2023年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷

1.3的平方根是（）

A.3B.±3C.v-3D.±V-3

2.下列运算正确的是（)

A.a3+a4=a7B.a3-a4=aI?C.(a3)4=a7D.(—2a3)4=16al2

3.下列事件中，属于确定事件的是（)

①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出

生；④买一张彩票，中1000万大奖.

A.①②B.①③C.②④D.①②③

4.如果圆锥的母线长为5,底面半径为2,那么这个圆锥的侧面积为（）

A.10B.107TC.20D.207r

5.下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形

是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方

形，正确的命题个数为（）

A.B.2C.3D.4

6.正比例函数y=kx（k*0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x-k的图象大致是（）

7.如图，在平面直角坐标系x。），中，点A在x轴正半轴上，点

P（-a,a）（a>0）,连接AP交y轴于点B.若AB：BP=2：1.则sin/PA。

的值是（）

1

A.

3

B.6

可

C.VTo

10

D.3>/T0

10

8.如图，在矩形纸片ABC。中，将AB沿翻折，使点A落在

8c上的点N处，为折痕，连接MN；再将CQ沿CE翻折，使

点。恰好落在上的点尸处，CE为折痕，连接E尸并延长交

于点P,若4D=24,AB=15,则线段PB的长等于（）

A.2<7B.3cC.4<7D.

9.如图，矩形ABC。中，点A在双曲线、=-：上，点B,C在x轴上，

延长CD至点E,使DE=义CD,连接8E交y轴于点F,连接CF,则△BFC

的面积为（）

A.2

B.3

D.4

10.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，CDLAB,垂足为D,

力。=2,点E是。。上的动点（不与C重合），点尸为CE的中点,

若在E运动过程中。产的最大值为4,则C£>的值为（）

A.27~3B.2\T2C.3<7D.|

11.分解因式：x3-x=

12.方程/一3无=1的解是.

13.命题“对顶角相等”的逆命题是.

14.请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线％=-2为对称轴，开口向上的抛物线:

15.小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：140,138,140,137,若要使

5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是.

16.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=5,E点为BC

边延长线一点，且CE=3.连接AE交边C。于点F,过点。作

DH1AE于点H,则DH=.

ECB

17.如图，正方形ABCD的边长为2,点E是边AB上的动点，连接ED、

EC,将绕点E顺时针旋转90。得到EM将EC绕点E逆时针旋转90。

得到EM,连接MN,则线段MN的取值范围为.

18.如图，二次函数y=；/—|%—4的图象与x轴交于A、B两

点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,则NACB=°

M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ〃y轴交BC于Q,

若ANQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为.

19.(1)计算：-3cos30°+(1-兀)°;

(2)化简.-a-b--b-a+—b-a

(4(%+1)<7%+7

20.(1)解不等式组x—l.4,1；

----F<1

(2)已知M=2/-2x+3,N=4/-3X+4,请比较例和N的大小.

21.如图，在平行四边形A8CD中，E是BC边上一点，连接AE、AC、ED,AC与交于

点O,AE=AB,求证:

(1)AC=DE.

(2)0E=0C.

22.某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名

中小学生进行问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下：

调查问卷(部分)

1.你每周参加家庭劳动时间大约是h.

如果你每周参加家庭劳动时间不足2h,请回答第2个问题;

2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是(单选).

A.没时间B.家长不舍得

C.不喜欢D.其它

中小学生每周参加家庭劳动时间X(九)分为5组：第一组(0<x<0.5),第二组(0.5<x<1),

第三组(1Wx<1.5),第四组(1.5W无<2),第五组(x22).根据以上信息，解答下列问题:

(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？为什么？(必须说明

理由)

(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？

(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h,请结合上述统计图，

对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

某地区1200名中小学生每周

参加家庭劳动时间统计图

影响中小学生每周参加家

庭劳动的主要原因统计图

(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是.

(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张，卡片上所标

数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是

多少？

24.如图，44口。内接于。0,是直径，/C4B的平分线交BC于点。，交。。于点E,连

接EB,作EF〃BC,交AB的延长线于点F.

