专题14 8字型和反8字型相似模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题148字型和反8字型相似模型【模型1】8字型模型如图14-1,要证明△OAB∽△ODC根据对顶角相等，可知∠AOB=∠DOC,只需知道【模型2】反8字型模型如图14-2,要证明△OAB∽△OCD根据对顶角相等，可知∠AOB=∠DOC,只需再知道【例1】如图，AB//CD,AE//FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则下列结论中错误【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可.【解析】解：∵AB//CD,∴A选项正确，不符合题目要求；∴B选项正确，不符合题目要求；∴四边形AEDF是平行四边形，∴C选项正确，不符合题目要求；∴D选项不正确，符合题目要求.【例2】如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=2BE,点F为对角线BD则正方形ABCD的边长为Cm.【分析】如图，过F作FI⊥BC于I点，连接FE和FA,得到△BIF~△BCD,设BE=EI=1C=acm,CE=FI=2acm,AB=3acm,求出FE,AH,AG,证明△BEG~△DAG,得最后求值即可.【解析】如图，过F作FI⊥BC于I点，连接FE和FA,∴设BE=EI=IC=acm,【例3】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB,点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M,BC和DF交于点N,联结BD.(1)求证：△BND∽△CNM;(2)如果AD²=AB·AF,求证：CM·AB=DM·CN.【答案】(1)见解析；(2)见解析∴AB=CD,AB//CD,而BE=AB,而BE//CD,一、单选题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2,则△ABC的面积为()A.8B.10C.12【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得AD//BC,AD=BC,由AE//BC可判断△AEF∽△CBF,根据相似三角形的性质得然后根据三角形面积公式得则【解析】∵平行四边形ABCD∴AD//BC,AD=BC∵E为边AD的中点如图，过点F作FH⊥AD于点H,FG⊥BC于点G,∵△AEF的面积为2A.1:5B.4:25C.4:31根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1:4,设SD=S,的面积，再根据平行四边形的性质可得SDgc=SAp,然后相比计算即可得解.∴AB//DE,AB=CDQBD是平行四边形ABCD的对角线，3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB//CD,则可判断△ABG∽△CFG,△ABE∽△DFE,于是根据相似三角形的性质和AE=2ED即可得结果.【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，若DE=12,则DF等于()A.3B.4【答案】D),由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF,再根据相似三角形的对应边成比例可得出.【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AC的延长线于点E,那么CE等于()cm.A.32B.24C.48【答案】C【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解.【解析】解：标出字母，如图：∵在三角形ABC与三角形CED中，6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则的值为()A.【答案】C【分析】由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,证明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.【解析】解：由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,∵四边形ABCD是平行四边形，7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE,下列结论：①∠ACD=30③OE:AC=1:4;④S△OCF=2S△OEF.其中正确的有()平分∠DCB交BD于点F,【答案】C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°,求出根据直角三角形的性质得到AC=√3BC,根据三角形的中位线的性质得到于是由三角形的中位线可得BC//OE,可判断△OEF∽△BCF,根据相似三角形的性质得到求得S△ocr=2S△oEF;故④正确.【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵CE平分∠BCD交AB于点E,在Rt△ACB中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,故③错误；故③错误；,动点P在射线EF上，BP交CE于点D,∠CBPA.9B.12【答案】C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G.首先证明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,推出即可求出EG解决问题.【解析】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G.的面积之比为【答案】1:9【分析】直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案.【解析】解：∵△AOB与△COD是位似图形.位似中心为点O,OA:OC=1:3,∴△AOB与△COD的面积之比为：1:9.故答案为：1:9.【答案】4或8分别是直线AC和AB上的点，若且AD=3,【分析】通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，只限定AE的长度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可.【解析】如图则BE的长为4或8.∴DC//AB,DC=AB,故答案为：2.E为AB上一点，CE⊥BD于点F,当AD=CD时，求CE的长.【答案】【分析】将Rt△ACB补成矩形ACBH,延长CE交AH于点G,可得△BCD∽△CAG,结合再由△AEG∽△BEC即可求出CE.、.【解析】解：如解图，补成矩形ACBH,延长CE交AH于点G,事事;,;则,,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.(1)求HD的长；(2)设△BEG的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)【答案】(1)2;(2)【分析】(1)根据平行四边形的性质得AD//BC,根据相似三角形的判定得△BEG∽△DEA,△BFG∽△DFH,由BE=EF=FD可得出根据相似三角形的性质即可求【解析】解：(1)∵平行四边形ABCD,BC=8,,,,,14.如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE.交AC于O,交AD于F.【答案】见解析.【分析】根据AD//BC,得△AOF∽△COB,由AB//DC,得△AOB∽△COE,再根据相似三角形对应变成比例即可.