2023届福建省尤溪县高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列命题是真命题的是（）

A.若平面,Y,满足a，7,B，则a//〃；

2

B.命题/，：VxGR>1—%<1,贝!j-：3x0eR,1—<1；

C.“命题Pvq为真，，是“命题PA4为真，，的充分不必要条件;

D.命题“若+1=则x=0”的逆否命题为：“若xoO,贝！J（x—

2.已知复数zi=3+4i,Z2=a+i,且ziz2是实数，则实数a等于（）

3443

A.-B.—C.--D.—

4334

3.已知复数二满足（l+i）z=2i,则目=（）

5]

A.J2B.1C.—D.-

22

4.如图，在AABC中，点M,N分别为C4,CB的中点，若AB=亚,CB=\,且满足3AG•MB=GA?+，

则AG•AC等于（）

1―28

A.2B•、/5C•一D.-

33

5.要得到函数y=gcosx的图象，只需将函数y=gsin（2x+。）的图象上所有点的（

）

1乃

A.横坐标缩短到原来的不（纵坐标不变），再向左平移g个单位长度

1兀

B.横坐标缩短到原来的］（纵坐标不变），再向右平移己个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度

O

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移？个单位长度

sinx+-\,xe2k兀---,2%7+一|(%ez),

I222

6.己知函数y的图象与直线y=m（x+2）（m>0）恰有四个公共

2k兀+—,2k兀+—j(/:ez),

22J

点4（%,%卜8&,%）。.（%3，%）。（%4，%）,其中为<%<%3<工4,则（&+2）tan%4=（）

A.-1B.0C.1D-T+2

7.设S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若生=-3,S7=-7,则S”的最小值为()

A.-12B.-15C.-16D.-18

8.设函数/(%)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，当x>()时，f\x)\nx<--f(x),则使得，一1)/(幻>0成立

X

的工的取值范围是()

A.(-1,0)(0,1)B.(-a)-l)(1,-W)

C.(-1,0)7(1,?)D.(—,一1)_(0,1)

9.已知a,b£R,3+cii=b-(2a—l)z,则()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=l2a

2

10.已知K，工是双曲线C：T—y2=l（a>0）的两个焦点，过点月且垂直于x轴的直线与C相交于A,8两点,

若|A8|=JL贝必"鸟的内切圆的半径为（）

A夜V32>/22A/3

A.KB.rC.----DN.----

3333

11.已知三棱柱ABC-44G的所有棱长均相等，侧棱的，平面ABC,过作平面a与BG平行，设平面a与

平面ACGA的交线为/，记直线/与直线A8,8C,CA所成锐角分别为a,f3,y,则这三个角的大小关系为（）

A.a>y>B.a=/3>y

C.y>p>aD.a>（3=y

12.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元,则乙获

得“最佳手气”（即乙领到的钱数多于其他任何人）的概率是（）

1323

A.—B.—C.—D.一

31054

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2））,其

中。=44==.=44=1,则的值是.

14.连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点p的坐标，则点p落在圆/+丁=19内的概率为.

15.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到

湖北A、8两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有种选

派方法.

x<3

16.若满足则目标函数z=y-2x的最大值为.

y<x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面Q46为等腰直角三角形，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=

(1)求证：平面PBC；

(2)求直线PC与平面PAD所成的角的正弦值.

18.(12分)如图，三棱柱ABC-AgG中，平面ABC,NAC8=90,AC=C6=2,M,N分别为AB,

(2)若平面GWNJ_平面与MN,求直线AB与平面片MN所成角的正弦值.

19.(12分)购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买

该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示

（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）;

（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元

的人数为X,求X的分布列和数学期望；

（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

月份2018.112018.122019.012019.022019.03

销售量（万

0.50.61.01.41.7

辆）

试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？

附：对于一组样本数据（M，y）,（々,％），…，（当，%），其回归直线$=忘+&的斜率和截距的最小二乘估计分别

为右=旦一7-----------T------，a=y-bx.

/=1i=\

20.（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直

方图，以样本的频率作为总体的概率.

