稳态误差与闭回路转移函数之间的关系课件

2023/12/51控制系統的時域分析

7CHAPTER7-1連續資料系統之時間響應︰前言1.控制系統的時間響應通常可分為兩部份︰

暫態響應(transientresponse)和穩態響應(steady-stateresponse)。2.令y(t)代表時間響應(7-1)其中yt

(t)為暫態響應，yss

(t)為穩態響應。

暫態響應可定義為當時間趨近無窮大時響應變為零的部份(7-2)

穩態響應是在暫態響應消失後，所剩餘部份的響應3.若輸出的穩態響應與輸入不一致，就稱此系統有穩態誤差(steady-stateerror)。7-2控制系統時間響應的典型測試訊號為了時域分析的方便，常使用下列的測試訊號：1.步階函數輸入：(7-3)其中R

為常數或(7-4)us(t)為單位步階函數圖7-1(a)2023/12/52控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-1控制系統的基本時域測試訊號。(a)步階函數；(b)斜坡函數；(c)拋物線函數2023/12/53控制系統的時域分析

7CHAPTER

由於步階函數有一不連續的跳躍，它的頻譜包含極寬的頻率；因此，將步階函數當作測試訊號相當於在一很寬的頻率範圍內多種弦波訊號的同時應用。2.斜坡函數輸入：(7-5)R

為實常數圖7-1(b)

斜坡函數有能力測試系統對一隨時間線性變化的訊號響應。3.拋物線函數輸入：(7-6)R

為實常數圖7-1(c)★

t

3，稱為顫振函數很少用！7-3單位步階響應及時域規格

對於線性控制系統，暫態響應的特性通常以單位步階函數us(t)作為輸入。此種響應稱為單位步階響應。

圖7-2◆系統的性能特性定義：1.最大超越量令y(t)為單位步階響應。令ymax

為y(t)的最大值，yss為y(t)的穩態值，且y

max

y

ss。2023/12/54控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-2用來說明時域規格之控制系統的典型單位步階響應2023/12/55控制系統的時域分析

7CHAPTER最大超越量=y

max

yss

(7-7)

最大超越量通常以步階響應最終值的百分比來表示(7-8)測量系統的相對穩定性最大超越量通常視為時域規格。

若系統轉移函數有奇數個零點在s右半平面，則亦可能發生負的最大超越值。2.

延遲時間達到步階響應最終值的50%所需的時間定義為延遲時間td，如圖7-2

所示。3.

上升時間由步階響應最終值的10%上升到90%所需的時間定義為上升時間tr。如圖7-2

所示。另一種測量法為，上升時間以步階響應在響應等於其最終值的50%

時瞬間斜率的倒數來表示。4.

安定時間步階響應衰減至且停留在其最終值的特定百分比以內時所需的時間定義為安定時間ts。通常使用的數值是5%。5.

穩態誤差系統響應的穩態誤差定義為系統達到穩態(即t

)時，輸出與參考輸入間之差異值。2023/12/56控制系統的時域分析

7CHAPTER7-4穩態誤差1.在穩態時，輸出及參考值的差，我們定義為穩態誤差。2.在設計系統時，必須使誤差減至最低程度，或讓誤差低於某一容忍值。同時，暫態響應也必須滿足某種規格。7-4-1線性連續資料控制系統的穩態誤差

線性控制系統的穩態誤差必須視系統的型態和參考輸入類型而定。1.考慮圖7-3

的閉迴路系統，其中r(t)為輸入，u(t)為激勵訊號，b(t)為回授訊號，及y(t)為輸出。★相對於系統架構的穩態誤差定義2.系統誤差的定義：圖7-3非單位回授的控制系統(7-9)參考訊號為輸出y(t)所要追蹤的訊號。3.系統為單位回授時[即H(s)=1]，輸入

r(t)為參考訊號，則誤差可簡化為(7-10)穩態誤差定義：(7-11)2023/12/57控制系統的時域分析

7CHAPTER4.當H(s)不為1，則圖7-3中的激勵訊號u(t)不一定為誤差，端視H(s)的型式和目的而定。Ex.

假設在圖7-3

中的系統其目的為使輸出y(t)盡可能緊密地追蹤r(t)，且系統轉移函數為(7-12a)1)當H(s)=1時，特性方程式為(7-13)閉迴路系統為不穩定2)當H(s)變成(7-12b)特性方程式變成(7-14)系統穩定

系統誤差仍可由(7-10)式所定義：2023/12/58控制系統的時域分析

7CHAPTEREx.

