2022年重庆市南开中学高考数学模拟试卷及答案解析

2022年重庆市南开中学高考数学模拟试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合A={x|x-6W0},B^{x\x<2},则AD（CRB）=（）

A.[2,6JB.（-8,2JC.（2,6]D.[6,+«>）

2.（5分）已知命题P：'勺xe[；,4],/_ax+4>o”为真命题，则实数°的取值范围是

（）

1713

A.a<4B.a<^-C.a<^-D.a>5

3.（5分）已知£即（。+/）=一3,则sin28=（）

443

A.—B.—FC.一D

555--I

4.（5分）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5,6）,（3,-4）,

则这个圆的方程为（）

A./+）?+4x-2y+7=0B./+9-8x-2y-9=0

C.xi+y2+Sx+2y-6=0D.Jt^+y2-4x+2y-5=0

5.（5分）如图，在三棱锥A-8CQ中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分

别为A£>,8c的中点，则异面直线AMCM所成的角的余弦值是（）

7777

A.一B.—oC.-77FD.——

882525

6.（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左

腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,

13,……，则下列选项不正确的是（）

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上「3。3:1

,1-41

才占彳01051

4^615201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第"（〃》5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有------个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是行

7.（5分）在正方体48。0-4以。。|中，|A8|=3,点E是线段AB上靠近点A的三等分点，

在三角形A18O内有一动点尸（包括边界），则|B4|+|PE|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3H

8.（5分）已知函数/'（x）=5-k/nx,当x>l时，不等式『（x）》x+l恒成立，则上的取

值范围是（）

A.（-°°,-e]B.（-8,-4]C.（-8,-/]D.（-00,0J

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知复数zi,Z2,Z3,/是zi的共轨复数，则下列结论正确的是（）

A.若zi+z2=0,则|zi|=|z2|B.若z2=Z>则|zi|=|z2|

C.若Z3=Z1Z2,则Iz3|=|zi||z2|D,若|zi+l|=|z2+l|,则|zi|=|z2|

（多选）10.（5分）如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中4、

42、A3、4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙

两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时

出发，直到达N、M处为止.则下列说法正确的是（）

41N

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A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过42到达N处的方法有9种

81

C.甲、乙两人在A2处相遇的概率为F

400

41

D.甲、乙两人相遇的概率为f

（多选）11.（5分）全班学生到工厂劳动实践，各自用AB=4czn,8C=CC1=2cs的长方

体ABCQ-AiBiCiQ切割出四棱锥P-FBED模型.产品标准要求：E,F分别为AB,

CD的中点，P可以是线段A1B（不含端点）上的任意一点.有四位同学完成制作后，对

自已所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是（）

A.使直线PD与平面PEB所成角取到了最大值

B.使直线PE与平面PD尸所成角取到了最大值

C.使平面PDE与平面PF8的夹角取到了最大值

D.使平面PQF与平面PE8的夹角取到了最大值

（多选）12.（5分）由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项

式.一般地，存在一个"（〃eN*）次多项式P”（f）=ao产+m产"+。2产°+…+a”（a。,a\,

“2…a”eR）,使得cosnx=P"（cosx）,这些多项式为⑺称为切比雪夫（P.L.Tschehyschejf'）

多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）

A.P3（/）=-4卢+3fB.P4（力=才-8?+1

V5+1

C.sinl8°=D.cosl8°一

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今

有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五

百人，则北乡遣人.

14.（5分）韦伯望远镜必须在不受任何其它热源干扰的情况下保持在-223℃以下才能观察

红外线中的微弱信号.为了防止热传递，NASA工程师们开发了由Ka/。”材料组成的遮

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9

阳板.太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线的强度减弱为原来的不，而通过韦伯

望远镜遮阳板则能将其中的紫外线的强度减弱为原来的则要达到韦伯望远镜遮阳板的

9

减弱效果，至少需要的普通玻璃层数为.（参考数据：/g3-0.477）

x2y2

15.（5分）已知椭圆C—+—=1（a>b>0）的左、右焦点分别为为，尸2,椭圆C外

azb乙

一点P满足PF2上FIF2,且|尸尸2|=尸1正2|,线段PF1,尸产2分别交椭圆C于点A,B,若照I

=lg,则霭=--------

16.（5分）正方体ABC。-AIBICIDI的棱长为2,动点P在对角线上，过点P作垂直

于BD\的平面a,记平面a截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=/（x）,

设BP=%,%G（0,2V3）.

