高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.5 简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）（教师版）

专题8.5简单几何体的表面积与体积（重难点题型精讲）1．多面体的侧面积、表面积和体积2．旋转体的侧面积、表面积和体积3．空间几何体表面积与体积的常见求法(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

(2)求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.4．球的截面(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.5．几何体与球的切、接问题常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：【题型1多面体的表面积与体积】【方法点拨】求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥P−ABCD的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（

）4.87A．231m3 B．179m3 C．【解题思路】设正四棱锥P−ABCD的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，易得PO⊥平面ABCD，∠CPO=45°，再根据高为4.87m求解.【解答过程】解：如图所示：设正四棱锥P−ABCD的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，由题可得∠CPO=45°，故PO=CO=22a解得a=4.87×2所以该正四棱锥的体积V=1故选：D.【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在CCA．V28 B．V21 C．3V28【解题思路】先找到三棱锥D1−ADC与三棱锥E−BCD的公共部分，设DE，D1C交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥F−CDG就是三棱锥D1−ADC与三棱锥E−BCD的公共部分．再推出点F到平面ABCD的距离是点【解答过程】如图，设DE，D1C交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥F−CDG就是三棱锥D1因为CE=3EC1，所以D1设点D1到平面ABCD距离为ℎ，则点F到平面ABCD的距离是3又S△CDG=14S四边形ABCD故选：A．【变式1-2】（2023·高一课时练习）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（

）A．30 B．15 C．10 D．60【解题思路】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半.【解答过程】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为S=10，高ℎ=PH=3，四棱柱的体积V=10×3=30，则此斜三棱柱的体积为12故选：B.【变式1-3】（2023秋·江西上饶·高二期末）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项不正确A．V=16 B．VC．V2=16【解题思路】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.【解答过程】V=4×2×2=16，A选项正确.V1V2V3故选：D.【题型2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为（

A．4π B．8π C．12π【解题思路】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π【解答过程】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π则圆锥底面圆的半径为r=4π2圆锥的表面积为12故选：C.【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知一个圆柱体积为π，底面半径为3，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（

）A．3π B．23π C．3【解题思路】根据圆柱圆锥体积公式求出圆锥的高，进而求圆锥的母线长，即可求侧面积.【解答过程】设圆锥的高为ℎ1所以圆锥的体积为13πr所以圆锥的母线l=ℎ得圆锥的侧面积为S=πrl=23故选：B.【变式2-2】（2022春·河南·高一期中）圆台上､下底面半径分别是1､2，高为3，这个圆台的体积是（A．733π B．23π 【解题思路】运用圆台体积公式直接计算.【解答过程】由圆台体积公式知：V=1故选：A.【变式2-3】（2023春·河南·高三开学考试）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB=9cm,CD=3cmA．363+81πC．243+81π【解题思路】根据圆柱和圆台的侧面积公式分别求解侧面积，再加上底面积，即可得该青铜器的表面积【解答过程】解：因为S圆柱侧=2π×32×2所以该青铜器的表面积S=π3故选：A.【题型3球的表面积与体积】【方法点拨】计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握球的表面积公式和体积公式中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.【例3】（2023·高一课时练习）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（

）A．n−1 B．n+1 C．n+2【解题思路】根据球的表面积公式计算即可直接求解.【解答过程】设原球的半径为r，扩大后为R，则原表面积为4πr2，扩大n倍后变为所以R=4nπr2即半径扩大到原来的n倍，比原来增加了(n故选：A.【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高二期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9【解题思路】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算.【解答过程】设两球的半径分别为r1,r2，则4π所以两球的体积比为V1故选：A.【变式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球O的表面积为12π，则它的体积为（

）A．43π B．43 C．8【解题思路】根据给定条件，求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【解答过程】球O的表面积为12π，设球O的半径为R，则有4πR2=12π所以球O的体积为V=4π故选：A.【变式3-3】（2023秋·河南安阳·高三期末）圆锥的母线长为2，侧面积为2π，若球O的表面积与该圆锥的表面积相等，则球O的体积为（

A．2π3 B．2π3 C．【解题思路】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于R的方程，解之即可求得球的体积.【解答过程】依题意，设圆锥的底面半径为r，母线l=2，则圆锥的侧面积为πrl=2π，故所以圆锥的底面积为πr2=设球的半径为R，则4πR2所以球的体积V=4故选：C.【题型4球的截面问题】【方法点拨】利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A．8π3 B．C．8π D．8【解题思路】求出截面圆的半径为R2−l，利用截面圆的面积为π，可得R【解答过程】设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选C.【变式4-1】（2022秋·福建泉州·高二开学考试）已知AB为球O的一条直径，过OB的中点M作垂直于AB的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（）A．316 B．916 C．38【解题思路】设球的半径为R，截面圆M的半径r，由球截面性质求得34【解答过程】设球的半径为R，截面圆M的半径r，则R2∴34R2=r2，则所得圆锥的表面积与球的表面积的比值为94故选：B.【变式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（