考慮一速度控制系統，其中以步階輸入來控制在穩態時可包含一斜坡的系統輸出。系統轉移函數可如以下型式(7-15)其中H(s)為機電或電子轉速計之轉移函數，且K

t

為轉速計常數。1)系統誤差可如(7-9)式中所定義，其中參考訊號為所設計的速度，但並非r(t)。

由於r(t)和y(t)的因次不同，所以用(7-10)式定義誤差將無意義。2)令K

t=10V/rad/sec。此乃表示對一步階輸入為1

伏特時，穩態時所需速度為1/10或0.1rad/sec，因為當此一條件達到時，轉速計之輸出電壓為1伏特，且穩態誤差為零。3)系統之閉迴路轉移函數：(7-16)4)對於步階函數輸入，R(s)=1/s。輸出時域響應為(7-17)2023/12/59控制系統的時域分析

7CHAPTER5)y(t)的穩態部份為0.1t

0.12。故系統穩態誤差為(7-18)

並非所有的系統誤差均依據輸入所得的輸出響應來定義。圖7-4

的系統除輸入r(t)

外，還有干擾d(t)。由d(t)單獨作用所產生之輸出也可定義為誤差。

圖7-4有干擾輸入之系統

為對線性系統的穩態誤差作有系統的討論，以下將區分三種系統分別討論之。1.單位回授系統；H(s)=1。2.非單位回授系統，但H(0)=K

H=常數。3.非單位回授系統，且H(s)在s=0有N

階之零點。2023/12/510控制系統的時域分析

7CHAPTER★控制系統的型式︰單位回授系統圖7-3非單位回授的控制系統1.H(s)=1之單位回授控制系統的方塊圖：

圖7-3

。2.系統穩態誤差：(7-19)3.ess

與G(s)在s=0之極點數目有關。此一數目即為控制系統的型式，或簡稱系統型式。系統之型式在此只針對單位回授系統定義4.利用順向路徑轉移函數G(s)的型式來定出系統型式:(7-20)其中K

和所有的T

為實常數。若閉迴路系統的順向路徑轉移函數如(7-20)式，則系統的型式為

j，其中

j=0，1，2，…。►例題7-1(7-21)型式12023/12/511控制系統的時域分析

7CHAPTER(7-22)型式3★不同型態的輸入對穩態誤差的影響：[A]具步階函數輸入之系統的穩態誤差圖7-3非單位回授的控制系統圖7-3系統的H(s)=1且參考輸入r(t)是幅度為R

的步階函數，其輸入的拉氏轉換為R/s。2.穩態誤差：(7-23)3.步階誤差常數(step-errorconstant)：(7-25)4.步階輸入時典型的ess：圖7-51)型式0的系統︰2)型式1或更高的系統︰(7-24)2023/12/512控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-5步階輸入時的典型穩態誤差[B]具斜坡輸入函數之系統的穩態誤差1.控制系統[H(s)=1]：圖7-3。2.輸入：幅度為R

的斜坡函數(7-26)其中

R

為常數(7-27)2023/12/513控制系統的時域分析

7CHAPTER3.穩態誤差：(7-28)4.斜坡誤差常數(ramp-errorconstant)：(7-29)斜坡誤差常數Kv只定義於系統為斜坡輸入(7-30)5.對斜坡輸入的典型ess：圖7-6。圖7-6斜坡函數輸入時的典型穩態誤差其中Kv

為有限值且不為零。2023/12/514控制系統的時域分析

7CHAPTER6.當輸入為斜坡函數時，若要ess

為零，則Kv

必須為無限大。(7-31)[C]具拋物線函數輸入之系統的穩態誤差1.控制系統[H(s)=1]：圖7-3。2.輸入：拋物線函數(7-32)(7-33)3.穩態誤差：(7-34)4.拋物線誤差常數(parabolic-errorconstant)：(7-35)(7-36)其中Ka

為有限值且不為零。拋物線誤差常數Ka只定義於系統為拋物線輸入時2023/12/515控制系統的時域分析

7CHAPTER5.由拋物線函數輸入所造成之系統典型的ess：圖7-7。圖7-7拋物線函數輸入時的典型穩態誤差任何線性閉迴路系統由輸入訊號其階數比拋物線函數來得高者所造成的穩態誤差，皆可用相同方法推導出。2023/12/516控制系統的時域分析

7CHAPTER

穩態誤差分析可以歸納成表7-1。

一些結論：2023/12/517控制系統的時域分析

7CHAPTER1.

在誤差分析時，步階、斜坡，以及拋物線誤差常數，只有在輸入分別為步階函數、斜坡函數，以及拋物線函數時才有意義。2.

