第04讲一元一次方程的应用（14类题型）

第04讲一元一次方程的应用（14类题型）课程标准学习目标1.用一元一次方程解决问题；2.一元一次方程应用题的常见类型；1.掌握一元一次方程解决应用题的一般步骤；2.掌握一元一次方程应用题常见类型的解题技巧，等量关系和注意事项；知识点01：用一元一次方程解决问题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤审：弄清题意和题目中的数量关系。设：用字母表示题目中的一个未知量。找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。列：根据这个相等关系列出方程。解：解所列的方程，求出未知数的值。验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。答：写出答案。2．设未知数的三种方法：直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。知识点02：一元一次方程应用题的常见类型类型内容题中涉及的数量关系及公式等量关系注意事项和、差、倍、分问题增长量=原有量×增长率现有量=原有量增长量现有量=原有量－降低量由题可知弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等行程问题相遇问题路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离相向而行，注意出发时间、地点追及问题快车行驶路程慢车行驶距离=原距离同向而行，注意出发时间、地点调配问题从调配后的数量关系中找等量关系调配对象流动的方向和数量工程问题工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量一般情况下，把总工作量设为1销售打折问题商品利润=售价进价（成本价）由题可知打几折就是按售价的十分之几销售数字问题（包括日历中的数字规律）设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为由题可知①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律；②设间接未知数阶梯付费问题由题可知注意付费特点是阶梯式的方案选择问题由题可知方案选择问题一般比较之后选最优的方案。【即学即练1】1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）如图，用36L的水刚好把这个容器装满．如果水深，则容器里有（

）L的水．（容器的厚度忽略不计）A．18 B．24 C．27 D．30【答案】C【分析】根据圆柱的体积（容积）公式：，圆锥的体积（容积）公式：，已知用36升水刚好把这个容器装满，设容器的底面积为平方分米，据此可以求出容器的底面积，然后把数据代入公式解答．【详解】解：设容器的底面积为平方分米36升立方分米（立方分米），（立方分米）故选：C．【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．【即学即练2】2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）院子里有鸡和兔共12只，一共34只脚，鸡和兔各有多少只？如果设兔有x只，下列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设兔有x只，则鸡有只，兔有4条腿，鸡有2条腿，进而可列出方程．【详解】解：设兔有x只，由题意得：，故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理清题意，列出方程是解题的关键．【即学即练3】3．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）某商店有两种进价不同的百乐牌套装书写笔，都以48元卖出，其中一套盈利60%，另一套亏本20%，则该商店在这次买卖中（