（I）下列说法中，正确的编号为.

①截面多边形可能为四边形；②坐）=3&；③函数/（x）的图象关于x=8对称.

（II）当x=H时，三棱锥P-A8C的外接球的表面积为.

四、解答题（17题10分，18〜22题满分均为12分）

17.（10分）已知公差不为0的等差数列｛〃”｝满足"3=5,且m,及，“5成等比数列.

（1）求数列｛酸｝的通项公式；

（2）设%=7rl—,数列出“｝前〃项和为力”求使得7；〈暴成立的〃的最大值.

anan+l03

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18.（12分）已知函数/'（x）=Esizi（3x+w）+2sin?（巴左空）—1（3>0,OV^Vw）为奇函

7T

数，且/（X）图象的相邻两对称轴间的距离为引

（1）求f（X）的解析式与单调递减区间；

（2）已知/（x）在［一?将时，求方程2/2（为+次/（乃一3=0的所有根的和.

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19.(12分)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由1(keN*)个

相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p各元件之间相互独立.当

控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正

常运行的概率为"(例如：P2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；P3

表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率).

(1)若p=^,当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，

并求P2;

(2)已知设备升级前，单位时间的产量为“件，每件产品的利润为4元，设备升级后，

在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为

高端产品的概率为之每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为丫

4

(单位：元).

(i)请用PK表示E(y)；

(ii)设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E

(r).

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20.(12分)如图所示，四棱锥A-BCQE中，△ABC为正三角形，CD"BE,BC=CD=^BE

=1,DE=遮,AQ=1.

(1)求四棱锥A-BCDE的体积；

(2)求BE与平面AQE所成角的正弦值.

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xyy2

21.（12分）己知椭圆C：—+—=1Ca>b>0）的焦距为2,点（1,—）在C上.

a2b22

（1）求C的方程；

（2）若过动点尸的两条直线/1,/2均与C相切，且八，/2的斜率之积为-1,点A（一百，

0）,问是否存在定点B,使得自1•病=0?若存在，求出点8的坐标；若不存在，请说明

理由.

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22.（12分）已知函数/（x）=患一历x（a>0,e=2.71828…为自然对数的底数）.

（I）当4=1时，判断函数/（X）的单调性和零点个数，并证明你的结论；

（II）当x£[l,e]时，关于冗不等式f（x）〃〃恒成立，求实数〃的取值范围.

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2022年重庆市南开中学高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={x|x-6W0},B={x\x<2},则AD(CRB)=()

A.[2,6]B.(-8,2|C.(2,6]D.[6,+°°)

解：：8={x|x<2},.，.CRB={^|X^2},

又；A={x|x-6W0}={x|xW6},

.*.An(CRB)={X|2WXW6},

故选：A.

2.(5分)已知命题P：'勺xcg,4],%2一。％+4>0，，为真命题，则实数Q的取值范围是

()

1713

A.〃<4B.苛C.QV苛D.a>5

解：“mxe技，4],x2-ax+4>0n为真命题，

14

则XW反，4]时，Cl<(x+—)max，

根据对勾函数单调性可知，当时，)，=X+g取得最大值日.

所以“V学.

故选：B.

3.(5分)已知tcm(6+/)=—3,则sin26=()

4433

A.-B.-HC.-D.

5555

,.yrl+tan0,

解：由+无)=-3,得-------=-3,解得tane=2,

41-tanO

..2sin0cos0_2tan0_4

*,Sin20=sin2e^cos20=tan20+l=5*

故选：A.

4.(5分)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),

则这个圆的方程为()

A.?+y2+4x-2y+7=0B.^+y2-8x-2y-9=0

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C.x2+y2+8x+2y-6=0D.f+y2-4x+2y-5=0

解：根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5,6）,（3,

-4）,

则圆的圆心为（4,1）,半径/•=,x94+100=底,

则圆的方程为（x-4）2+（y-1）2=26,即/+/-8尤-2y-9=0,

故选:B.

5.（5分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,A£»=8C=2,点M,N分

别为AO,8c的中点，则异面直线AMCM所成的角的余弦值是（）

777~

A.—B.—oC.—D.一

882525

解：由题意：三棱锥A-BCD中，连结NQ,取.ND的中点为E,连结ME,MME//AN,

异面直线AMCM所成的角就是NEMC.

