2023年河南省焦作市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年河南省焦作市普通高校对口单招数

学自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

1.下列函数中是奇函数，且在(-00,0)减函数的是()

A.Y=A/^*

B.y=l/x

C.y=x2

D.y=x3

2.设集合⑪二口,2,3,456},M={1,3,5},则CUM=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U

3.若sin(7i/2+a)=-3/5,且［兀/2,用则sin(7i-2a)=()

A.24/25B.12/25C,-12/25D.-24/25

4他2+lg5的值为,

A.10B.-10C.1D.-l

5.设集合人={1,3,5,7},B={x|2<x<5},则ADB=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

6.设a=l/2,b=5/〃则()

A.a>bB.a=bC.a<bD.不能确定

7.若事件A与事件区互为对立事件，则P(A)+P(汾等于()

A.1/4B.1/3C.1/2D.1

8.已知向量a=(l,2),b=(3,1),则b-a=()

A.(-2,l)B.(2,-l)C.(2,0)D.(4,3)

9.若等比数歹!j{an}满足，ai+a3=20,a2+a4=40,则公比q=()

A.lB.2C.-2D.4

10.抛物线y=2x2的准线方程为()

A.y=-1/8B.y=-1/4C.y=-1/2D.y=-1

二、填空题(10题)

II.

设R.过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P

(x,y).则|PA|”PB|的最大值是.

12.抛物线y2=2x的焦点坐标是

13.函数y=x2+5的递减区间是/

14.

设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当1)时，f(x)=

,7x2+2,，则f(务=______________.

x,0<x<l2

15.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m,-

2)到焦点的距离为4,则m的值为.

16.己知两点A(-3,4)和B(L1),则

_3-i

17.若复数'=12二i则忆|=.

18.己知0<a<b<l,则0.2a_0.2b。

19.正方体ABCD-AIBIC^I中AC与ACi所成角的正弦值为_。

20.如图所示的程序框图中，输出的S的值为

零)

三、计算题(5题)

21.从含有2件次品的7件产品中，任取2件产品，求以下事件的概率.

(1)恰有2件次品的概率P);

⑵恰有1件次品的概率P2.

f(x)+3f(—1)=x.

22.已知函数f(x)的定义域为{x|x声0},且满足^

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并简单说明理由.

23.求焦点x轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

24.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10,后三个数成等比数

列，公比为3,求这四个数.

25.已知函数y=0cos2x+3sin2x,x£R求:

(1)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

四、简答题（10题）

26.已知椭圆'和直线，J=2x+附，求当m取何值时，椭圆与

直线分别相交、相切、相离。

tan（—+a）a2,求sm2a-2cos2a

27.已知4的值

28.化简1+2cos，-cos勿

29.三个数a,b,c成等差数列，公差为3,又a,b+1,c+6成等比数

列，求a,b,Co

7l-2sm10cos10

30.化简coslO-Vl-smilOO

31.求k为何值时，二次函数=/-（%-+a一始的图像与X轴

（1）有2个不同的交点

（2）只有1个交点

（3）没有交点

32.设等差数列人：的前n项数和为Sn,已知

4=」且邛】=1.5+5=21.求何)

1二的通项公式及它的前n项和Tn.

33.等差数列上；的前n项和为Sn,已知aio=3O,320=50O

(1)求通项公式an。

(2)若Sn=242,求n。

34.已知等差数歹Ua；的前n项和是&=一犷一"求：

(1)通项公式4

(2)ai+a3+as+…+a25的值

y-6/8>0

,为2

35.解不等式组Ix-1

五、解答题(10题)

36.设椭圆x2/a2+y2/b2的方程为点o为坐标原点，点A的坐标为(a,

0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|直线

OM的斜率为I.

(1)求E的离心率e

(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点，证明：MN1AB

37.

如图，在四面体P-A8C中，

PA平面A6C,AB=3.AC=4.BC=5,且D.E.F分别为

8CJCA8的中点.

(1)求证：AC；

(2)在棱帖上是否存在一点G，使得尸G力平面AOE?证明你

的结论.