（1）估计这100人体重数据的平均值〃和样本方差a?；（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在［55,65）的人数，求X的分布列和数学期望;

(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重y近似服从正态分布N(〃,C/).若

P(〃-2b<Y<p+2(y)>0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

21.(12分)设a,b,c,d都是正数，且1=五+从,丫=旧+值•求证：ac+bd)(ad+be).

22.(10分)已知抛物线C：>2=4x的焦点为尸，过C上一点P(U)。>0)作两条倾斜角互补的直线分别与C交

于M，N两点，

(1)证明：直线MN的斜率是一1；

(2)若8|ME|,|MN|,|NE|成等比数列，求直线MN的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.

【详解】

若平面a,0,Y,满足/3Ly,则d△可能相交，故A错误；

命题“P：VxeR,的否定为「P：3x0&R,故B错误；

pvq为真,说明〃，4至少一个为真命题，则不能推出。八4为真；PM为真，说明〃国都为真命题，贝UP"为真，

所以“命题为真”是“命题。入4为真”的必要不充分条件，故C错误；

命题“若(x-l)e'+l=o,贝!]%=0”的逆否命题为：“若XH0,则(X-1)/+1HO”，故D正确；

故选D

【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.

2.A

【解析】

分析：计算％=a-i,由方4=3a+4+（4a—3）i,是实数得4a—3=0,从而得解.

详解：复数zi=3+4i,Z2=a+i,

z2=a-i.

所以zQ=（3+4i）（a-i）=3a+4+（4a-3）i,是实数，

3

所以4a—3=0,即2=一.

4

故选A.

点睛：本题主要考查了复数共朝的概念，属于基础题.

3.A

【解析】

根据复数的运算法则，可得z,然后利用复数模的概念，可得结果.

【详解】

2;2i(一)2i-2i2

由题可知：z=—

(1+i)(—)

由『=-1，所以z=l+i

所以=Vl2+12=V2

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

4.D

【解析】

选取瓦，瑟为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.

【详解】

由题意6是八钻。的重心，

3AGA/B=3x-A}v(-BM)=-2(B/V-fiA)-(BC+BA)=(&4--BC)(BC+&4)

322

--212111

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

CA+CB'=(BA-BC)2+\=BA-2BABC+BC'+l==5-2BABC+l+l，

91----------------------------

—BA,BC=7-28A.BC,8A,BC=1,

221--2123——22138

AGAC=_4VAC=_(_8C_84>(8C_84)=_(_BC__二=-(——-+5)=-,

3323223223

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明

确，易于操作.

5.C

【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.

【详解】

为得到.v=gcosx=gsin[X+，

将y=；sin(2x+横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

故可得y=gsin

再将y=；sin[x+W]向左平移/个单位长度，

故可得yn彳sinX+-+-=-sinx+-\=-cosx.

Zt3o7ZtZ7Z

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.

6.A

【解析】

先将函数解析式化简为y=lcos幻，结合题意可求得切点甚及其范围尤4€(、，4)，根据导数几何意义，即可求得

(玉+2)tan/的值.

【详解】

_.71_,71

2K7T------,2k7VT——(kez),

I2j22)

函数y=<

-sinx+-,xeIk7t+—,Ikn+—(kez),

l222

即y=|cosx|

直线y=m(x+2)("?>0)与函数y=|cosx|图象恰有四个公共点，结合图象知直线y=机(x+2)(加>0)与函数

’.一(兀

y=-8sx相切于％,x4e\-,7r

因为y'=sinx,

,.-cosx4

故Z=sinx4=—,

sinx22)x&=t

所以(Z+2)tanx4=(%+2)x4

cos%

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.

7.C

【解析】

根据已知条件求得等差数列｛4｝的通项公式，判断出S“最小时n的值，由此求得S“的最小值.

【详解】

ci,+2d——39

依题意」c7「，解得<=-7,"=2,所以氏=2〃-9.由4=2〃-94°解得〃所以前”项和中，前

7弓+214=-72

4项的和最小，且S4=4囚+6"=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属于基础题.