\"AB=AC=BD=CD^3,AD=BC=2,点,M,N分别为AO,8C的中点，

：.AN=2A/2,ME=EN=V2,MC=2近,

又ENLNC,：.EC=>JNC2+NE2=V3；

MC2+ME2-EC22+8-37

cosZEMC=-----"=T~vc—=3.

2MCME2X/2X2728

7

・,.异面直线AN,CM所成的角的余弦值是3

故选：A,

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6.（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左

腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,

13,……，则下列选项不正确的是（）

士,

1分

工4二641

才务彳01051

4^615201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第〃（〃25）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

c.在第〃条斜线上，共有入+1一（二0个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是G

解：由题意，根据杨辉三角定义继续往下写三行有：

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A：由图知，第九条斜线上，各数之和为1+10+15+7+1=34,二A错误.

B：由定义及图中规律可知，都是从左向右先增后减，正确.

C：由图，每条斜线个数为1,1,2,2,3,3-,代入2"+1一（一11符合,，C正确.

4

D：第11条斜线上最大数为35=C；,.•.£＞正确.

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故选：A.

7.（5分）在正方体ABC。-AIBICIOI中，|AB|=3,点E是线段AB上靠近点A的三等分点,

在三角形4B。内有一动点P（包括边界），则|布|+|PE|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3遍

解：如图，

以。为坐标原点，分别以D4、DC、QQ1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

由正方体的对称性可知，ACi_L平面AiBD,A(3,0,0),Ci(0,3,3),E(3,1,0),

222

设A关于平面A1BO的对称点为A',4、=(-3,3,3),ACr=V3+3+3=35/3,

ixix3x3x3

由等体积法求得A到平面A18Z）的距离h=V3,

|x|x3V2x3V2x^

：.AA'=2V3,则=(-2,2,2),

设A'(x,y,z),贝U4=(x-3,y,z)=(-2,2,2),即A'(1,2,2),

...或'=(-2,1,2),可得|B4|+|P£|的最小值是J(-2)2+#+22=3.

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)=%-k/nx,当x>l时，不等式/(x)》x+l恒成立，则％的取

值范围是()

2

A.(-°°,-e]B.(-°°,-4]C.(-8,-e]D.(-°°,0]

解：函数/(x)=%-kbix,当x>l时，不等式/(x)》x+l恒成立~~Lnx~~,x&

(1,+8).

令g(x)=ex-x-],g'(JC)=F-1,

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函数g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)单调递增，.•.e'/x+l,

.•.『4.炭=/以-3，=/一4垢》》-4阮*+1,

x~4ex-x-lx-4lnx+l-x-l

：.----------->------------------4,xG.(1,+8).

InxInx

函数/?(x)=x-4lwc,xG(1,+8).

hf(x)=1—1=三^，可得函数〃(x)在(1,4)上单调递减，在(4,+8)上单调

递增，

h(x)(4)=4-4加4V0,存在刈>1,使得/?(xo)=0,

x~^cx—x_1

—；------的最小值为-4.

Inx

:.kW-4.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)已知复数zi,Z2,Z3,痣是zi的共辗复数，则下列结论正确的是()

A.若Zl+Z2=0,则|zi|=|z2|B.若Z2=痣，则|zi|=|z2|

C.若Z3=Z1Z2,则|Z3|=|Z1||Z2|D.若|zi+l|=|z2+l|,则0|=|z2|

解：选项A:若Z1+Z2=O,则Zl=-Z2,所以忆1|=LZ2|=|Z2|,故A正确,

选项8：设zi=x+yi(x,yGR),则五=x-yi,则|zi|==|z2|,故6正确,

选项C：设zi=x+yi,zi=a-bi(x,y,a,Z?GR),则ziz2=(x+yi)(a-bi)=Cax+by)

+Cay-bx)i,

22

则\z[Z2\=J(ax+by)2+(ay-b%)2=+y2)(q2+炉)，|2y\\z2\=yjX+y•

\la24-b2,所以|z3|=|ziz2|,故C正确，

22

选项£)：设zi=2+4i,Z2=4,则|zi+l|=|3+4i|=5=|z2+l|=|5|=5,但是|zt|=V2+4=

2通r|Z2|=4,故。错误，

故选：ABC.