）A．不赚不赔 B．赚了12元 C．亏了6元 D．赚了6元【答案】D【分析】设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为a，b，根据题意，得到，，分别求出的值，再利用，得出结果后即可得出结论．【详解】设两种百乐牌套装书写笔的进价分别为a，b，则由题意，得∶，，解得：∵元，∴该商店在这次买卖中赚了6元，故选D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润等于进价乘以利润率，正确的列出方程．【即学即练4】4．（2022秋·浙江温州·七年级阶段练习）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车（其余车辆均坐满），则共有人；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出方程即可．【详解】解：设有辆车，则可列方程：．故选：A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．题型01行程问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）钟表的时针与分针在运行过程中每隔一定时间就相遇一次，两次相遇间隔的时间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设钟表的时针与分针在运行过程中，两次相遇间隔的时间为，根据分针每小时转动，时针每小时转动，两次相遇时，分针比时针多转动，列出方程，解方程即可．【详解】解：设钟表的时针与分针在运行过程中，两次相遇间隔的时间为，根据题意得：，解得：，即两次相遇间隔的时间，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．2．（2023春·吉林长春·七年级校联考阶段练习）如图，，点是线段的中点，点从点出发，以2cm/s的速度向右移动，同时点从点出发，以的速度向右移动到点后立即原速返回点，当点到达点时，、两点同时停止运动．当时，运动时间的值是．【答案】2或或【分析】根据点从点到点所需时间为，点从从点到点再回到点所需时间为，分两种情况列出方程即可求解．【详解】解：∵点从点到点所需时间为，点从点到点所需时间为，当时，，∴，解得，当时，点到点的距离为，点到点的距离为，∴，即，解得或，故答案为：2或或．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想列出一元一次方程．3．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑，乙每分钟跑，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求全程是多少千米？【答案】3千米【分析】设甲跑完全程所用的时间为x分钟，根据两人所跑的路程相等，可列方程求解．【详解】解：设甲跑完全程所用的时间为x分钟，依题意有，，解得，，故全程是3千米．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出时间，以路程作为等量关系列方程求解．题型02配套问题1．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种配件，列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设有x名工人生产甲种配件，则有名工人生产乙种配件，根据“2个甲种部件和3个乙种部件配成一套”可列出方程．【详解】解：设有x名工人生产甲种配件，则有名工人生产乙种配件，则，故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找到等量关系是解题的关键．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？【答案】用米布料做上衣，用米布料做裤子，才能恰好配套．【分析】设用米布料做上衣，则用米布料做裤子，根据题意，列出方程，解出，再根据裤子的布料为，即可．【详解】设用米布料做上衣，则用米布料做裤子，∴，解得：．∴裤子的布料为：（米）．答：用米布料做上衣，用米布料做裤子，才能恰好配套．【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．题型03工程问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天．若先由甲队单独做天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程，即可．【详解】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天，∵甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天∴甲队的工作效率为：，乙队的工作效率为：，甲、乙两队合作的工作效率为：，∴解得：．故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲计划用多少个工作日完成此项工作．【答案】甲计划用7个工作日完成此项工作【分析】设甲计划完成此项工作的天数为，根据甲先干一天后甲乙合作完成比甲单独完成提前3天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设甲计划完成此项工作的天数为，根据题意得：，解得：，答:甲计划用7个工作日完成此项工作．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．题型04销售盈亏问题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商场购进一批服装，每件进价为200元，商场决定将这种服装每件按标价的八折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装每件标价是（

）A．240元 B．160元 C．300元 D．320元【答案】C【分析】设该服装每件标价是x元，根据题意，得，求解即可．【详解】设该服装每件标价是x元，根据题意，得，解得，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键．2．（2023·浙江衢州·校考一模）一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是元．【答案】【分析】设这件衣服的进价元，标价为，根据题意可得等量关系：标价八折进价利润，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设这件衣服的进价x元，由题意得：，解得：，即：这件衣服的进价元．故答案是：．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．3（2023秋·全国·七年级课堂例题）某校七年级社会实践小组到某商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的袝衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？【答案】件【分析】设降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据题意，列出方程，即可．【详解】解：设降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，∴，解得：，∴降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，列出方程，进行求解．题型01比赛积分问题1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）县里举办农村篮球超级联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场得1分，云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据云村篮球队在9场比赛中得到12分，列二元一次方程组即可．【详解】解：根据题意，得，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得分，今年某队在全部38场比赛中得到67分，那么这个队今年胜场．【答案】35【分析】设胜了x场，那么负了场，根据“在全部38场比赛中得到67分”可列方程并求解．【详解】解：设胜了x场，由题意得：，解得．答：这个队今年胜了35场．故答案为：35．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．题型06方案选择问题1．（2023秋·七年级课时练习）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（