由於誤差常數是根據順向轉移函數G(s)定義，此一方法只適用於H(s)=1且架構如圖7-3所示之系統。由於誤差分析是依據拉氏轉換之終值定理，因此必須先查看sE(s)是否有任何極點在j

軸或s

右半平面。3.

在表7-1

所整理之穩態誤差特性只有在系統為單位回授時才有用。4.

當系統的輸入是上面三種基本輸入函數的線性組合時，其穩態誤差可以由個別輸入所造成誤差的疊加合成。5.

當系統架構非如圖7-3(且H(s)=1)時，則可對系統加以簡化，使其如圖7-3

之架構，或者可以找出誤差訊號再用終值定理求解。而此處所定義之誤差常數是否適用，則需視個別情形而定。

誤差常數法亦不能用於弦波輸入訊號，因為終值定理在該處無法使用。►例題7-2

考慮如圖7-3

之H(s)=1的系統，其轉移函數如下所示。利用三種基本輸入型態之誤差常數，試求誤差常數和穩態誤差。<Sol.>(a)H(s)=1型式1系統2023/12/518控制系統的時域分析

7CHAPTER1.誤差常數和穩態誤差：2.只有在0<K<1.304

時，閉迴路系統才穩定。(b)H(s)=1型式2系統1.對於所有K

值，閉迴路系統均不穩定，故誤差分析無意義。(c)H(s)=1型式2系統1.誤差常數與穩態誤差：2023/12/519控制系統的時域分析

7CHAPTER2.閉迴路系統為穩定。

穩態誤差與閉迴路轉移函數之間的關係︰[A]單位回授和非單位回授系統1.穩態誤差只與閉迴路系統的順向轉移函數有關。2.通常在分析過程中，常要推導閉迴路轉移函數，且必須建立穩態誤差和閉迴路轉移函數係數之間的關係。3.閉迴路轉移函數可用於求得單位回授與非單位回授系統的穩態誤差。4.假設下列條件成立︰常數(7-37)此即表示H(s)沒有s=0的極點。5.參考訊號定義為r(t)/KH，且誤差訊號為(7-38)2023/12/520控制系統的時域分析

7CHAPTER(7-39)其中M(s)為閉迴路轉移函數Y(s)/R(s)。6.假設M(s)沒有任何極點在s=0，且其型式為(7-40)其中n>m。在此，M(s)的所有極點均在s

左半平面，即系統為穩定。7.系統的穩態誤差：(7-41)(7-42)8.考慮r(t)的三種基本輸入型態：將(7-40)式代入(7-41)式1).步階函數輸入R(s)=R/s。穩態誤差變成(7-43)由步階輸入造成之穩態誤差為零的條件為2023/12/521控制系統的時域分析

7CHAPTER(7-44)或(7-45)此表示單位回授系統KH=1，M(s)之分子及分母的常數項必須相等，亦即b0=a0時，才能使穩態誤差為零。2).

斜坡函數輸入R(s)=R/s2。穩態誤差變成(7-46)以下為可能的ess

值︰欲使單位回授系統在步階輸入時的穩態誤差為零，其條件為閉迴路轉移函數的分子及分母的常數項相等2023/12/522控制系統的時域分析

7CHAPTER3).

拋物線函數輸入R(s)=R/s3。穩態誤差變成(7-50)以下為可能的ess

值︰►例題7-3

在圖7-3之系統，其順向及閉迴路轉移函數如下所示。(7-54)系統假設為單位回授，所以H(s)=1，及KH=H(0)=1。試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。<Sol.>2023/12/523控制系統的時域分析

7CHAPTER1.M(s)之極點全都在s左半平面，系統為穩定。2.穩態誤差為►例題7-4

考慮圖7-3

之系統，其轉移函數如下︰(7-55)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。

<Sol.>1.

依題意，知

KH=H(0)=1。2.閉迴路轉移函數：(7-56)上式與(7-40)式比較得a

0=5，a

1=5，a

2=60，b

0=5，b

1=1，b

2=0。2023/12/524控制系統的時域分析

7CHAPTER3.針對三種基本型態輸入，系統的穩態誤差可以求得為4.加入單位步階、單位斜坡，及單位拋物線輸入於(7-56)式所述之系統，可得輸出：1)單位步階輸入時的輸出︰(7-58)y(t)的穩態值為1，且穩態誤差為零。2)單位斜坡輸入時的輸出︰(7-59)2023/12/525控制系統的時域分析

7CHAPTER針對單位斜坡，y(t)的穩態成分為t

0.8，而穩態誤差為0.8。3)單位拋物線輸入時的輸出︰(7-59)y(t)的穩態成分為0.5t2

0.8t

11.2。所以，穩態誤差為0.8t+11.2，此值隨時間趨近無窮大而變成無限值。►例題7-5

考慮圖7-3

所示之系統，其轉移函數如下︰(7-60)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。

<Sol.>1.