(多选)10.(5分)如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中Ai、

A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙

两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时

出发，直到达N、M处为止.则下列说法正确的是()

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A.甲从朋到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过A2到达N处的方法有9种

81

C.甲、乙两人在A2处相遇的概率为F

400

41

D.甲、乙两人相遇的概率为f

解：对于A,甲由道路网M处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，

共有以=20种方法，故A错误；

对于B,甲经过A2到达N,可分为两步：

第一步：甲从M经过A2的方法数：门种，

第二步：甲从42到N的方法数：戏种，

所以：甲经过42的方法数为废废=9种，故B正确；

对于C,由AB知：甲从M到达N处的方法有底=20种，甲经过A2的方法数为：废玛=9

种，

同理，乙从例到达N处的方法有/=20种，乙经过42的方法数也为：废废=9种，

甲、乙两人相遇经A2点的方法数为：废废・CK¥=81利

甲、乙两人相遇经上点的概率尸=照=盖，故C正确；

对于£>,甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在Ai、A2、A3、A4处相遇，

他们在AiG=l,2,3,4)相遇的走法有(C3rI)4种方法；

(C3°)4+(C31)4+(C32)4+(C33)4=164

甲、乙两人相遇的概率2=摆=盖，故。正确.

故选：BCD.

(多选)11.(5分)全班学生到工厂劳动实践，各自用AB=4cm,BC=CCi=2c〃？的长方

体ABCD-4BC1O1切割出四棱锥P-F8ED模型.产品标准要求：E,F分别为A8,

CC的中点，P可以是线段4与(不含端点)上的任意一点.有四位同学完成制作后，对

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自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是()

B.使直线PE与平面PDF所成角取到了最大值

C.使平面PDE与平面PFB的夹角取到了最大值

D.使平面尸。尸与平面PEB的夹角取到了最大值

解：以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图,

x

贝ijD(0,0,0),4(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,2,0),F(0,2,

0),

设P(2,t,2),0</<4,

则而=(2,t,2),EP=(0,t-2,2),DF=(0,2,0),DE=(2,2,0),FP=(2,

r-2,2),BP=(0,L4,2),

取平面PEB的一个法向量为蓝=&=(2,0,0),

设平面PO尸的法向量三=(x,y,z),

第16页共27页

则已皆=2y=。，取x=],得曾=(b0,7),

(.n•DP=2%+ty+2z=0

设平面PQE的法向量5=(xi,y\,zi),

/->T

p-DP=2%i4-tyi4-2zi=0小/日一_3八、

贝mi|Jl二T1九1,取用=2,得口=(2,-2,/-2),

.p-DE=2x1+2yl=0

设平面PFB的法向量为7=(X2,”,Z2),

则也子=2x2+(-2)%+2Z2=0,取m=2,得4=(2,-2"4),

、q♦BP=(t—4)y2+2z2—0

对于A,设直线尸。与平面尸母所成角为a,

I而葡=4=2

则sina=|cos<DP,m>\=

\DP\-\m\27+8Jt2+8

V0<?<4时,函数y=—=单调递减，没有最大值，故A错误;

对于8,设直线PE与平面尸。尸所成角为0,

贝！)sinp=|cos<DP,m>\=邛？-=---/?==/?=,

IEPHMV2-J(t-2)2+4J(t-2)2+4

0<f<2,函数产,,W,■单调递增,2<f<4时，函数尸,坛单调递减,

，当f=2时，即P是481中点时，sin0取最大值，此时夹角0最大，故B正确；

对于C,设平面P£»E与平面PF8折夹角为0,

则cos0=|cos<p,q>\—夕田=।土

IPHqlj8+(J2)2」8+(t-炉

下面研究函数y=।6t之二6：+16在怎(0)4)上的单调性，

j8+(t—2).j8+(t—4)

令/-3=s,(/-3)2=s2=r,

t2-6/4-16=Ct-3)2+7=52+7,

8+(r-2)2=8+[(f-3)+1?=9+(r-3)2+2(r-3)=9+J+2s,

8+(r-4)2=8+[(r-3)-1]2=9+(z-3)2-2(t-3)=9+，-2s,

则[8+(1-2)2]・[8+(7-4)2]=(9+S2+2S)(9+S2-2s)=(9+/)2-452=/+14y2+81

=(S2+7)2+32,

第17页共27页

产―6t+16S2+711

2

出+旧户如上炉J(S2+7)+32部+7)2+32

6+7)2

/G(0,4),r=(/-3)2在正(o,3)递减，在正(3,4)递增，且rG[0,9),

又尸11在，<0,9)时递增，

1+-^

J(r+7)”