）A．932 B．916 C．38【解题思路】根据垂径定理可得所得截面的半径，进而根据圆面积与球体积公式求得比值即可.【解答过程】球的半径R=2，设截面圆半径为r，则R2=所得截面的面积与球的体积的比为πr2故选：A.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）体积为183的正三棱锥A−BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R:BC=2:3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（

A．[4π,12π] B．[8π,16π] C．[8π,12π] D．[12π,16π]【解题思路】设BC=3a，则R=2a，设正三棱锥A−BCD的高为ℎ,由题意求出先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围.【解答过程】设BC=3a，则R=2a，设正三棱锥A−BCD的高为ℎ,因为体积为183的正三棱锥A−BCD的每个顶点都在半径为R的球O所以13×3因为R2=ℎ−R所以a=2，所以BC=6,R=4，因为点E为线段BD上一点，且DE=2EB，所以△ODB中，OD=OB=4,DB=6，cos∠ODB=所以OE=16当OE⊥截面时，截面外接圆的半径为16−8=22，其最小面积为以OE所在的直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆的面积为S=16π.所以所得的截面圆面积的取值范围是[8π,16π].故选：B．【题型5几何体与球的切、接问题】【方法点拨】1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.【例5】（2022秋·江苏淮安·高三阶段练习）如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1A．814π,24C．24316π,24【解题思路】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.【解答过程】如下图所示：因为△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2，所以△ABC的外接球的截面圆心为AB的中点O1，且AO1=2，连接O1与A1B1的中点E，则O1E//AA1，所以O1E⊥面ABC.设球心为O所以t2=8x−14，又0≤t≤2，所以解得74≤x≤2.因为R2=2+x2，所以8116≤R2≤6，所以当故选：A.【变式5-1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且PB=22，则三棱锥P−ABCA．15π B．25π C．55【解题思路】在梯形ABCD中，利用已知条件求出三角形ADC和三角形ABC的边长，分别取AB,AC的中点O',F，连接O'F,PF,BF，可证出PF⊥面ABC，由O'P<O'A知，三棱锥P−ABC外接球的球心O在平面ABC的下方，设三棱锥P−ABC外接球的球心为O【解答过程】在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，则∠ADC=120°，AC=23，分别取AB,AC的中点O',F，连接O'F,PF,BF，∵PF=1，PB=22且BF=又PF⊥AC，AC∩BF=F，AC,BF⊂面ABC，∴PF⊥面ABC由题意可知O'为直角三角形ABC斜边的中点，因为O所以三棱锥P−ABC外接球的球心O在平面ABC的下方．设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，连接OO'，作OH⊥PF，垂足为由题中数据可得PF=1，OH=O'F=1，O设三棱锥P−ABC外接球的半径为R，则R2即R2=4+O'O故三棱锥P−ABC外接球的表面积是4π故选：D.【变式5-2】如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，A．46π B．83π C．【解题思路】先确定球心的大致位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.【解答过程】因为AC=BC=2，∠ACB=90°，所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1,且A取A1B1的中点E，连接O1E，则O设三棱锥D−ABC的外接球的球心为O，则O在O1设OO1=x，DE=t(0≤t≤因为OA=OD=R，所以2+x2=因为0≤t≤2，所以74≤x≤2，因为R即外接球半径的最大值为6，所以三棱锥D−ABC的外接球的体积的最大值为V=4故选：C.【变式5-3】（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，∠B=60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P−ACD，如图所示，当三棱锥P−ACD的表面积最大时，三棱锥P−ACD的外接球体积为（A．523π B．433π【解题思路】根据题意结合三角形面积公式分析可得当PC⊥CD时，三棱锥P−ACD的表面积取最大值，再根据直角三角形的性质分析三棱锥的外接球的球心和半径，即可得结果.【解答过程】由题意可得：△ACD,△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD,△PCD为全等的等腰三角形，则三棱锥P−ACD的表面积S=2S当且仅当sin∠PCD=1，即PC⊥CD时，三棱锥P−ACD此时△PAD,△PCD为直角三角形，PD=P取PD的中点O，连接OA,OC，由直角三角形的性质可得：OA=OC=OD=OP=2即三棱锥P−ACD的外接球的球心为O，半径为R=2，故外接球体积为V=故选：D.【题型6实际应用问题】【方法点拨】对于实际应用问题，解题的关键是正确建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正确作出截面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关健是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，利用总体积不变，正确建立等量关系，也是常用的方法.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二期末）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）【解题思路】（1）分别求出两个半球的体积V1，和圆柱体的体积V（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【解答过程】（1）该半球的直径d=6cm所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm，得半径R=3所以两个半球的体积之和为V球而V圆柱该“浮球”的体积是V=V（2）上下两个半球的表面积是S球表而“浮球”的圆柱筒侧面积为S圆柱侧所以1个“浮球”的表面积为S=36因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S=2500×48因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：100×12π【变式6-1】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；(2)若每块钢板的厚度为10mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）.【解题思路】（1）由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r1（2）设钉身的长度为x，表示出钉身的体积V.根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解即可得出答案.【解答过程】（1）解：由已知可得，铆钉为以r1由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