(1)试判断直线EF与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若BF=9,EF=12,求00的半径和AC的长.

25.新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书

进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种

图书的数量少10本.

(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？

(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才

能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完)

26.(1)如图，己知A是直线外一点.用直尺和圆规作。0,使。。过A点，与直线

相切于。，且乙4QM=45。.(请保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，若AQ=4,则。。的半径长为,。。的内接△力QT的面积最大值

为.

A・

M---------------------------------------------N

27.如图，矩形ABCQ中,4B=5,BC=4.点P在AO上运动(点P不与点A、。重合)将△ABP

沿直线翻折，使得点4落在矩形内的点M处(包括矩形边界).

(1)求AP的取值范围：

(2)连接OM并延长交矩形ABC。的AB边于点G,当乙4BM=244DG时，求AP的长.

备用图

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数丫=a/+bx-2的图象经过点4(-1,0),

B(3,0),与y轴交于点C,连接BC、AC.

(1)求二次函数的函数表达式；

(2)设二次函数的图象的顶点为D,求直线BD的函数表达式以及sin^CBD的值；

(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与8、C重合)，是否存在△CMN

与AAOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

品用图

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：(±，3)2=3>

3的平方根是为土，

故选D.

直接根据平方根的概念即可求解.

本题主要考查了平方根的概念，熟记平方根的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；

B、a3-a4=a7,故错误，不符合题意；

C03)4=出2,故错误,不符合题意;

D.(-2a3)4=16a12,故正确，符合题意；

故选：D.

根据合并同类项的法则，同底数舞的乘法，幕的乘方，积的乘方的法则计算即可.

本题考查了合并同类项，基的乘方，同底数基的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：①抛出的篮球会下落，是必然事件，属于确定事件；

②从装有黑球、白球的袋中摸出红球，是不可能事件，属于确定事件；

③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，属于确定事件；

④买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件；

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条

件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.【答案】B

【解析】解：・•・圆锥的底面半径为2,

•••圆锥的底面周长为4兀，

••・这个圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4兀，

二这个圆锥的侧面积为：：X4兀X5=107T.

故选：B.

根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案.

本题考查的是扇形的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正

确，符合题意；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；

(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；

(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意.

故选：C.

根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可.

本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的定理.

6.【答案】A

【解析】解：•.•正比例函数y=/cx(k#O)的图象在第二、四象限，

:.k<0.

1>0,-k>0,

二一次函数y=的图象经过第一、二、三象限.

故选：A.

由正比例函数图象在第二、四象限可得出k<0,由1>0,-k>0,利用一次函数图象与系数的

关系，即可找出一次函数丁=久-卜的图象经过的象限，此题得解.

本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0,b>0得到y=kx+

b的图象在一、二、三象限”是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：作PCJ.X轴于点C,

:点P(-a,a)(a>0),

•••OC-a,PC—a.

-AB：BP=2：1,

•••AB：AP—2：3.

「BOJ.X轴，PClx轴,

・•,BO//PC.

,AB_AO_QBO_AB_2

•・丽=而=/'~PC=AP=3f

・・"0=2Q,BO=y,

•・・AB=VAO2+BO2=

2,_

BO_3flAHLO

・

••sinZ-PAO=AB=27TF=^L0--

---5---Q

故选：c.

作PCLx轴于点C,利用平行线分线段成比例定理用含。的代数式表示出8。和AO,再根据勾股

定理求出A5,进而计算出sinKP/。的值.

本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数，解答本题的关

键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.【答案】B

【解析】解：过点P作PGLFN,PH工BN,垂足为G、H,

由折叠得：A8VM是正方形，AB=BN=NM=MA=5,

CD=CF=15,乙D=乙CFE=90°,ED=EF,

・・・/VC=MD=24-15=9,

在Rt△rNC中，FN=V152-92=12，

・•・MF=15-12=3,

在RtaMEF中，设Er=%,则ME=9-％,由勾股定理得,

324-(9—%)2=X2,

解得：%=5,

•・•Z.CFN+乙PFG=90°,Z.PFG+乙FPG=90°,

・・・(CFN=乙FPG,

•・•(CNF=乙PGF=90°,

・•・△FNCs〉PGF,

/.FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5,

设尸G=3m,则PG=4m,PF=5m,

•••GN=PH=BH=12-3m,HN=15—（4-3m）=3+3m=PG=4m,

解得：m=3,

BH=PH=3,

•••BP=3C，

故选：B.

