物理实验指导-误差理论

1.测量与仪器测量的概念:将待测物体的某物理量与相应的标准做定量比较测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的评价,可分为直接测量与间接测量.

测量结果=数值+误差+单位+精确程度评价

仪器的准确度等级:以最小分度值表示,电表以级数表示.

准确度等级的选用:在满足测量要求的前提下,选用准确低的仪器.第一页第二页，共50页。2.测量与误差测量总有误差,误差永远存在误差其中x--测量值,a--真值误差的来源:(1)理论(2)仪器(3)实验装置(4)实验条件

(5)观测者误差分为二类:

偶然误差(随机误差)和系统误差第二页第三页，共50页。3.系统误差在多次重复等精度测量下,误差不变或误差的方向不变.来源:测量系统本身固有的,与操作者的行为习惯无关.研究系统误差的目的:(1)探索其来源并消除或减小它们

(2)估计残存系统误差的范围第三页第四页，共50页。4.偶然误差在多次重复等精度测量下,误差的大小和方向不可预知而随机出现.特点:

(1)每次测量的误差大小和方向不确定

(2)出现正误差和负误差的概率相近

(3)绝对值小的偶然误差出现的概率大第四页第五页，共50页。偶然误差(随机误差)的分布正态分布：随机误差一般服从正态分布特点：(1).

分布的平均值是

x0

，即真值

(2).是方差

称为标准差，反映测量值的离散程度

第五页第六页，共50页。置信区间

置信概率

（置信水平）关系：第六页第七页，共50页。5.多次重复等精度测量的结果表示算术平均值设

标准误差标准偏差…第七页第八页，共50页。

上面的s是指这一组测量列的标准偏差,反映这组测量列的测量结果的离散性(精密度)对于测量列中的任一测量值,其测量结果均可表为意指X的值在到之间的概率为P=68%第八页第九页，共50页。

算术平均值的标准偏差

用算术平均值表示的测量结果如有系统误差,则要进行修正,比如修正量为则有第九页第十页，共50页。6.直接测量不确定度不确定度u是评估测量结果可靠性的指标任何一个物理量的测量结果都应表示为

X=最佳估计值±u(p%)

在没有修正值时,最佳估计值=算术平均值用标准偏差表示的不确定度,称为标准不确定度第十页第十一页，共50页。

(1)标准不确定度的Ａ类评定

用统计方法评定偶然误差的可靠性．就是Ａ类评定，用表示(2)标准不确定度的B类评定

当误差总向一确定方向偏离时，就是B类评定，用表示，主要是针对系误差。

主要根据说明书，分度值，准确度等级等确定（3）合成不确定度

第十一页第十二页，共50页。例1：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表：螺旋测微计的初读数为：-0.003mm，螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，求测量结果。解:(1)求直径d

的算术平均值、对已定系统误差进行修正

(2)计算A类不确定度i123456di

/mm8.3458.3488.3448.3438.3478.344第十二页第十三页，共50页。(3)计算B类不确定度(4)合成不确定度(5)测量结果为第十三页第十四页，共50页。第十四页第十五页，共50页。电流表（量程30mA,0.5级）仪器误差举例：第十五页第十六页，共50页。直接测量的数据处理步骤求测量数据的平均值

修正已定系统误差(例如初读数b），得用贝塞耳公式求标准偏差

根据所用仪器得

由

A、

B合成总不确定度u

:

给出直接测量的最后结果：

第十六页第十七页，共50页。7.间接测量的数据处理设被测量y可写成m个直接测量量的函数通过直接测量已得则或第十七页第十八页，共50页。适用条件(1)各直接测量量互相独立；(2)各直接测量量的系统误差已被消除或修正。第十八页第十九页，共50页。间接测量的数据处理步骤1.求出各直接测量量xi的平均值和(总)不确定度2.求y的平均值3.据求出或3.用求出或先用求出，再求4.完整表示出y的结果