8.D

【解析】

构造函数，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),则g，(x)=]n/⑺+小

由尸(x)/心可得g<x)<0,

则g(x)是区间(0,+8)上的单调递减函数，

且g(l)=lnlx/⑴=0,

当x£(0,1)时,gCr)>0「・・比％v05A工)〈0,(炉・16%)>0;

当x£(l,+oo)时,g(x)vO,丁/nx>0,-••/(x)<0,(x2-l)/(x)<0

•・VU)是奇函数，当x£(・l,O)时於)>O,(xMVWvO

・•・当工£(・8,・1)时,网幻>(),(/・1皿外>0.

综上所述，使得(xM)/lx)>0成立的X的取值范围是(-8,-1)口(0,1).

本题选择O选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似

乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、

化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

9.C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+由=b—(2a—1)i,

[3=bi

得〈，即a=—,b=l.

a=l-2a3

J.b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

10.B

【解析】

设左焦点6的坐标，由A5的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形48尸2

的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】

由双曲线的方程可设左焦点6（-c,0）,由题意可得AB也S

由/?=1,可得ci—，

2

所以双曲线的方程为：—r-/=!

2

所以耳（一石,0）,6（6,0）,

所以5人叱；血书2拉行飞

三角形/45尸2的周长为0=45+46+36=45+（2a+4耳）+（2“+3耳）=44+2/18=40+20=60

设内切圆的半径为r,所以三角形的面积S='-C"=」-6&"=3立广，

22

所以3^2r=V6，

解得厂=虫，

3

故选：B

【点睛】

本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角

形的面积可得半径的应用，属于中档题.

11.B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，D«=CG，G&=4G，设。为AG的中点，。|为G4的中点,

由图可知过AB,且与BG平行的平面a为平面AB^,所以直线I即为直线AD,,

由题易知，ZD.AB,N^CB的补角，/"AC分别为。，［3,

设三棱柱的棱长为2,

在AqAB中，D1B=2底AB=2,叫=26,

c-8.(2南+"(2南_6

2x2x2石1010

在AO/C中，。£=而，BC=2,O[C=亚,

cosNQCB.(可+”(而匚656-石；

2x2x610"10

在AAAC中，CD1=4,AC=2,阴=26，

cosZDtAC=^==—,:.cosa=—,

'2A/555

cose=cosp<cosy,:.a=/3>y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

12.B

【解析】

将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.

【详解】

设乙，丙，丁分别领到X元J元,Z元，记为(X,y,z)，则基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)决10个，其中符合乙获得“最佳手

3

气”的有3个，故所求概率为本，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了枚举法求古典概型的方法，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

7

【解析】

先求出向量和44夹角的余弦值，再由公式即得.

【详解】

如图，过点儿作44的平行线交。4于点B,那么向量和44夹角为/队力，/网为二伙)，

.•./&34=9(),.・・/4。4=/84/7,04=44=1,且是直角三角形，.•.％=也,同理得

4。V6

04=瓜,0%=币,cossin/44O=a)444=ixix

A7OV77

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量儿4和44的夹角•

【解析】

连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解

【详解】

由题意知，连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，

而满足条件的结果为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有11种结果，根据古典概型概率公式，

可得所求概率P=工.

故答案为：——

36

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

15.24

【解析】

先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.

【详解】

解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有4(),

若甲乙两名护士到同一地的种数有=16,

则甲乙两名护士不到同一地的种数有40-16=24.

故答案为：24.

【点睛】

本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.

16.-1

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

案.

【详解】

由图可得，当直线y=2x+z过点3时，直线在y轴上的截距最大,

x+y=2\x=\/、

由-得，即8(1,1),贝!h有最大值z=l—2=—1,

[x=y[y=i

故答案为一i.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:

(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的

目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)显

9

【解析】

(1)根据平面Q46,利用线面垂直的定义可得BCJ_Q4,再由根据线面垂直的判定定理即可证

出.

(2)取A3的中点。，连接。尸,。。，以。为坐标原点，。。,。伐。尸分别为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系

O-邙，求出平面P4)的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【详解】

（1）因为8C，平面FAB,P4u平面,

所以BCJ.Q4

由AR43为等腰直角三角形，

所以Q4LP8

又PBcBC=B,故平面B4B.