故由复合函数单调性判断原理可知：

t—6亡+16

在正(0,3)递减，在左(3,4)递增,

Js+(t-2)2-j8+(t-4)

则cos6在t=3时取最小值，此时。最大，叩平面PDE与平面PFB的夹角取到了最大

值，故C正确；

对于。，设平面POF与平面PEB的夹角为lp,

则cos(p=[cosn>|=--^=—贝I]年=45°为定值，故。错误.

故选：BC.

(多选)12.(5分)由倍角公式COS2JC=2COS2X-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项

式.一般地,存在一^个n(«GN*)次多项式尸"(f)=aof'+ai1+a2t"2+,,,+an(ao>a\,

“2…a,£R),使得cosnx=P/；(cosx),这些多项式称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff')

多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得()

A.P3(/)=-4P+3ZB.P4(力=8八81+1

解："."cos3x=4cos;1x-3cosx,

/.P3(t)=4?-3t,故选项A错误；

"."cos4x=2cos22x-1

—2(2COS2X-1)2-1=8COS4X-8cos2x+1>

：.P4(/)=8r4-8?+l,故选项B正确；

Vcos5x=cos2xcos3x-sin2^sin3x

=(2COS2X-1)(4cos\-3cosx)-2sinxcosx(3sinA-4sin\)

=8COS5X-10COS\+3COSX-2cosx(3sin2x-4sin4x)

=8COS5X-10COS\+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

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=8cos\-1OCOS3X+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

=8COS5X-10cos\+3cosx-2cosx(3-3cos2x-4+8cos2x-4cos4x)

=8COS5A-10COS3X+3COSX+2COSX-1Ocos3r+8cos5x

=16COS5X-20COS3%+5COSX,

Acos90o=16COS518°-20COS318°+5COS18°=0,

即16cos丸80-20COS2180+5=0,

2

2,o«20+j20-4xl6x55+店海2lQ»5-75

解得cos18=-------------------------=~~或cos18=­g—,

VCOS218°>COS230°=7,Acos218°=舍去,

45o

・2iQO5+75..2iQO_]5+店3-75,花―I、2

..cos18=­g-,..sin18=1-----g—=―g—=(―

.".sin18°=41,故选项C正确；

而(粤产=争力"巨，故选项。错误.

故选：BC.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。

13.（5分）我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今

有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五

百人，则北乡遣人0人.

5001

解：由题意，抽样的比例为

8100+7488+691245,

北乡应抽取8100x^=180人,

故答案为：180.

14.（5分）韦伯望远镜必须在不受任何其它热源干扰的情况下保持在-223℃以下才能观察

红外线中的微弱信号.为了防止热传递，M4sA工程师们开发了由Kaph〃材料组成的遮

9

阳板.太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线的强度减弱为原来的而通过韦伯

10

望远镜遮阳板则能将其中的紫外线的强度减弱为原来的a则要达到韦伯望远镜遮阳板的

减弱效果，至少需要的普通玻璃层数为21.（参考数据：々3^0.477）

解：设原紫外线强度为1,设至少需要的普通玻璃层数为x层，

则扁尸」

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・、，1_喝_-2lg3_2lg3

••启/o^9=破=2^1=1=2^3a2。？

••.至少需要的普通玻璃层数为21层,

故答案为：21.

X2V2

15.(5分)已知椭圆C：—+rr=1(a>b>0)的左、右焦点分别为为，尸2,椭圆C外

a2b2

一点P满足PF2_LA尸2,且|以切=尸声2|,线段PP1,尸放分别交椭圆。于点A,B,若|网

=|AFi|,则瞿!='

\PF2\—4—

解:设|尸冏=四尸2|=2C,\PA\=\AF\\^t,

由于尸2_1_尸1尸2,可得|A尸2|=|M|=f,

由椭圆的定义可得|AFi|+|A尸2|=2f=2",即t=a,

又2a=2V2c,即t=a=V2c,

16.(5分)正方体ABC。-AIBICIQI的棱长为2,动点尸在对角线上，过点P作垂直

于BD\的平面a,记平面a截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y=/(x),

设BP=x,xe(0,2V3).