）A．60人 B．61人 C．62人 D．63人【答案】D【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设七年级三个班级共有人，根据题意得，解方程组得：，故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．2（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）阳春三月，草长莺飞．初2025届四个班的同学决定外出研学，四个班计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配38座客车，则用车数量将减少1辆，并空出2个座位．则四个班外出研学共有人．【答案】188【分析】设四个班外出研学共有x人，根据“调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配38座客车，则用车数量将减少1辆，并空出2个座位”，列出方程，即可求解．【详解】解：设四个班外出研学共有x人，根据题意得：，解得：，答：四个班外出研学共有188人．故答案为：188【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．（2023秋·山东泰安·六年级统考期末）某校六年级准备观看电影《万里归途》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．(1)若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的你知道一班有多少人吗？【答案】(1)方案二(2)45人【分析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；（2）设一班有人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，方案一的花费为：（元），方案二的花费为：（元），，若二班有42名学生，则他该选选择方案二；（2）设一班有人，根据题意得，，解得．答：一班有45人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于的方程是解题关键．题型07数字问题1．（2023春·四川达州·九年级校考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据每一横行、每一竖列和相等规则，用关于字母的代数式表示其它空格值，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等的规则建立方程求解得字母值，进而求解．【详解】解：如图，由题意得，解得；∵，即，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的求解；根据题意建立方程是解题的关键．2．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）观察表中三行数的规律，回答下列问题：第列第列第列第列第列第列第行第行第行(1)第行的第5个数是______；第行的第6个数是______；(2)若第行的某一列的数为，则第行与它同一列的数为______，（用含的代数式表示）(3)已知第列的三个数的和为，若设第列第1行的数为，试求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据表中第行的数据找到规律，奇数列的数字为负，偶数列的数字是正数，且后一列的数字的绝对值是前一列数字的绝对值的2倍，进而即可求解；第3行的数据是第1行数据的2倍，进而求得的值；（2）观察表格数据可得第2行的数据，每一列对应的数据比第1行的数据大2，据此即可求解；（3）根据（1）（2）的规律，列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，奇数列的数字为负，偶数列的数字是正数，且后一列的数字的绝对值是前一列数字的绝对值的2倍∴第行的第5个数是；第3行的数据是第1行数据的2倍，∴第行的第6个数是；故答案为：，．（2）解：观察表格数据可得第2行的数据，每一列对应的数据比第1行的数据大2，∴第行的某一列的数为，则第行与它同一列的数为，故答案为：．（3）设第列第1行的数为，则第2行的数为，第3行的数为，∵已知第列的三个数的和为，∴，解得：．【点睛】本题考查了数字类规律题，一元一次方程的应用，找到规律是解题的关键．题型08几何问题1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）如图，用36L的水刚好把这个容器装满．如果水深，则容器里有（