（2）取AB的中点。，连接0P,。。，

因为PA=PB,AD-BD,

所以

因为Be,平面aw,

所以243,平面A8CD

所以P0，平面ABCD,P010D,

如图，以。为坐标原点，。。,。8,。尸分别为％%2正半轴建立空间直角坐标系（9-济2,

则AO=8O=PO=1，DO=yjAD2-AO2=2,

又BC_LAB,OO_LPA,

所以OD/IBC且。。=BC,于是

P（0,0,l）,A（0,-l,0）,L>（2,0,0）,C（2,l,0）

PC=（2,1,-1）,AP=（0,l,l）,AD=（2,1,0）,

设平面PAD的法向量为”=（x,y,z）,则

n-AP=

<y+z=0

n-AD=2x+y=0

令x=l得平面PAO的一个法向量〃=。,一2,2）

设直线PC与平面PAD所成的角为。,

【点睛】

本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.

18.(1)详见解析；(2)巫.

6

【解析】

(1)连接AG，BC],则NeAG且N为AC的中点，

又为A3的中点，BG，

又BQu平面BBgC,MN«平面BBgC,

故MN〃平面BB℃.

(2)由4A_L平面ABC,得AC_LCG，BC1CCi.

以C为原点，分别以CB,CG，C4所在直线为K轴，＞轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设CC\=2Z(Z>0),

则N(0,2,1),4(2,2砌，

CM=(1,0,1),政V=(-l,2,0),NBt=(2,2,-1).

取平面CMV的一个法向量为加=(x,y,z),

由CM-/〃=0，MN•加=0得：

{_戈+/)，_()'令)'=1，得〃2=(%1，_丸)

同理可得平面B]MN的一个法向量为〃=(%1,34)

•••平面CMN，平面B、MN，二相.〃=g+1-3矛=0

</z3叵、

解得4=乎，得〃=?1,%,又AB=(2,0,—2),

设直线AB与平面片MN所成角为。，则

sin0-\cosn,AB\=J_4=——・

11|H||AB|6

所以，直线AB与平面g“V所成角的正弦值是逅.

6

19.(1)1.7；(2)EX=2.4,见解析；(2)2.

【解析】

(1)平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；

(2)易得X8(4,0.6),由二项分布列的期望公式计算；

(3)利用所给公式计算出回归直线$=忘+4即可解决.

【详解】

(1)由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为

1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5,所以方差的估计

值为?=(1.5-3.5)2x0.1+(2.5-3.5)2x0.3+(3.5-3.5)2x0.3+(4.5-3.5)2x0.15

+(5.5-3.5)2x0.1+(6.5-3.5)2x0.05=1.7；

(2)由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的

频率为2=0.3+0.15+0.1+0.05=0.6,则X8(4,0.6),所以X的分布列为

P(X=k)=060.41,Z=0,1,2,3,4,数学期望=4x0.6=2.4；

(3)将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1,2,3,4,5,

记Xj=z(z=1,2,3,4,5),y=0.5,y2=0.6,y3=1.0,y4=1.4,y5=1.7,由散点图可知，

n

5组样本数据呈线性相关关系，因为7=3，1=1.04,、＞，》=85+12+3+5.6+8.5=18.8,

/=1

21A(\\acuccri1118.8—5x3x1.04

£七=1+4+9+16+25=55,则。=—~—=0.32,a=1.04-0.32x3=0.08»

Zi55-5x9

所以回归直线方程为y=0.32x+0.08，当x=6时，＞=0.32x6+0.08=2,预计该品

牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆.

【点睛】

本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题,

本题是一道中档题.

20.(1)60；25(2)见解析，2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析

【解析】

(1)根据频率分布直方图可求出平均值〃和样本方差(J?；

(2)由题意知X服从二项分布8(3,().7),分别求出尸(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),进而可求

出分布列以及数学期望；

(3)由第一问可知丫服从正态分布N(60,25),继而可求出P(50〈y<70)的值，从而可判断.

【详解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60-47.5)2+(72.5-60)2x0.02+[(60-52.5)2+(67.5-60)2]x0.13

+[(60-57.5)2+(62.5-60)2]x0.35a25

(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7.

随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X服从二项分布8(3,().7),

则P(X=0)=Cx0.7°xO.33=0.027,P(X=1)=C；x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=《x0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列为：

X0123

P0.0270.1890.4410.343

数学期望EX=3x0.7=21

(3)由题意知y服从正态分布N(