(I)下列说法中，正确的编号为②③.

①截面多边形可能为四边形；②f(空)=3应；③函数/(x)的图象关于x=K对称.

(II)当％=K时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为9n.

解：(/)正方体A8C£>-4i8iCi£>i的棱长为2,可得对角线长为2遮，

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x=V5时，由线面垂直的判定和性质可得平面ABiC,△ABiC为边长为2e的正三

角形，

其余截面与平面AB1C平行，且为正三角形，或当截面过各棱的中点时为正六边形，

截面为正六边形，故①不正确；

当苫=亭时，截面为边长为企的等边三角形，可得周长为3vL故②正确；

根据正方体的对称性，可得函数/(x)的图象关于》=遮对称，故③正确；

(〃)x=8时，截面为△ABiC,P在底面上的射影为AC的中点。,，可得球心。在0P

上，

设球的半径为R，可得(OP-R)2+OB2=R2,即(1-R)2+2=R2,解得R=|,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为47TR2=9n,

故答案为：②③，97T.

四、解答题(17题10分，18〜22题满分均为12分)

17.(10分)已知公差不为0的等差数列｛〃”｝满足43=5,且G,。2,酸成等比数列.

(1)求数列｛a求的通项公式;

(2)设%=77=」，数列｛为｝前〃项和为方，求使得〃成立的〃的最大值.

解：(1)因为41,CL2,45成等比数列，所以的？=。逆5，贝1(%+d)?=。1(即+4d),

又dWO,所以d=2ai,又43=4i+2d=5〃i=5,所以41=1,d=2,

所以Q九=%+(九一l)d=2n-1,(nGN*).

/c、b人n_1_1_-1,11_-lrl1,+11+.，

(2)~anan+1~(2n-l)(2n+l)2^271=4-2n+T^24-33-5

11,_n

_2n+lJ=2n+l

要使篇即/一V三解得nV挛故最大整数〃的值为io-

652n+l653

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18.(12分)已知函数/'(x)=Esizi(3x+w)+2sin?(巴左空)—1(3>0,OV^Vw)为奇函

7T

数，且/(X)图象的相邻两对称轴间的距离为引

(1)求f(X)的解析式与单调递减区间；

(2)已知/(x)在[一?将时，求方程2/2(为+次/(乃一3=0的所有根的和.

解：(1)由题意知，f(x)=V3sin(u)x+(p)+2sirr(---)-1=V3sin(o)x+(p)-cos

(a)x+(p)=2sin[(o)x+(p)—

71

因为f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为5,所以f(x)的最小正周期为7=71,所以

27r。

o)=7=2,

又因为/(x)为奇函数，所以"一专=攵兀，kEZjf解得叩=看+内T,kWZ；

又因为OVtpVn,所以0=看，函数f(x)=2sin2x,

7i37r437r

令一+2kn<2x<—+2kn,kEZ,解得一+fczr<x<一+kn,kWZ,

2244

所以函数/(x)的递减区间为踪+/C7T,¥+时，依Z.

(2)引时，2XG[-J,yj,sin2xG[-1,1J,f(x)G[-2,2],

方程2升(%)+V3/(x)-3=0可化为[f(x)+V3][2/(x)-V3]=0,解得f(x)=-百或

f(x)=当，

即sin2x=一空或sin2x=字，

当sin2x=—空时，2x=—4或2x=竽或2x=挈，解得x——看或x=冬或x=等，

当sin2x=^时，2xi+2x2—Ti,所以xi+x2=*,

综上知，在[一先暂时，方程2f2(x)+8/(x)-3=0所有根的和为(一1+警+当

OOUOO

,71117T

+2=--

19.(12分)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2/-1(髭N*)个

相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(OVpVl),各元件之间相互独立.当

控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正

常运行的概率为"(例如：P2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3

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表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率).

(1)若p=|,当A=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，

并求P2;

(2)已知设备升级前，单位时间的产量为〃件，每件产品的利润为4元，设备升级后，

在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为

高端产品的概率为士每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为丫

4

(单位：元).

(i)请用p&表示E(7)；

(ii)设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E

(D.

解：(1)因为k=2,所以控制系统中