优化算法，在逻辑回归中也经常使用该方法来更新模型参数。下面我们来详细推导逻辑回归中的梯度下降法。

逻辑回归是一种用于解决二分类问题的机器学习算法，它通过将输入特征与权重进行线性组合，然后将线性组合结果通过一个非线性函数（称为sigmoid函数）进行映射，得到样本属于正类的概率。

假设我们有m个训练样本，每个样本有n个特征，我们的目标是找到一组参数w=(w1,w2,...,wn)和一个偏置b，使得给定输入特征x，模型预测的输出为p(y=1|x;w,b)。

逻辑回归的目标是最小化目标函数，通常使用对数损失函数作为目标函数。对于一个训练样本(x,y)，对数损失函数可以表示为：

L(w,b)=-[ylog(p)+(1-y)log(1-p)]

其中p=p(y=1|x;w,b)。

接下来，我们需要使用梯度下降法来最小化损失函数。梯度下降法的思想是从一个初始的参数值开始，通过迭代的方式不断更新参数，使得目标函数逐渐降低。

我们的目标是求解使目标函数最小化的参数w和b。为了实现这一点，我们需要计算目标函数对于参数w和b的偏导数，然后根据梯度的方向进行更新。

首先，我们计算目标函数L对于参数w的偏导数。将目标函数对w的偏导数表示为∂L/∂w：

∂L/∂w=(∂L/∂p)*(∂p/∂z)*(∂z/∂w)

其中z是线性组合的结果：z=w1*x1+w2*x2+...+wn*xn+b。

接着，我们计算∂L/∂p，可以得到：

∂L/∂p=-(y/p)+(1-y)/(1-p)

然后，我们计算∂p/∂z，可以得到：

∂p/∂z=p(1-p)

最后，我们计算∂z/∂w，可以得到：

∂z/∂w=x

综上所述，我们可以得到∂L/∂w的表达式为：

∂L/∂w=x(p-y)

类似地，我们还需要计算目标函数对于参数b的偏导数。将目标函数对b的偏导数表示为∂L/∂b：

∂L/∂b=(∂L/∂p)*(∂p/∂z)*(∂z/∂b)

其中∂z/∂b可以记为1，因为b乘以1。所以∂L/∂b等于∂L/∂p*∂p/∂z。

综上所述，我们可以得到∂L/∂b的表达式为：

∂L/∂b=p-y

最后，我们选择一个合适的学习率η，然后使用梯度下降法更新参数w和b。对于每个训练样本(x,y)，更新规则如下：

w=w-η*∂L/∂w

b=b-η*∂L/∂b

通过不断迭代更新参数w和b，我们可以逐渐使目标函数L下降，从而得到模型的最优参数。

综上所述，梯度下降法是一种常用的优化算法，在逻辑回归中可以用于求解最优参

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