）L的水．（容器的厚度忽略不计）A．18 B．24 C．27 D．30【答案】C【分析】根据圆柱的体积（容积）公式：，圆锥的体积（容积）公式：，已知用36升水刚好把这个容器装满，设容器的底面积为平方分米，据此可以求出容器的底面积，然后把数据代入公式解答．【详解】解：设容器的底面积为平方分米36升立方分米（立方分米），（立方分米）故选：C．【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．2．（2023秋·河南信阳·七年级校联考开学考试）荣老师家的客厅长6米、宽米，他计划在地面铺方砖，现有以下规格的方砖：①边长30厘米的方砖②边长40厘米的方砖③边长60厘米的方砖请你帮荣老师选择一种规格的方砖，并计算需要多少块．【答案】见解析【分析】根据自己的喜欢可进行选择需要方砖的边长是多少厘米的，然后根据长方形的面积=长×宽和正方形的面积=边长×边长，分别求出客厅的面积和方砖的面积，列方程求解即可．【详解】解：选边长为40厘米的方砖．40厘米米解：设边长为40厘米的方砖需要x块．答：需要180块．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关题型09和差倍分问题1（2023秋·七年级课时练习）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，则需要从乙队调到甲队汽车（）A．8辆 B．10辆 C．12辆 D．16辆【答案】C【分析】设需要从乙车队调x辆汽车到甲车队，根据“甲车队有100辆汽车，乙车队有68辆汽车，根据情况需要，甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，”列出方程，即可求解．【详解】解：设需要从乙车队调x辆汽车到甲车队，根据题意得：．解得，答：需要从乙队调到甲队汽车12辆．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（2023秋·山东临沂·七年级统考开学考试）2008年夏季奥运会和2022年冬季奥运会的成功举办使北京成为首个“双奥之城”．两次奥运会的成功举办离不开志愿者的无私奉献．据统计，2008年夏季奥运会大约有万人参与了志愿服务，比2022年冬季奥运会的志愿者的4倍还多万人．2022年冬季奥运会大约有志愿者多少万人（请列方程解答）?【答案】2022年冬季奥运会大约有志愿者万人【分析】设2022年冬季奥运会大约有志愿者x万人，根据“2008年夏季奥运会比2022年冬季奥运会的志愿者的4倍还多万人”列方程求解即可．【详解】解：设2022年冬季奥运会大约有志愿者x万人，则解得答：2022年冬季奥运会大约有志愿者万人．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找到题中等量关系是解题的关键．题型10电费和水费问题1．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（）．A．38 B．28 C．34 D．44【答案】C【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答．【详解】解：设他家该月用水，根据题意得：，解得：，答：他家该月用水．故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．2．（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分第2档超过180度的部分(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．(2)若该市某户12月用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户12月应交电费多少元．(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？【答案】(1)102(2)当时，该户12月应交电费为元；当时，该户12月应交电费为元；(3)该户12月用电量为240度【分析】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；（2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：，，，（元）．故答案为：102．（2）解：当时，该户12月应交电费为元；当时，该户12月应交电费为，，（元）．（3）解：，，，．答：该户12月用电量为240度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．题型11比例分配问题1．（2023春·上海·六年级专题练习）参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（

）A．82分 B．86分 C．87分 D．88分【答案】D【分析】根据题意，可找出数量间的相等关系:女生的平均成绩男生的平均成绩全班平均成绩，设女生的平均成绩是，列方程解答即可．【详解】解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，根据题意列方程：故答案为D．【点睛】解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．2．（2023·全国·七年级假期作业）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？【答案】【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果．【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台，依题意得：，解得：，∴，，答：三种型号三种洗衣机分别生产．【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题．题型12日历问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下表是2023年10月的月历，任意圈出一坚列上相邻的四个数，请你运用方程的思想来研究，发现这四个数的和不可能是（

）日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．50 B．58 C．68 D．70【答案】C【分析】设圈出一竖列上相邻的四个数中最小的数为，则另外三个数为、、，将四个数相加即可找出四数之和为，令其分别等于A、B、C、D内的数，求出值，由为正整数即可作出判断．【详解】解：设圈出一竖列上相邻的四个数中最小的数为，则另外三个数为、、，根据题意得：，A、当时，解得：，故此选项不符合题意；B、当时，解得：，故此选项不符合题意；C、当时，解得：，故此选项符合题意；D、当时，解得：，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据四个数之和分别为四个选项中的数列出关于的一元一次方程是解题的关键．2（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图是2022年2月的日历表：(1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为；(2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为；(3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由．【答案】(1)38(2)(3)框住的五个数字之和不可以为63，理由见解答过程【分析】（1）写出框出的5个数，相加即可；（2）用含x的代数式表示出框住的5个数，再相加即可；（3）列出方程，解方程，再根据图形可得答案；【详解】（1）由图可知，框住的5个数分别是1，8，16，3，10，∵，∴U形框中的五个数字之和为38，故答案为：38；（2）U形框框住的5个数分别是，∴U形框框住的五个数字之和为；故答案为：；（3）框住的五个数字之和不可以为63，理由如下：设最小的数字为x，由（2）可知这5个数和为，∴，解得，∴要求框出的5个数中最小的是6，由图可知，不能框出这样的5个数．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出框出的5个数的大小规律，列出一元一次方程．题型13古代问题1．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则符合题意的方程应为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设井深x尺，将绳三折测之，则绳长为，将绳四折测之则绳长为，根据两次测量绳长不变，即可得方程．【详解】解：设井深x尺，将绳三折测之，则绳长为，将绳四折测之则绳长为，根据题意，得．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，不变的是井深（绳长），用代数式表示绳长是此题的关键．2．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．②解这个方程得，______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．【答案】；260；2；5590【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为斤，也可表示为斤，进而可列方程求解即可.【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：．②解这个方程得，．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量个搬运工的体重；④，即最终可求得：大象的体重为5590斤．故答案为：；260；2；5590．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．题型14其他问题1．（2023秋·七年级课时练习）一商家将每台充电宝先按成本提高标价，再以七折出售，结果获利5元，则每台充电宝的成本是（