依題意，知(7-61)2.閉迴路轉移函數：(7-62)3.由三種基本型態輸入造成的系統穩態誤差計算如下︰1)單位步階輸入時：2023/12/526控制系統的時域分析

7CHAPTER系統穩態誤差︰(7-63)步階響應：(7-64)y(t)之穩態值為0.5，且因KH

=2，故知單位步階輸入的穩態誤差為0。2)單位斜坡輸入時：系統穩態誤差︰(7-65)單位斜坡輸入的響應：(7-66)穩態誤差：(7-67)由於暫態項會隨t趨近無限大時而衰減掉，故如(7-66)式所求算的，斜坡輸入所造成的穩態誤差為0.4。2023/12/527控制系統的時域分析

7CHAPTER3)單位拋物線輸入時：系統穩態誤差︰單位拋物線輸入的響應(7-68)因單位拋物線輸入所引起的誤差(7-69)穩態誤差為0.4t+2.6，且隨時間而增加。[B]非單位回授之穩態誤差︰H(s)具有在s=0的N

階零點1.當H(s)有

N

階零點在s=0，相當於輸出在穩態時與輸入訊號的第N

階導數成正比。2.在真實系統中，這就等同於加入一個轉速計或速率回授。3.參考輸入可以定義為R(s)/KHsN

，且誤差訊號的拉氏轉換可定義為(7-70)其中(7-71)2023/12/528控制系統的時域分析

7CHAPTER4.推導N=1的情況：1)(7-40)式的轉移函數M(s)有一極點於s=0，即a0=0。2)由(7-70)式，穩態誤差為(7-72)3)對一振幅為R

的步階輸入，上式可寫成(7-73)4)穩態誤差為2023/12/529控制系統的時域分析

7CHAPTER►例題7-6

考慮圖7-3

之系統，其轉移函數為(7-77)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。

<Sol.>1.

依題意，知(7-78)2.閉迴路轉移函數：(7-79)3.由於系統的目標為以一步階輸入控制速度，雖然M(s)有一極點在s=0，但此速度控制系統仍為一穩定系統

。係數為︰a0=0，a1=10，a

2=60，b0=5，及b1=1。4.對單位步階輸入，由(7-75)式可求得穩態誤差為(7-80)5.驗證：利用(7-79)式之閉迴路轉移函數求出單位步階響應。步階響應為(7-81)在穩態時，參考輸入為tus(t)/KH=0.5tus(t)。因此，穩態誤差為2.9。2023/12/530控制系統的時域分析

7CHAPTER7-4-2非線性系統元件所造成的穩態誤差1.控制系統中大多數穩態誤差是由非線性特性所造成的，如非線性摩擦或死區。2.放大器，其輸入-輸出特性曲線可能如圖7-8

圖7-8具有死區與飽和的放大器之典型輸入-輸出特性3.控制系統中所用的數位元件，如微處理機，其輸出訊號是間斷的或量化的位階，此性質的量化特性說明示於圖7-9。若量化器的輸入在

q/2內則輸出為零，所以系統的誤差是

q/2，這一類的誤差就是數位控制系統的量化誤差。2023/12/531控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-9量化器的典型輸入-輸出特性2023/12/532當轉子位置接近穩定平衡點時，馬達轉矩會降到TF

以下。因此，在圖7-10的斜線區域內(即

e

)任意位置，馬達都會停止動作。控制系統的時域分析

7CHAPTER4.在實際的控制系統中，摩擦現象總是無法避免。庫倫摩擦是控制系統導致穩態位置誤差的常見因素。圖7-10

為控制系統轉矩-位置曲線。圖7-10具有庫倫摩擦的馬達或閉迴路系統的轉矩-角度曲線此轉矩曲線由步進馬達、切換式磁阻馬達、或具位置編碼器的閉迴路系統所產生。0點表示轉矩曲線的穩定平衡點，而橫軸上其它類似的點所對應的曲線斜率均為負的。0點左、右邊的轉矩表示當有角位移干擾發生時，使轉子轉到平衡點的恢復力矩。如果沒有摩擦，則位置誤差為零。因為只要位置不在平衡點上，便會存在一恢復力，使其回到平衡點。若有庫倫摩擦力矩TF