38.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC_L平面ABCD,AB//DC,DC±

AC.

⑴求证:DC_L平面PAC;

(2)求证：平面PAB_L平面PAC.

39.

设数列｛"“｝的前〃项和S”=2〃“一〃|,且"「七+l.q成等差数列。

(1)求数列｛〃,1的通项公式；

(2)记数歹的前〃项和7；,求得使「/；-"＜』成立的〃的最小值。

a1()0()

40.

z

t：v.[*,A={x16x+mx-1=0}B={x\3x‘+5K+〃=0}n

AnB-{-1),求AU8

41.如图，在三棱锥A-BCD中，ABBCD,BC±BD,BC=3,

BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45。点E,F分别是AC,AD

的中点.

⑴求证:EF〃平面BCD;

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

42.如图，ABCD-AiBiCiDi为长方体.

(1)求证:BIDI〃平面BCiD;

⑵若BC=CCi„求直线BCi与平面ABCD所成角的大小.

43.

在三棱锥P-ABC中，侧棱PA1底面ABC,AB1BC,E,F分别是

BC,PC的中点.

(I)证明:EF〃平面PAB;

(II)证明：EF1BC.

.已知为敦/(X)」工一“1—+a,.Ve(1.6),a^R.

x

(I)若。=1,试刿新井证明多效/(')的单翦性；

CIIJ4a(l.6)M.求为数/(')的最大值的表达式M(。).

44.e

45.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的离心率为「，在C

上；

(1)求C的方程；

(2)直线L不过原点O且不平行于坐标轴，L与C有两个交点A,B,

线段AB的中点为M.证明：直线0M的斜率与直线L的斜率的乘积为

定值.

六、单选题(0题)

46.设集合人={1,3,5,7},B={x|2<x<5}>则ACB=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

参考答案

1.B

函数奇偶性，增减性的判断.A是非奇非偶函数;C是偶函数;D是增函

数.

2.A

集合补集的计算.CUM={2,4,6}.

3.D

同角三角函数的变换，倍角公式.由sin(?i/2+a)=-3/5得cosa=-3/5,又a

£[TC/2,7i],贝ijsina=4/5,所以sin(兀-2a)=sin2a=2sinacosa=2*4/5x(-

3/5)=-24/25.

4.C

5.B

集合的运算.由A={1,3,5,7},B={x|2<x<5},得AAB={3,5}

6.A

5--T1-1sr店-V」

数值的大小判断5+

7.D

若事件4与事件B互为对立事件，则4UB为必

然事件，根据概率的加法公式得

P(A)+P(B)=1

8.B

平面向量的线性运算.由于a=(l,2),b=(3,1),于是b-a=(3,1)-(1,

2)=(2,/)

9.B

解:设等比数列｛an｝的公比为q,Val+a3=20,a2+a4=40,q(al+a3)

=20q=40,

解得q=2.

10.A

••.抛物线?/=2/写成标准方程为/=；力

开口向上，焦点在“轴正半轴上，

•••准线方程为沙=一:。

11.

有题意可知，动直线x+my=O经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(l,3),

注意到动直线x+my=0和动直线mx-y_m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点,

则有PAIPB,|PA|，|PB「=|AB|Z=10.

故|PA|・|PB|《回|；|PBI=5(当且仅当|PA|二|PB|二娓时取"=”)

故答案为：5

12.(1/2,0)

抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(P/2,0)。

•••抛物线方程为y2=2x,

：.2p=2,得P/2=l/2

..•抛物线开口向右且以原点为顶点，

抛物线的焦点坐标是(1/2,0)o

13(8,0]o因为二次函数的对称轴是x=0,开口向上，所以递减区间

为(-00,0]o

14.

Vf(x)是定义在R上的周期为2的函数,

f(|)=f(-^)=-4X(-A)2+2=1.

故答案为：1

15+4,

由题意可设抛物线的标准方程为/=-2Py)

•.•抛物线上的点〃(叫-2)到焦点的距离为

4,

「.《+2=4,解得p=4.

.•.抛物线的方程为7=-8y.