根据折叠可得ABNM是正方形，C0=CF=51,ZD=zCFE=90°,ED=EF,可求出三角形

FNC的三边为3,4,5,在RtAMEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△

FNCSAPGF,三边占比为3：4：5,设未知数，通过PG=HN,列方程即可得到结论.

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：如图，设AO交y轴于J,交BE于K,设4B=CD=2m,则DE=m,设DK=b.

2

・•・一莉，2m）,

•••司4

・・・四边形ABC。是矩形,

DK//BC,

DKED_1

~BCFC=3

2

，BC=AD=3b,AK=2b,JK=2b-

-JF//DE,

.1L=1L

•'DEDK'

2b--

___21,

mb

2mb—2

b

OF=OJ-JF=2m-^y^=

1i2

■■ShBFC=--BC-OF=-x3b--=3,

故选：B.

设AO交y轴于J,交BE于K,设4B=CD=2m,则DE=m,设DK=b.利用平行线分线段成

比例定理求出BC,。尸即可解决问题.

本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关

键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

10.【答案】A

【解析】解：如图所示：连接。以OC,取OC的中点M,连接和

DM,设O0的半径为r,

•・・点F为CE的中点，

MF==|,

・••点E是。。上的动点(不与C重合)，点C为顶点，

•・•点尸的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上，

则OF<DM+MF,

••・当点。、尸三点共线时，。尸有最大值4,此时DF=DM+MF,

DM=4-^,

vCD1AB,

•••ACDO=90°,

•••点M为OC的中点，

DM=；0C=]

；•]=4-解得：r=4,

.・.OD=OA-AD=2,

在RtACDO中，CD=VOC2-OD2=2<3:

故选：A.

首先根据题意取OC的中点，根据点E的运动轨迹，确定点F的运动轨迹，根据DF<DM+MF,

可确定当点M,F三点共线时，。尸有最大值4,此时=0M+MF,求出DM=4再

根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，WljDM=10C=p联立即可求出半径r的

值，然后求出0。的长，利用勾股定理即可求出CQ的长.

本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点。、M、F三点共线时，。尸有最大值4.

11.【答案】x(x+1)(%-1)

【解析】

【分析】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键.

先提公因式X,分解成双/-1),而/-1可利用平方差公式再分解.

【解答】

解：%3—X,

=x(%2—1),

=%(%+1)(%—1).

故答案为：x(x+1)(%-1).

12.【答案】%1=空卫，x2=上弁

【解析】解：方程化为一般式为％2-3X-1=0,

Q=1,b=—3,c=—1

A=(-3)2-4x1x(-1)=13>0,

3±VT33±\TT3

X=2x12

3+7T33-<13

所以X1—?%2=—

故答案为：x1=@F，x2=土手.

先把方程化为i般式，再计算出根的判别式，然后利用求根公式得到方程的解.

本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的

关键.

13.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.

故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.

交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有

些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.

14.【答案】y=。+2产(答案不唯一)

【解析】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a#0),

••,图象的开口向上，

a>0,可取a=1,

••・对称轴是直线x=-2,

二函数解析式可以为：y=(x+2>(答案不唯一).

故答案为：y=(x+2)2(答案不唯一).

由题意可知：写出的函数解析式满足a>0,对称轴为直线％=-2,由此举例得出答案即可.

本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的对称轴是直线

%=-^;当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；二次函数与)，轴交于点(0,c).

15.【答案】145

【解析】解：设小明第5次跳绳成绩是x次数/分钟，

根据题意得，"(1404-138+140+137+x)=140,

解得x=145.

故答案为：145.