第十九页第二十页，共50页。例3：已知金属环的外径

内径高

求环的体积V，并正确表示测量结果。解：环体积公式为

（1）环体积的最佳值为

（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分

第二十页第二十一页，共50页。则相对不确定度为（3）不确定度为（4）环体积的测量结果为

V=9.44±0.08cm3

9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44。

（有效数字运算后面还要介绍）第二十一页第二十二页，共50页。单次测量的几种情况：

(1)仪器精度较低. (2)对测量的准确程度要求不高. (3)受测量条件限制.单次测量只能取D=DB，但DB不能仅考虑D仪，还要根据实际情况把DB

估计得更大一些。单次测量的不确定度第二十二页第二十三页，共50页。正确度,精密度,精确度第二十三页第二十四页，共50页。§2.有效数字及其运算第二十四页第二十五页，共50页。有效数字：

我们把准确数字加上最后一位有实际意义的估计数字总称为有效数字。

有效位数的概念

测量结果用且只用它的有效数字表示，有效数字的个数叫作

有效位数。

不确定度决定有效位数。

具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。

测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高

例：0.0123与1.23与123的有效位数都是3位。0.01230有效位数是4位, 最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。

1.数值的有效位数及其运算规则第二十五页第二十六页，共50页。记例：光速C=30万公里每秒不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s正确的写法：C=3.0×105km/s=3.0×108m/s例：

电子电量

e

=1.602189×10-19C2.科学记数法第二十六页第二十七页，共50页。仪器的读数规则(1)刻度式仪表，在最小分度值后要估读一位(2)数字显示仪表，直接读取仪表的示值。(3)游标类量具，读到游标分度值的整数倍。3.有效位数的运算规则第二十七页第二十八页，共50页。刻度式仪表5.737mm5.500＋0.237第二十八页第二十九页，共50页。数显仪表及有十进步式标度盘的仪表第二十九页第三十页，共50页。游标类量具

49.00＋0.82＝49.82mm第三十页第三十一页，共50页。

“4舍6入5凑偶”:(1)要舍弃的数字小于5时，舍去；

(2)要舍弃的数字大于5时，进1；

(3)要舍弃的数字刚好是5时，凑偶。例：保留3位有效位数，则

9.8249=9.82，9.82671=9.83，

9.8251＝9.83，9.8350=9.84，

9.8250=9.82，9.82501＝9.83，

4.数值的修约规则第三十一页第三十二页，共50页。

*运算过程应多保留1至2位，

*最终结果的有效位数由不确定度决定.

要点：

(1).避免运算过程引入不必要的“舍入误差”

(2).最终结果按有效位数的规则进行修约.

归根到底，不确定度决定有效位数.

5.有效数字位数的决定第三十二页第三十三页，共50页。课堂思考题1.指出下列各数是几位有效数字.1）0.0001；2）0.0100；3）1.0000；4）980.1205）1.35；6）0.0135；7）0.178；8）0.001702.改正下列错误.1）P=31690±200kg2)d=10.430±0.3cm3)l=18.5476±0.3123cm第三十三页第三十四页，共50页。答案2.改错1）P=（3.17±0.02）×104kg2)d=10.4±0.3cm3)l=18.5±0.4cm第三十四页第三十五页，共50页。例4：已知，求并正确表示测量结果。解：

(1)

注意应取π

=3.1416

参与运算

(2)

注意多算出1位，最后再作修约

(3)V=9.44±0.08cm3

注意最终结果的正确表达.

第三十五页第三十六页，共50页。

(1).两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与 两数中最后一位位数高者相同。如：11.4+3.56

=15.0

；75-10.350=65

十分位十分位个位个位

(2).两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少者相 同。如：98×2003=2.0×105

；2.000÷0.991=2.02

二位二位三位三位

注：正确数不适用上述规则.

常数应取足够的有效位数参与运算.简化的运算规则第三十六页第三十七页，共50页。§3.实验数据的列表与作图包括二部分内容：1数据列表2作图法处理实验数据第三十七页第三十八页，共50页。3.1数据列表要求所有实验数据都要用列表的方法记录例：表1：伏安法测电阻实验数据第三十八页第三十九页，共50页。作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系可用来求某些物理参数作图规则：（以伏安法测电阻实验为例）表1：伏安法测电阻实验数据用坐标纸作图.

根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小.

坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度.坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等）.标出数据点.连成光滑曲线，标注图题及必要的说明.3.2

作图法处理实验数据第三十九页第四十页，共50页。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线第四十页第四十一页，共50页。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00利用所绘直线作有关计算A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：第四十一页第四十二页，共50页。不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。第四十二页第四十三页，共50页。nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：第四十三页第四十四页，共50页。I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010