把点“(771,-2)代入m2=16,解得m=±4.

故答案为：±4.

16.

由已知可得4—3,4)和风1,1)

贝(1力8=(4,—3)

故可得|瓦5|=46+9=5

综上所述，答案是：5

17.

42

18.>

由于函数是减函数，因此左边大于右边。

19.

6V3

3,由于CC1=1,AC尸冉，所以角AC1C的正弦值为3。

20.11/12

流程图的运算.分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示

的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=l/2+l/4+l/6的值，由于

1/2+1/4+1/6=11/12故答案为：11/12

21.

（J嚣;蓝斌然为5件合格品

1

21

（2）恰有］件次品的概率为

p=二”

C；~21

22.

(1)依题意有

/(x)+3/(l)=x

X

/d)+3/(x)=，

XX

解方程组可得：

3-丁

小)=

8x

(2)函数/(x)为奇函数

•••函数/(X)的定义域为｛x|xH0｝关于原点对称，且

3-(-x)2_3-x2

/(-X)=一/(x)

8(-x)8x

...函数/(X)为奇函数

23.解：

实半轴长为4

，a=4

e=c/a=3/2,.,.c=6

.,.a=16,b2=c2-a2=20

双曲线方程为I，

24.

解：设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3

6+10、

------=3

b

/.b+10=3b,b=5

所以四个数为-5,5,15,45.

25.

:解：y=V3cos2x+3sin2x

=2>/J(；cos2x+理sin2x)

=2>/3(sin—cos2x+cos-sin2x)

=20sin(2x+令

(1)函数的值域为［一2百,2百］.

(2)函数的最小正周期为7=生=

2

，=2x+朗

*j

—•"f"y=1

26.V.4.

17xa+l6«x+4wJ-4=0

当△>()时，即-、伏而，相交

当△=()时一，即加=±J万，相切

当△<()时，即阴〉而附〈-而，相离

27.

n.1+tana_

tan(r—+a)=-------=2

41-tana

1.t

tana=-,sina--cosa

33

、3仁4

sm2a--.cos2a=—

55

贝加m2a-2cos2a=-l

28.1+2cos2a-cos2=1+2cos2a-(cos2a-sin2a)=l+cos2a+sin2a=2

a=b-3

c=6+3

29.由已知得：1("1尸=4«+6)

卜=4

<6=7

由上可解得卜=1°

30.

nx-i、V(sinl0-cos10

解:原式=---------i——

cos10-vcos?100

_|sin10-coslO|_coslO-sin10_

sinlO-|cosl00coslO-sinlO

31.7△=[-(^-1)?-4(*-1)3=4^-4*+1-4^+&1-4=^-3

(1)当^>0时，又两个不同交点

(2)当A=0时，只有一个交点

(3)当△<()时，没有交点

_i__2

32.(1)$3-1，』=d=1

又•.•等差数列&:

4=-------

2

.2nA1

.4--J--=(一-----;)

..n+附n«+1

(2)n+1

33.

(1)=q+(〃+1时吗0=30,。20=50

:.%+9d=30,q+19d=50得q=12,d=2

则4=2n+10

(2)S“=叫+丛”；Dd且S.=242

…n(n-1)、…

12n+---------x2=24

2

得n=ll或n=-22(舍去)

34.

解：(1)由S.=-2,-n,q=&=-3

ar?=5n-rfS-I।-I-4«(JI552)

an=l-4n(n》I)

(2){a/是a=-3,(2=—4,三位等正数列

数列是首项小一一3,d二一8项数是13项的等差数列

则数列=13x(-3)+^12x《-8)=-663

35.x2-6x+8>0,.,.x>4,x<2(1)

—>2:.Y2>0,得1cx<5

x-1x-1(2)

联系(1)(2)得不等式组的解集为卜区/2或4<z<5]

36.

（1）蒯“h题没条件知，点M的坐标为

（,以乂k,a=今•从而;=77进而a—

33102a10

底b,c=/a*—b'=2b、Wc=J一

u5

（2）证：由V是AC的中点知•,也N的坐标为（；.