根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可知小明5次跳绳成绩的众数为140,设小明第5

次跳绳成绩是x次数/分钟，根据5次跳绳成绩的平均数与众数相同列出方程，求解即可.

本题考查了众数与平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中

所有数据之和除以数据的个数.掌握定义是解题的关键.

16.【答案】V-5

【解析】解：•.•四边形ABC。为矩形，

CD//AB,DC=AB=4.

・•・乙EFC=Z.EAB,

vZ.F=Z.F,

・•・△EFCsAEAB.

・••生=生，

EBAB

3FC

'3+5=~T'

:.FC=1.5,

DF=DC-FC=2.5.

,-----------5「

••・AF=NDF2+AD2=2vS.

•・•^ADC=90°,DHLAE,

11

=-x-DF=x-DH.

：・AD,DF=AF,DH,

5「

5x2.5=v5xDH.

DH=V5.

故答案为：V-5.

利用相似三角形的判定与性质求得线段尸C的长，进而求得DF的长，利用勾股定理和三角形的面

积公式列出关于。”的方程，解方程即可得出结论.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理.，三角形的面积公式，熟练学

握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

17.【答案】4<MN<2XT5

【解析】解：如图，过点M作交的延长线于点尸，过点N作NG1AB,交A8的延

长线于点G,作NHLFM于点H,

则乙EFM=乙EGN=乙FHN=乙NHM=90°,

由旋转得：EM=EC,EN=ED,Z.CEM=^DEN=90°,

・・・Z,MEF+乙CEB=90°,乙DEA+(NEG=90°,

•・・乙MEF+Z.EMF=90°,^DEA+Z-EDA=90°,

・・・乙CEB=乙EMF,乙NEG=Z.EDA,

•.,正方形A8CQ的边长为2,点£是边AB上的动点，设AE=%(0W%W2),则BE=2—%,

/.AB=AD=BC=2,乙DEA=乙CBE=90°,

在AMEF和aECB中，

ZFFM=CBE=90°

Z.EMF=乙CEB,

EM=EC

・•・△ECBQ4AS),

.・.MF=BE=2-x,EF=BC=2,

同理：NG=AE=x,EG=AD=2,

・・・FG=EF+EG=2+2=4,

•・・Z,MFE=乙NGE=乙FHN=90°,

・•・四边形尸GN”是矩形，

HN=FG=4,FH=NG=x,

:・MH=MF—FH=2—x—x=2—2x,

在R£△MNH中,MN2=MH2+HN2=(2-2x)2+42=4(%-l)2+16,

0<%<2,

•••0<(x-I)2<1,

16<4(x-l)24-16<20,

即16<MN2<20,

•••MN>0,

二线段MN的取值范围为4<MN<2c.

故答案为：4WMNW2c.

过点M作MF1AB,交BA的延长线于点F,过点N作NG_L4B,交AB的延长线于点G,作NH1FM

于点H,可证得AECB(44S),得出MF=BE=2—x,EF=BC=2,同理：NG=AE=x,

EG=AD=2,得出FG=EF+EG=2+2=4,再证得四边形FGNH是矩形，得出HN=FG=4,

FH=NG=x,MH=MF-FH=2-x-x=2-2x,再运用勾股定理即可求得答案.

本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形

的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

18.【答案】905-，弓或亨

【解析】解：在y=一,工一4中，令久=0得y=—4,令y=0得％=8或%=—2,

4Z

・・・/(-2,0),8(8,0),C(0,-4),

•••AB2=100,AC2=20,BC2=80,

/.AB2=AC2^BC2,

・・・Z-ACB=90°；

当NQ=MQ时，过N作NHlx轴于〃，设AM交y轴于K,如图：

・•・"MN=乙QNM=乙4NC,

vQM〃y轴，

・・・“MN=Z.NKC=Z.AKO,

・•・乙ANC=Z.AKO,

:.Z.OAK=90°-/.AKO=90°-乙ANC=乙CAN,

・・・乙AHN=90°=乙ACN,AN=AN,

・•.△AHN丝△4CN(A4S),

AH=AC=ATTO=2H,NC=HN,

・•・BH=AB-AH=10-2底,

•・・乙HBN=4CB4,乙NHB=90°=乙ACB,

•••△BHNSABCA,

tHN_BH即HN_10-2<3

'''AC~'BCfM2\TS~4yT5

・•・HN=5-R,

:.NC=5—y/~5^

当NQ=NM时，过N作NT_Ly轴于T,如图:

・・・(NQM=乙NMQ,

•・,QM//y轴，

・•・Z,NKC=乙NCK,

・・・NK=NC,

v/.AKO=乙NKC,

AAAKO=乙NCK,

・•・/.OAK=90°-乙AKO=90°-乙NCK=4AC。，

•・・Z-AOK=90°=/.COA,

・•.△AOKSACOA,

.OK=OA即"=2

••OAoc''24f

・•・OK=1,

・•.CK=OC-OK=4—1=3,AK=VOA2+OK2=V22+l2=

13

-=cK-

CT2-2-

•・•乙AKO=乙TKN,乙AOK=90°=乙NTK,

・MAOKSANTK,

・竺-如目硅=—

••而一欣即微NK，

z“37-5

:.NK=—^―，

“3c

・•・NC=-y-，

.•・线段NC的长为5-口或亨.

故答案为：90,5-，石或亨.

由y=；%2一|刀一4可得4(—2,0),8(8,0),C(0,-4),即得AB?=100,AC2=20,BC2=80,

i^.AB2=AC2+BC2,从而乙4cB=90。；当NQ=MQ时，过N作NH_L久轴于H,设AM交y轴于

K,可证A力"N也△ACN(A4S),即得AH=AC==2产，NC=HN,有==

10-2y/~5,由△BHNS&BCA,得桨=10-^5,求出HN=5-V-5,故NC=5-屋;当NQ=

NM时，过N作N7l.y轴于7,可证△AOKSACOA,得竽=[,OK=1,CK=OC-OK=3,

AK=VOA2+OK2=求出7K=CT=；CK=',由△AOKs^NTK,可得当=需，求得

ZZ2

NK=号,故可。=亨.

本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角

形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理.

19.【答案】解：(1)<^7-3cos30°+(1-nr)0

LV~3-

=3A/3—3x———F1

L30

=——+1

=—+li

a—1a+12b

⑶口E+—

a—1a+12b

a—b+a—ba—b

a—1+a+l—2b

a-b

2a—2b

a-b

=2.

【解析】(1)先化简，再算加减即可：

(2)利用分式的加减法的法则进行运算即可.

本题主要考查分式的加减法，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

4(x+1)47x+7①

【答案】解:

20.(1){小廿1②

由①得：x>-1,

由②得：x<2,

•••不等式组的解集为—lSx<2：

(2)M=2x2-2x+3,N=4x2-3x+4,

；.M—N=(2x2-2x+3)-(4x2-3x+4)

=2x2—2%4-3-4x2+3%—4

=—2x2+%—1

=_2Q_")2v<0,

M<N.

【解析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；

(2)把M与N代入M-N中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差

的正负，即可确定出M与N的大小.

此题考查了配方法的应用，解一元一次不等式组，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式及

不等式组的解法是解本题的关键.

21.【答案】证明：(1)平行四边形ABC力中，AB//CD,AB-CD,

：.4B+4BCD=180°,

vAB=AE,

••AE-CD,乙B—/.AEB,

vZ.AEB+Z.AEC=180°,

Z-AEC=/.BCD,

又EC=CE,

:.ZAEC色XDCE(SAS),

AC=DE：

(2)由(1)得4AEC^^DCE,

Z.OEC—乙OCE,

OE-OC.

【解析】(1)根据平行四边形的性质及邻补角定义推出AE=C。，^AEC=ABCD,EC=CE,利

用SAS证明△力EC丝/kDCE,根据全等三角形的性质即可得解；

(2)结合(1)根据全等三角形的性质即可得解.

此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三

角形的判定与性质是解题的关键.