）A．元 B．110元 C．元 D．元【答案】C【分析】设台充电宝的成本是x元，根据题意得，进行计算即可得．【详解】解：设台充电宝的成本是x元，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．2、（2023春·安徽·九年级专题练习）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．【规律总结】（1）填写下表：五边形内点的个数1234…n分割成的三角形的个数579…【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点；若不能，请说明理由．【答案】（1）11，；（2）原五边形能被分割成2023个三角形，内部有1010个点【分析】（1）由题意可归纳出五边形内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为；（2）通过解方程可判断此题的结果．【详解】解：（1）∵五边形内点的个数为1时，分割成的三角形的个数为，五边形内点的个数为2时，分割成的三角形的个数为，五边形内点的个数为3时，分割成的三角形的个数为，∴五边形内点的个数为4时，分割成的三角形的个数为，……∴五边形内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为，故答案为：11，；（2）原五边形能被分割成2023个三角形，由题意可得方程，解得，符合实际，∴原五边形能被分割成2023个三角形，内部有1010个点．【点睛】本题考查了图形类变化规律问题的解决能力，关键是能根据多边形的相关知识观察、猜想、归纳出该问题的规律．A夯实基础1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某车队运送一批货物，每辆汽车装，还剩下末装，每辆汽车装就恰好装完，该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有辆，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设这个车队有辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程．【详解】解：设该车队运送货物的汽车共有辆，由题意得，．故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．读懂题意，设出未知数，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）某彩电降价以后，每台售价为元，则该彩电每台原价为（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【分析】设该彩电每台原价为，则由题意得：，据此即可求解．【详解】解：设该彩电每台原价为，则由题意得：∴故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．注意正确理解题意即可．3．（2023秋·山东枣庄·七年级统考阶段练习）“国庆”卖场大促销，一件羽绒服原价800元，现在打六折出售，现价是元．【答案】480【分析】设现价为x，根据题意列出一元一次方程，求出解即可．【详解】解：设现价为x元，根据题意，得解得．所以现价为480元．故答案为：480元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．4．（2023春·河南开封·七年级统考期中）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样人，甲采样小时与乙采样小时所采样人数相等，问：甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列方程为．【答案】【分析】设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据甲采样5小时与乙采样6小时所采样人数相等列出方程即可．【详解】解：设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．（2023秋·广东广州·七年级广州市白云中学校考开学考试）（用比例知识解答）榨油厂用300千克花生可以榨出39千克花生油，照这样计算，要榨出104千克油需要多少千克的花生？【答案】【分析】设榨出104千克油需要千克的花生，根据每千克花生可炸出花生油的重量是一定的，即可列出比例求解．【详解】解：设榨出104千克油需要千克的花生由题意得：即：答：榨出104千克油需要千克的花生【点睛】本题考查了比例及一元一次方程．注意计算的准确性．6．（2023秋·湖南岳阳·七年级校考开学考试）刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答）【答案】10分钟，50米【分析】设从出发到两人相遇用了x分钟，根据两人走的路程和列出方程，解方程求出x的值，进一步即可得到相遇地点距离电影院的距离．【详解】解：设从出发到两人相遇用了x分钟，，解得，∴（米），（米）．答：从出发到两人相遇用了10分钟，相遇地点距离电影院有50米．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．B能力提升1．（2023秋·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，点，分别表示数，，且．若，两点间的距离为12，则点表示的数为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】由可得，再根据A、B两点间的距离为12列式求得a即可．【详解】解：∵，∴，∵A、B两点间的距离为12，∴，∴，解得：，∴点A表示的数为．故选：B．【点睛】本题主要考查了求数轴上两点距离，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（2023秋·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了（

