专题01数列的概念

专题01数列的概念目录TOC\o"13"\h\z\u题型一：数列的通项 3题型二：已知Sn＝f(n)求通项公式 4题型三：数列的单调性 5题型四：数列的最值 9题型五：数列的周期性 13知识点总结知识点总结1．数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn2.数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常数列各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)3.数列的表示法表示法定义列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式an＝f(n)递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等4.an与Sn的关系数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．数列最值：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1))(n≥2)，则an最大；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1))(n≥2)，则an最小．例题精讲例题精讲数列的通项【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0，…的通项公式可写成an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)或an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等．数列2，5，11，20，，47，中的值为A．28 B．32 C．33 D．27【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，，47，，，，则，解得，故选：．数列，7，，13，的一个通项公式为A． B． C． D．【解答】解：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，满足，所以通项公式可以是．故选：．数列的一个通项公式可以是A． B． C． D．【解答】解：根据题意，数列，即，，，，，故该数列的一个通项公式可以为．故选：．已知Sn＝f(n)求通项公式【要点讲解】Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．值得注意的是：最后要么确定首项a1，要么就是验证a1是否满足n≥2时得到的通项，满足的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．已知数列的前项和，则A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为数列的前项和，所以．故选：．若数列的前项和，则A．7 B．8 C．9 D．17【解答】解：数列的前项和，．故选：．设数列的前项和，则的值为A．15 B．17 C．49 D．64【解答】解：数列的前项和，则．故选：．设数列前项和为，，求数列的通项公式．【解答】解：由．当时，；当时，．不适合上式．已知数列的前项和为．（1）求出的通项公式；（2）求的最小值及取最小值时的值．【解答】解：（1）因为，所以当时，；当时，；显然是，也满足，所以；（2）因为，又，所以当或时，取得最小值．数列的单调性【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是A． B． C． D．【解答】解：对于，选项对应数列是递减数列；对于选项，，数列是递增数列；对于选项，，数列不是递增数列．故选：．已知数列的前项的积为，且，2，3，，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【解答】解：当时，当时，所以，而，故为最小项，为最大项．故选：．已知数列中，，则数列的最小项是A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项【解答】解：根据题意，数列中，，则，当时，有，则有，当时，有，则有，当时，有，则有，故数列的最小项是第2项、第3项．故选：．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式：（符合此种形式即可）．①，，；②单调递增．【解答】解：假设数列为等差数列，设其公差为，首项为，由性质①可得：，即，再根据②可知，公差，显然满足题意．故答案为：（符合此种形式即可）．已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是．【解答】解：数列的通项公式为，且数列是递增数列，，恒成立，即，恒成立，而，随的增大而增大，即当时，，取得最小值2，则，所以实数的取值范围是，故答案为：．设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是．【解答】解：因为是递增数列，所以，解得，即的取值范围是．故答案为：．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是．【解答】解：对于任意的都有，数列单调递减，可知．①当时，，单调递减，而单调递减，，解得，因此：．②当时，，单调递增，应舍去．综上可知：实数的取值范围是，．故答案为：，．若数列的通项公式是，且恒成立，则．【解答】解：因为，则，所以，故当或6时，取得最大项，因为恒成立，则或6．故答案为：5或6．已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是．【解答】解：①当时，，②当时，，，当时，，数列递减，综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，解得，故答案为：．数列的最值【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题，一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以函数的视角从单调性出发得到最值．解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性得到最值．在数列中，，则数列中的最大项是第项．【解答】解：根据题意知：，解得；，解得，所以，，所以．故答案为：8．在数列中，，则的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由题意可得．根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减，所以在中，，．当时，，；当时，．；因为，所以，所以的最大值是．故选：．若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解答】解：，，当且仅当，即时，取等号，当时，取得最大值．故选：．若，则数列的最大项是第项．【解答】解：根据题意，设，是开口向下，对称轴为的二次函数，距离对称轴最近的正整数为8，若，该数列中最大项是第8项．故答案为：8．已知数列的通项公式为，设数列的最大项和最小项分别为，，则．【解答】解：当时，，由，得，则当且时，，，，，；当时，，由，得，则当且时，，又，，，．故答案为：0．记为数列的前项和．若，2，，则A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项 C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项【解答】解：根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．已知数列的前项和．（1）求的最大值；（2）求数列的通项公式．【解答】解：（1）数列的前项和．对称轴为，因为，将，代入得，，，所以当时，取得最大值15．（2）当时，，当时，，当时，，所以．已知等差数列中满足，，（1）求通项公式；（2）试求数列中的最大项与最小项．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，，解得．或．（2）时，数列单调递增，时，取得最小值为，无最大值；时，数列单调递减，时，取得最大值为，无最小值．数列的周期性【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解.待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.如an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，即f(x＋1)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、余弦函数的最小正周期公式T＝eq\f(2π,|ω|)得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．数列中，，，，那么A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，故选：．在数列中，已知，，则．【解答】解：由，，可得，，，，，所以数列的最小正周期为4，所以．故答案为：1．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则A．1 B．1010 C．1 D．2019【解答】解：可得，，，，．，，，；，；，，所以每四项和为2，则．故选：．已知各项都为正数的等比数列，若，则；【解答】解：各项都为正数的等比数列，，，解得，．故答案为：19．课后课后练习一．选择题（共6小题）1．若数列的前项和，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：当时，，当时，，经检验，可得．故选：．2．已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是A．的值域是 B．的最小值为 C． D．数列是单调递增数列【解答】解：由于函数，所以，故，由于，故，所以，故错误；正确；由于故函数为单调递增函数，故数列是单调递增数列，故正确；由于函数为单调递增函数，故的最小值为，故正确．故选：．3．已知数列中，，则数列的最小项是A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项【解答】解：根据题意，数列中，，则，当时，有，则有，当时，有，则有，当时，有，则有，故数列的最小项是第2项、第3项．故选：．4．记为数列的前项和．若，2，，则A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项 C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项【解答】解：根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．5．若数列为，，，，，则是这个数列的A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项【解答】解：设数列7，10，13，16，，为数列，则数列是以7为首项，3为公差的等差数列，其通项公式为，令解得．故选：．6．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：若为递增数列，则，则有，对于恒成立．，对于恒成立，．故选：．二．多选题（共2小题）7．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是A．是递减数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值【解答】解：当时，，又，所以，则是递减数列，故正确；，故错误；当时，，故正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或4距离对称轴一样远，所以当或4时，取得最大值，故正确．故选：．8．已知数列的通项公式为，则A．数列为递增数列 B． C．为最小项 D．为最大项【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，数列的通项公式为，当时，，当时，，故数列不是递增数列，错误；对于，数列的通项公式为，，，，则错误；对于和，由于，易得当时，，有，当时，，有，则为最小项，为最大项，故选：．三．填空题（共4小题）9．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点7．【解答】解：，结合二次函数可得当时，取得最小值，即的最小值点．故答案为：7．10．已知数列为递增数列，．则的取值范围是．【解答】解：数列为递增数列，，，，，，的取值范围是．故答案为：．11．已知数列的前项和，则数列的通项公式为．【解答】解：由，当时，．当时，．所以．故答案为．12．，，，，，的一个通项公式是．【解答】解：分子为偶数列，分母为两个相邻连续奇数相乘，则，，，，，的一个通项公式是．故答案为：．四．解答题（共4小题）13．已知数列