存在，則馬達轉矩必須先克服這個摩擦力矩才能動作。2023/12/533控制系統的時域分析

7CHAPTER7-5一階系統的時間響應7-5-1直流馬達的速率控制1.分激式直流馬達模型：圖4-43。2.假設電樞電感與馬達摩擦均可忽略不計。因此，馬達方程式可簡化成圖4-43分激式直流馬達模型(7-86)其中e(t)為外加電壓；Ka為放大器增益；Kb

為反電動勢常數；Ki為轉矩常數；及Jm

與Ra

分別為馬達慣量與電樞電阻。2023/12/534控制系統的時域分析

7CHAPTER3.考慮

m

(t)並將之視為輸出變數。4.系統的狀態圖：圖7-11。圖7-11一階直流馬達系統速率控制的狀態圖5.閉迴路轉移函數：(7-87)其中(7-88)(7-89)6.對單位步階輸入而言，即e(t)=us(t)，且E(s)=1/s。馬達速率為(7-90)(7-91)圖7-122023/12/535控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-12一階直流馬達速率控制系統的單位步階響應7.觀察結果：1).

對任何系統參數組合，其步階響應均不具有任何的超越量。2).

圖7-13示有(7-84)式系統轉移函數在s

平面內位於s=

a的極點。由於所有馬達參數均為正值，故a

值亦總是為正值，在s=a處的極點均位s

平面左半部，故系統為穩定。3).

單位步階輸入電壓ea

的穩態速率幅度與放大器增益Ka

成正比，而與反電動勢常數Kb

成反比。4).

馬達速率在達到其穩態值過程中的變動率依(7-89)式[譯者註：原書誤植為(7-86)

式]的a值而定。當a值增加時，馬達加速愈快。這現象並不難理解，因為a

與放大器增益Ka

成正比，而與馬達電阻Ra

及慣性矩Jm

成反比。2023/12/536控制系統的時域分析

7CHAPTER7-6標準二階系統的暫態響應1.二階單位回授控制系統之方塊圖：圖7-14

。2.系統之開迴路轉移函數：圖7-14標準二階控制系統(7-92)其中，

和

為實常數。3.系統閉迴路轉移函數：(7-93)4.標準二階系統的特性方程式：(7-94)5.對單位步階輸入R(s)=1/s，系統的輸出響應：(7-95)(7-96)圖7-15以正規化時間

nt

及針對不同

值來作圖。2023/12/537控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-15標準二階系統對單位步階函數輸入的暫態響應當

減少時，響應便有較大的振盪，且超越量較大。當

1，步階響應則沒有任何振盪；亦即

y(t)在暫態時，不曾超越終值。

n

直接影響到上升時間、延遲時間，及安定時間，但不會影響超越量。2023/12/538控制系統的時域分析

7CHAPTER7-6-1阻尼比與阻尼係數1.系統參數

和

n

對標準二階系統的步階響應

y(t)之影響可由(7-94)式中特性方程式的根來研究。2.特性方程式的二個根：(7-97)其中(7-98)(7-99)3.

和

的物理意義：1)

控制了

y(t)上升或下降的速率。

又稱為阻尼係數或阻尼常數2)

的倒數

1/，與系統的時間常數成正比。

4.當特性方程式的兩根為相等實數時，我們稱此系統為臨界阻尼(criticallydamped)。(7-100)7-6-2自然無阻尼頻率1.參數

n

可定義為自然無阻尼頻率(naturalundampedfrequency)。2.

定義為條件頻率(conditionalfrequency)，或阻尼頻率(dampedfrequency)。2023/12/539控制系統的時域分析

7CHAPTER•

n

是由s

平面的原點至根的弳向距離。•阻尼因子

為根的實數部份。•條件頻率

是根的虛數部份。•阻尼比

是等於在根的弳向線和負實軸間夾角的餘弦；即

圖7-16標準二階系統特性方程式之根和

、

、

n

與

之間的關係3.圖7-16

說明了在特性方程式根的位置和

、

、

n

與

之間的關係。(7-101)4.圖7-17所示為(a)常數-

n

軌跡，

(b)

常數-

軌跡，(c)常數-

軌跡和

(d)常數-

軌跡。在

s

平面上各區域依系統阻尼畫分如下：2023/12/540控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-17(a)自然無阻尼頻率為常數時之軌跡；(b)常數阻尼比為常數時之軌跡；2023/12/541控制系統的時域分析

7CHAPTER圖7-17(c)阻尼因子為常數時之軌跡；(d)條件頻率為常數時之軌跡2023/12/542控制系統的時域分析

7CHAPTER•虛軸對應於零阻尼(

=0，