【解析】证明：∵AB//DC,即BO²=OE-OF(1)求证：△ABC∽△DBE.(2)若AC=8,BC=6,CE=9,【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】(1)根据相似三角形的判定解答即可；【解析】证明：(1)∵∠DBE=∠ABC,代入数据解答即可.16.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC,点F在边AB上，BC²=BF·BA,CF与DE相交于点G.(2)当点E为AC中点时，求证：2DF·EG=AF·DG.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)由BC²=BF·BA,∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF,再由DE//BC可判(2)作AH//BC交CF的延长线于H,如图，易得AH//DE,由点E为A再利用AH//DG可判定△AHF∽△DGF,则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可.【解析】证明：(1)∵BC²=BF·BA,(2)作AH//BC交CF的延长线于H,如图，17.矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s;动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s.过点P作BC的垂线段PH,运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O.若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t(s)(O<t<1.5),解答下列(1)求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；(2)是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直?如果存在请求出t值；如果不存在请说明(3)是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由.(3)存在，t=1【分析】(1)当四边形PHCQ为矩形时，PH=CQ,利用相似三角形的性质求出PH,CH,(3)根据矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的构建方程求解即可.【解析】解：(1)∵AB=3,BC=4,即:·:·时，四边形PHCQ时，四边形PHCQ为矩形；(2)存在一个时刻，使HQ⊥AC,当HQ⊥AC时，∠QHC+∠ACB=90°,(3)存在，∴当t=1时，矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的18.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE,若AE的延长线和BC的延长线相交于点F.(2)连接AC和BE相交于点为G,若△GEC的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)24.【分析】(1)根据E是边DC的中点，可以得到DE=CE,再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到∠ADE=∠ECF,再根据∠AED=∠CEF,即可得到△ADE≌△ECF,则答案【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,AD=BC,(2)∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，∴△CEG~△ABG,19.如图，△ABC中，中线AD,BE交于点F,EGI/BC交AD于点G.(2)如果BD=4√3,DF=4,请找出与VBDA相似的三角形，并挑出一个进行证明.【答案】(1)3;(2)△BDA∽△FGE,证明见解析【分析】(1)先证明△AGE~△ADC,再证明△GEF∽△DBF,得到DF=2GF,则问题可解；(2)根据题意分别证明△BDA∽△FDB,△BDA∽△FGE问题可证.,,,,,20.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°(如图).以线段AB为边向外作等边三角形ABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)连接CD,交AB于点M.①若AB=6,求BM的长；的性质、等边三角形的判定与性质可得∠CEB=∠CBE=∠ABC=60°,然后根据平行线的判定可得CF//BD,BCI|FD,最后根据平行四边形的判定即可得证；(2)①先根据相似三角形的判定与性质可得,再根据(1)已求.,从而可得由此即可得证.【解析】(1)∵△ABD是等边三角形在Rt△ABC中，∠CAB=30°∵点E是线段AB的中点∴△BCE是等边三角形∴四边形BCFD为平行四边形；(2)①如图，连接CD,交AB于点M②如图，作MN⊥AC,垂足为N,DE与AC的交点.(1)求证：∠BDE=∠ACD;(3)将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线如图2.②若DE=4DF,请直接写出SAABC:SADEC的值.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①见解析；②16:15.【分析】(1)运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题.(2)如图1,证明△DCA≌△EDG(AAS),得AD=EG,根据等腰三角形的判定得：DG=AB,(3)①如图2,作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG(AAS),得DA=EG,再②如图3,作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得设AF=a,则EG//AC,同理得设BE=y,BC=4y,利用三角形面积公式代入可得结论.【解析】(1)证明：∵AC=AB,(2)证明：如图1,图1’由(1)知：∠DCA=∠BDE,(3)解：①如图2,过点E作EG//AC,设AF=a,则EG=AD=4a,DG=16a,设PD=3h,AH=4h设BE=y,BC=4y,段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α,得到线段PD,连接DB,DC.(2)如图2,当α=120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由.【分析】(1)当α=60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；(2)过点A作AE⊥BC,求得根据题意可得△PBD~△ABC,可得再根据∠PBA=∠DBC,判定△PBA∽∠DBC,得到即可求解；(3)过点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,分两种情况进行讨论，当P在线段AE或当P在线段AE延长线上时，设PF=x根据勾股定理求解即可.【解析】解：(1)当α=60°时，∵AB=AC∴△PBD为等边三角形(2)过点A作AE⊥BC,如下图：,(3)过点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,则点D到CP的距离就是DF由(2)得CD=√3B或23.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=1,D为AB上一点，连接CD,分别(2)若点D满足BD:AD=2:1,求DM的长；(3)如图2,若点E为AB中