安徽省池州市贵池区2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省池州市贵池区2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测数学试题（满分：150分时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.若为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，其虚部为.故选：A.2.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．3.某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（）A. B.75 C. D.〖答案〗D〖解析〗设底面圆的半径为，则，解得：，设圆锥的高为，则，则圆锥的体积为.故选：D4.已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D5.一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（）A.6π B.12π C. D.24π〖答案〗D〖解析〗设正四棱柱的外接球半径为因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以，得，所以该正四棱柱的外接球的表面积为，故选：D6.已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（）A等边三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理可得，因为，所以，整理可得.故选：B.7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A8.如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（）A.3 B.12 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗连接，因为，故，故，故，而三点共线，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，故选：C二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（）A.4 B.5 C.7 D.10〖答案〗BC〖解析〗如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC10.如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler'sformula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（）A.共有20个六边形B.共有10个五边形C.共有90条棱D.共有32个面〖答案〗ACD〖解析〗由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，解得：.∴B错误.∵顶点数：，解得：，∴A正确.面数：.∴D正确.棱数：.∴C正确.故选：ACD.11.已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是（）A.B.若△ABC为正三角形，则C.若，则D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为为中的中点，所以，所以A正确；对于B，因为为正三角形，所以，所以，所以B不正确；对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为为的重心，分别为边的中点，所以，即，所以，所以D正确.故选：ACD.12.如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）A.三棱锥的体积与点位置无关B.若为中点，三棱锥的体积为C.若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是D.若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，由正方体可得平面平面，平面所以平面，又，所以点到平面的距离为定值即的长因为，由于三角形的面积固定，所以三棱锥的体积与点位置无关，A选项正确；对于B选项，，所以，B选项错误；对于C选项，当为中点时，连接，则是的中点，连接，由于，分别是，的中点，所以，由于，则，即过点，，作正方体的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，C选项正确；对于D选项，当与重合时，延长交的延长线于，连接，交于，连接，延长交的延长线于，连接，交于，连接，则五边形是过点，，作正方体的截面，D选项错误．故选：AC．第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）13.在中，若，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理，即，所以，因为，所以.故〖答案〗为：14.已知复数，则_________〖答案〗〖解析〗复数，则，所以.故〖答案〗为：15.如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为（棱台的体积），（几何体的体积）的两部分，那么______.〖答案〗〖解析〗设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则.因为，分别为，的中点，所以，所以，.所以.故〖答案〗为：16.如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，P为以A为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的点，若点P在AC上时，则的取值是___________；若向量，则的最大值为___________.〖答案〗①.②.〖解析〗如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，则，空1：若点P在AC上时，则，可得，所以；空2：因为，可得，若，则，可得，因为，则，当，即时，取到最大值.故〖答案〗为：；.四、解答题（共70分）17.已知为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；（2）若复数满足，求复数.解：（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，所以，得的取值范围是：（2）设复数，由条件得，所以解得：，所以18.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数k的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．解：（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.19.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.20.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．解：（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.21.如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．（1）若点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；（2）求该八面体表面积S的取值范围．解：（1）由点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，∴，∴八面体．（2）如图，设平面ABCD截正方体所得截面为，且的中心为O，过点O作，垂足为G．由对称性，不妨设，则，，，．设AD的中点为H，如下图，则，，所以．因为，所以，则，故，所以，所以此八面体的表面积S的取值范围为．22.如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.（1）若，求EF的值；（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.解：（1）由题意可得，设，则，在中，由余弦定理，则，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.安徽省池州市贵池区2022-2023学年高一下学期期中教学质量检测数学试题（满分：150分时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.若为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，其虚部为.故选：A.2.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．3.某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（）A. B.75 C. D.〖答案〗D〖解析〗设底面圆的半径为，则，解得：，设圆锥的高为，则，则圆锥的体积为.故选：D4.已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D5.一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（）A.6π B.12π C. D.24π〖答案〗D〖解析〗设正四棱柱的外接球半径为因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以，得，所以该正四棱柱的外接球的表面积为，故选：D6.已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（）A等边三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理可得，因为，所以，整理可得.故选：B.7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A8.如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（）A.3 B.12 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗连接，因为，故，故，故，而三点共线，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，故选：C二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（）A.4 B.5 C.7 D.10〖答案〗BC〖解析〗如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC10.如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler'sformula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（）A.共有20个六边形B.共有10个五边形C.共有90条棱D.共有32个面〖答案〗ACD〖解析〗由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，解得：.∴B错误.∵顶点数：，解得：，∴A正确.面数：.∴D正确.棱数：.∴C正确.故选：ACD.11.已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是（）A.B.若△ABC为正三角形，则C.若，则D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为为中的中点，所以，所以A正确；对于B，因为为正三角形，所以，所以，所以B不正确；对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为为的重心，分别为边的中点，所以，即，所以，所以D正确.故选：ACD.12.如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）A.三棱锥的体积与点位置无关B.若为中点，三棱锥的体积为C.若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是D.若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，由正方体可得平面平面，平面所以平面，又，所以点到平面的距离为定值即的长因为，由于三角形的面积固定，所以三棱锥的体积与点位置无关，A选项正确；对于B选项，，所以，B选项错误；对于C选项，当为中点时，连接，则是的中点，连接，由于，分别是，的中点，所以，由于，则，即过点，，作正方体的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，C选项正确；对于D选项，当与重合时，延长交的延长线于，连接，交于，连接，延长交的延长线于，连接，交于，连接，则五边形是过点，，作正方体的截面，D选项错误．故选：AC．第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）13.在中，若，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理，即，所以，因为，所以.故〖答案〗为：14.已知复数，则_________〖答案〗〖解析〗复数，则，所以.故〖答案〗为：15.如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为（棱台的体积），（几何体的体积）的两部分，那么______.〖答案〗〖解析〗设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则.因为，分别为，的中点，所以，所以，.所以.故〖答案〗为：16.如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，P为以A为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的点，若点P在AC上时，则的取值是___________；若向量，则的最大值为___________.〖答案〗①.②.〖解析〗如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，则，空1：若点P在AC上时，则，可得，所以；空2：因为，可得，若，则，可得，因为，则，当，即时，取到最大值.故〖答案〗为：；.四、解答题（共70分）17.已知为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；（2）若复数满足，求复数.解：（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，所以，得的取值范围是：（2）设复数，由条件得，所以解得：，所以18.已知向量．（1）若向量与垂直，求实数k的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．解：（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.19.如图，在菱形中，.