22.【答案】解：(1)中位数落在第二组，

由图知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均

数，308+295=603,

故中位数落在第二组；

(2)1200X(1-8.7%-43.2%-30.6%)=210(人)，

答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数约为210人；

(3)由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2〃，建议学校多开展劳

动教育，养成劳动的好习惯.(答案不唯一).

【解析】(1)根据中位数的定义求解即可；

(2)总人数乘以样本中C组对应的百分比即可：

(3)答案不唯一，合理均可.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的

关键.

23.【答案】\

【解析】解：(1)1,2,4,5中，为质数的是2,5,

・•・随机地抽取一张，抽到卡片上所标数字为质数的概率是,=

42

故答案为：

(2)列表如下:

1245

1121415

2212425

4414245

5515254

共有12种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的结果有：12,15,21,24,42,45,51,54,

共8种，

.•.这个两位数能被3整除的概率为4=|.

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及能被3整除的两位数的结果数，再利用概率公式可得出答

案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

24.【答案】(1)直线EF是。。的切线.理由如下:

连接OE,0C,

4E平分〃;4E,

••・Z-CAE=Z-BAE,

・•・CE—BE，

：•乙COE=乙BOE,

OC=OB,

・•・OE1BC,

•・•BC//EF,

:.OE1EF,

・・・OE是。。的半径，

•••EF是。。的切线：

(2)解：在RtAOEF中，由勾股定理得：

OE2+EF2=OF2,

OE=OB,

：.OE2+EF2=(0E+BF)2,

即：OE2+122=(OE+9)2,

解得：0E=3^,

.•・O。的半径为3g；

••・AB是。。的直径，

•••^AEB=90",

•••LOEF=90°,

:.乙BEF=乙4E0,

vOA=OE,

・•・乙BAE=Z-AEO,

:.乙BEF=Z-BAE,

•・•Z.F=ZF,

•••△EBFs二AEF,

.__9__3

••族—9一Ti-

4

・・•AE=”E,

在RtMBE中，

由勾股定理得：AE2+BE2=AB2,即BE?+©BE)2=72,

解得：BE=4.2,

:.AE=5.6,

•・・BC//EF,

,AB=AD即1=也

**AF~AE9即16—5.6，

•••00的半径为3；,AD的长为■

【解析】(1)连接OE,根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得OELEF,根

据切线的判定定理可得结论；

(2)如图，设。。的半径为x,则OE=OB=x,根据勾股定理列方程可得x的值，证明AEBFSA

AEF,列比例式第=黑="=,,根据勾股定理列方程，依据BC〃EF,列比例式可得结论.

本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定

理是解(1)题的关键，证明△EBFs^AEF,确定AE和BE的关系是解(2)题的关键.

25.【答案】解：(1)设乙种图书进阶每本尤元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，

由题意得：理一罂=10,

x1.4%

解得：%=20,

经检验，无=20是原方程的解，且符合题意，

则1.4x=1.4x20=28,

答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；

(2)设书店甲种图书进货“本，总利润为w元，

由题意得：w=(40-28)a+(30-20)(1200-a)=2a+12000,

v28a+20x(1200-a)<28000,

解得：a<500,

・••w随a的增大而增大，

二当a最大时w最大，

二当a=500时，卬最大=2x500+12000=13000(元)，

此时，乙种图书进货本数为1200-500=700(本)

答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元.

【解析】(1)设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，由题意：用1680元购进甲

种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本.列出分式方程，解方程即可；

(2)设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售

价每本30元，求出w=2a+12000,再由新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共

1200本进行销售，列出a的一元一次不等式，解得aW500,再由一次函数的性质求出最大利润

即可.

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：(1)找

准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

26.【答案】2n4+4。

【解析】解：(1)如图：。。即为所求;

(2)vAAQM=45°,。8垂直平分AQ,0Q1BQ,

CQ=^AQ=2,N/QO=45。，

.♦・OQ=2^~i,

当丁是。。的延长线与。。的交点时，△4QT的面积最大，

最大值为：jx4x(2+2。)=4+4/7,

故答案为：2，I,4+4V~7

(1)根据“弦的垂直平分线过圆心”和“圆的切线垂直于过切点的半径”，作图;

(2)根据勾股定理及三角形的面积公式求解.