一。）♦可得NM=（3•告）.又八2^=（—*6）,从

/66

而有A3•MN1a，Igb'「4*（56‘一a"）.

666

由（I）的计算结果可知a：一汕，所以而•诟？

-0,故MN_AB.

37.

在AA5C中，AB=3,AC=4,BC=5,

：.AB-+AC2=BC2,：.AC±AB.

又FA_L平面A5C.ACu平面ABC."A_LAC.

又A4|AB=A..\.•

而“8u平面FAR..ACLPB.

⑵解：存在，且G是棱PA的中点.•

证明如下：

在VAA5中，F、G分别是AB、PA的中点，.•.尸G〃/^8.

同理可证：DE//PB.：.FG//DE.■

又FG（Z平面DEu平面八66//平面.4£）E

q

38.(l),/PC±5FffiABCD,DC包含于平面ABCD,，PC_LDC.又AC

_LDC,PCAAC=C,PC包含于平面PAC,AC包含于平面PAC,

CD_L平面PAC.

(2)证明•..AB//CD,CD平面PAC,AABPAC,AB包含于

平面PAB,平面PAB_L平面PAC.

39.

⑴当〃22时有，=5„-SM_|=2a“-(2«n1)

则"=2a,(//>2)-^-=2(n>2)

贝”4｝是以q为苜项，2为公比的等比数列。

又由题意得2生+2=«+。3n2.2勾+2=q+4qnq=2则”“=2"(〃eN")

,]lii-drj.

(2)由题意得一=7r5eN')由等比数列求和公式得7；——

""2"1一~

7

则仁一1]=式[)2=4)"又•.•当〃=10时，((严=1024,(1)9=512

.,也-1卜』成立时，〃的最小值的〃=1()。

1(XX)

40.

...八05={—1}二-iwA且-iwB

A-{x|6xJ+5x-l-0)--j-l.-l

rf|-l€4fg6-m-i=0,;.m=5丹'6J

/J={x13x*+5x+2=0}=1-1,—,

由一］w8得3-5+"=0,.•.”=2得【3J

AU8=，-1.——

・I36

41.

(1)【证明】E、F分别为AC.AD中点：.EF

//CD*：CDU平面BCD.EFU平面BCD.

・・・EF〃平面BCD.

(2)【解】直线AD与平面BCD的夹角为45.又

•・•在△ABD中.AB18D,；・NBDA=NBAD

二45,«Afi=BD=4,乂*•S△arc=3X4X=

6♦••VAMR=6X4X-T"-8.

42.(l)ABCD-AiBiJD］为长方体，所以B】Di〃BD,又BD包含于平面

BC.D,BiDi不包含BGD,所以B】Di〃平面BC.D

(2)因为ABCD-AiBiCiDi为长方体，CG_L平面ABCD,所以BC为BC

在平面ABCD内的射影，所以角CiBC为与ABCD夹角，在Rt4

CiBC,BC=CG所以角CiBC=45。，所以直线BCi与平面ABCD所成

角的大小为45。.

43.

(I)证明：：E,F分别是BC,PC的中点，；.EF"PB.

'.'EFtZ平面PAB,PBu平面PAB,，EF〃平面PAB；

(II)证明:在三棱锥P-ABC中，•.•侧棱立1底面48(：心_18(：」.2818。HPAClAB=A,.,.BCl

平面PAB.

•；PBu平面PAB,

.,.BCIPB.

由(l)知EF//PB,.'.EF±BC.

44.

⑴刿翩：若。=1,后数/(工)在［1.6］上是增超数.

「、9

证时：击〃=1时，/(.v)=.r一一，

x

点区可［1,6］上任意占，%,这士《占，

,「9999

/（$）一/（K）=（占-------）—（A---）=（%—工）一（------）

F-xi-3*2

（.一&）（3+6）八

=------=----=----V”

占血

所以/(3)</(*),制/(工)及|1.6|上是增函致.

9

2a—（上+—）.1<A<a.

x

（2）国为“£（1.6）,所以/（.r）=«