）个单位长度．A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算【答案】B【分析】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，然后列方程求解即可．【详解】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，则蝴蝶精灵一共飞行了个单位，根据题意可得，解得∴．∴蝴蝶精灵一共飞行了个单位长度．故选：B．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列方程求出甲乙两只蚂蚁相遇所用时间．3．（2023秋·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）在，，6，7，五个有理数中，如果最大的数与最小的数之差等于15，那么．【答案】12或【分析】分是最大数和是最小数时两种情况讨论，列出一元一次方程，即可求解．【详解】解：当是最大数时，依题意得，解得；当是最小数时，依题意得，解得；综上，或．故答案为：12或．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．4．（2023秋·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．（1）直尺的长为个单位长度．（2）如图2，以为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为、，若（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为．【答案】3040【分析】（1）首先根据题意得到，然后结合求解即可；（2）设A点对应的数为，向左移动所用的时间，向右移动所用的时间，根据列式计算即可．【详解】（1）由题意得：，∵，∴，∴直尺的长为30个单位长度；（2）设A点对应的数为，则解得，答：A点对应的数为40．【点睛】考查有理数与数轴，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．5．（2023秋·陕西商洛·七年级校考阶段练习）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．如图是一个满足条件的“九宫图”的一部分，求这三个数．37519【答案】【分析】根据每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，可分别列出关于的一元一次方程，解之即可．【详解】解：∵每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，∴，解得：．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．6．（2023秋·广西南宁·七年级南宁三中校考阶段练习）蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：。(1)这8筐白菜一共重多少千克？(2)若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？(3)如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）计算出这8筐白菜与标准净重的总偏差质量，即可求解；（2）设白菜的单价应定为每千克元，根据题意可列方程，即可求解；（3）先算出商店以（2）中的单价销售白菜时每天的销量，进一步可算出降价销售时每天的销量，即可求出商店在整个白菜销售过程的天数；根据利润=以（2）中的单价销售时的总售价+降价销售时的总售价总进价，即可判断商家是盈利还是亏损．【详解】（1）解：（千克）（千克）（千克）答：这8筐白菜一共重千克（2）解：设白菜的单价应定为每千克元由题意得：解得：答：蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克元（3）解：商店以（2）中的单价销售白菜时，每天可售出白菜：（千克）则降价促销时，每天可售出白菜：（千克）售完剩下的一半白菜需要：（天）故商店在整个白菜销售过程中共需要：（天）（元）故商店共盈利元【点睛】本题考查了正负数的实际应用、有理数的计算、一元一次方程等知识点．正确理解题意是解题关键，还需注意计算的准确性．C综合素养1．（2023秋·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设共有个球队参赛，根据每两队之间都进行一场比赛，且共比赛50场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解；【详解】设共有个球队参赛，依题意，得：故选D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键2．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）将正整数1至2022按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(

)A．2018 B．2019 C．2040 D．2049【答案】D【分析】设方框中三个数分别为，则方框中三个数的和为，令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第1列及第8列数，即可得到答案．【详解】解：平移表中带阴影的方框，设方框中三个数分别为，则方框中三个数的和为，故方框中三个数的和为3的倍数，A．2018不是3的倍数，故本选项不符合题意；B．当时，，余1，即为第1列数字，故本选项不符合题意；C．当时，，余0，即为第8列数字，故本选项不符合题意；D．当时，，余3，即为第3列数字，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．3．（2023秋·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，点C在A，B之间，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点B的距离）时，C点表示的数是