本题考查了复杂作图，掌握三角形的外心和切线的判定和性质是解题的关键.

27.【答案】解：(1)当M落在CD上时，4P的长度达到最大，

•••四边形ABC。是矩形，

:.AB=CD=5,BC=AD=4,Z.A=Z.C=乙D=90°,

・・・△4BP沿直线翻折，

・・・乙PMB=Z.A=90°,BM=AB=5,

:.CM=VBM2-BC2=V52-42=3DM=5-3=2，

・・・乙PMD+乙BMC=90°,4PMD+Z.MPD=90°,

・•・乙BMC=4MPD,

・•・△PDMs〉MCB,

•*"P""D"""~_DMPD_2•

CMBC34

35

:.PD=pAP=^

4P的取值范围是。＜4P芸；

(2)如图，•.・将AABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处,

・•・Z.ABP=4MBP,

：・Z-ABM=2(ABP,

v乙ABM=2N/DG,

:.乙ABP=4ADG,

・・・/.A=Z-A>

・•・△ADG^^ABP,

.AP_AB_5

AGAD4

设4P=5%,AG=4%,

过M作MHJ.4。于",

D

・・・将AABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，

:.AP=MP=5x,AM1BP,

・•・^LDAM=90°-4BAM=Z.ABP=乙4DG,

•.AM=DM,

DH=AH=2,HP=2-5%,

v乙BAD=Z.MHA=90°,

・•,MN//AG,

・・・MN为A/DG的中位线，

1

・•・MN=^AG=2%,

222

在RMPHM中，PM=PH^-HMf

(5%)2=(2x)2+(2—5x)2,

解得彳］=济亘，冷=注红(不合题意舍去)，

A25-5121

・•・APN=-----------.

【解析】(1)根据矩形的性质得到AB=CD=5,BC=AD=4,4A=NC=ND=90°,根据折叠

的性质得到NPMB=44=90°,BM=AB=5,根据勾股定理得到CM=VBM2-BC2=

Li=3CM=5-3=2,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

(2)根据折叠的性质得到N/1BP=乙MBP,求得NABM=2/4BP,根据相似三角形的性质得到受=

空="设AP=5x,AG=4x,过M作MH1AD于H,根据折叠的性质得到力P=MP=5x,AM1

AD4

BP,根据三角形中位线定理得到MN=^AG=2%,根据勾股定理即可得到结论.

本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质,

熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关健.

28.【答案】解：(1)将做一1,0)、8(3,0)代入丫=。/+版一2得：

(a—b—2=0

Al9a+3b-2=0，

a=l

解得，

=_4f

b=~3

・・・二次函数的函数表达式为y=|x2-2；

(2)y=|x2--2=I(x-l)2-1，

••・抛物线顶点。(1,一§；

设直线BD的函数表达式为y=kx+n,

A(3k+n=0,

[/c+n=-|

y

解得

n=-4

・•・直线B。的函数表达式为：y=gx-4;

设80与y轴交于E,过点C作CPJ.8E于点P,如图:

・・・C(0,-2),

在y=—4中,令》=。得y=-4,

E(0,-4),

BE=VOB2+OE2=732+42=5.CE=OE-OC=2,

,:2sACBE=BE•CP=CE•OB,

CEOB2x36

-'-CP=-BT=—==5'

•：BC=VOB2+0C2=V32+22=

6

5-

：,s\x\Z.BCD=—=

(3)存在△CMN与△A。。相似，理由如下：

由C(0,-2),B(3,0)得直线BC解析式为y=|x-2,

设M(p,O),N(q,|q—2),

•・•△40C是直角三角形，且等

；.△CMN与A/IOC相似，ACMN是直角三角形，且两直角边的比为：，

①点M在线段AB上(不与A、8重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，4MCN不可能是直

角；

②若NCMN是直角，则萼=；