2022秋北京市昌平区九年级数学上册期末试卷（及答案）

北京市昌平区九年级数学上册期末试卷

（含答案）

（时间：120分钟满分：100分）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项,

符合题意的选项只有一个.

1.如果3x=4y（yWO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.三等B.高&C.D.

y43y3443

2.在Rt/XABC中，ZC=90°,即=遂，AC=2,则tanA的值为（）

A.1B.2C.隼D.噜

3.如图，AB是。0的直径，点C、D在。。上.若NACD=25°,则N

BOD的度数为（)

A.100°B.120°C.130°D.150°

4.如图，在。。中，弦AB垂直平分半径0C.若。。的半径为4,则

弦AB的长为（）

A.273B.473C.275D.475

5.如果在二次函数的表达式y=ax?+bx+c中，a>0,b<0,c<0,那

么这个二次函数的图象可能是()

6.若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值

范围是()

A.m>lB.m<lC.m>l且mrOD.mVl且mWO

7.如图，将函数y4(x-2)2+l的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,

其中原函数图象上的两点A(1,m)、B(4,n)平移后对应新函数图

象上的点分别为点A，、B，.若阴影部分的面积为6,则新函数的表

C.y=y(x-2)2-1D.y=y(x-2)2-3

8.如图，点M为31BCD的边AB上一动点，过点M作直线1垂直于AB,

且直线1与叫BCD的另一边交于点N.当点M从A-B匀速运动时，设

点M的运动时间为t,AAMN的面积为S,能大致反映S与t函数关

系的图象是（)

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如果两个相似三角形的周长比为2：3,那么这两个相似三角形的

面积比为.

10.如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上.若NADE=NC,

AB=6,AC=4,AD=2,则EC=.

11.如图，扇形的圆心角NA0B=60°,半径为3cm.若点C、D是源的

三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2.

A

12.“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改

建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物

外观视觉效果的房屋修缮行为.如图是某小区对楼顶进行“平改坡”

改造的示意图.根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：

1.2,那么立柱AC的长为米.

13.如图，一次函数%=kx+b的图象与反比例函数丫2=也&<0）的图象

X

相交于点A和点B.当山>丫2>0时，x的取值范围是.

14.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AB=10,若以点C为圆心，CB

长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，^ABC经过若干次图形的变化

（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由AABC得到4DEF

的过程：

16.北京昌平区有一块三角形空地(如图1)准备绿化，拟从点A出

发，将AABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草.

下面是小美的设计(如图2).

作法：(1)作射线BM；

(2)在射线BM上顺次截取BB1=BIB2=B2BB；

(3)连接B3C,分别过氏、Bz作BC〃B2c2〃B3C,交BC于点C、C2；

(4)连接ACi、AC2.则SzkABcjSaACiCz二S/kAC2c.

请回答，SzkABCjS/kACiC2ns2kAC2c成立的理由是：

①；

②.

三、解答题（共68分）

17.（5分）计算：Mtan300-2cos60°+V2cos45°+兀，

18.（5分）如图，ZiABC中，ZABC=60°，AB=2,BC=3,AD±BC垂

足为D.求AC长.

19.（5分）如图，B0是AABC的角平分线，延长B0至D使得BC=CD.

(1)求证：△AOBs/\COD.

20.（5分）已知二次函数y=x?+bx+c图象上部分点的横坐标X、纵坐

（1）求二次函数的表达式.

（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0时自

变量x的取值范围.

21.（5分）如图，AB是。0的弦，。。的半径0DLAB垂足为C.若

AB=2«,CD=1,求。。的半径长.

22.(5分)点P(1,4),Q(2,m)是双曲线y=K图象上一点.

X

(1)求k值和m值.

(2)0为坐标原点.过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于

点S,交直线0Q于点T,且点S在点T的上方.结合函数图象，

直接写出R的横坐标n的取值范围.

%

5-

4-

3-

2-

1-

。45X

-5-4-3-2

-1

-2

-S

-4

-5

23.(5分)小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度.如图，学校的

国旗杆与教学楼之间的距AB=20m.小明在教学楼三层的窗口C测

得国旗杆顶点D的仰角为14°,旗杆底部B的俯角为22°.

(1)求NBCD的大小.

(2)求国旗杆BD的高度(结果精确到1m.参考数据:sin22°-0.37,

cos22°^0.93,tan22°^0.40,sinl4°^0.24,cosl4°^0.97,

tanl4°^0.25)

D

m

m

m

m

B

24.(5分)如图，AB是。0的直径，C、D是。0上两点，AC=BC.过

点B作。。的切线，连接AC并延长交于点E,连接AD并延长交于

点F.

(1)求证：AC=CE.

(2)若AE=8«,sinZBAF=4求DF长.

5

25.(5分)如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=4cm.动点D

沿着A-C-B的方向从A点运动到B点.DE1AB,垂足为E.设AE

长为xcm,BD长为ycm(当D与A重合时,y=4；当D与B重合时y=0).

小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小云的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm00.511.522.533.54

y/cm43.53.22.82.11.40.70

补全上面表格，要求结果保留一位小数.则.

(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各

对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为

cm.

iiiiitiii

26.(7分)已知抛物线：y=mx'-2mx+m+l(mr0).

(1)求抛物线的顶点坐标.

(2)若直线L经过(2,0)点且与x轴垂直，直线b经过抛物线的

顶点与坐标原点，且L与k的交点P在抛物线上.求抛物线的表

达式.

(3)已知点A(0,2),点A关于x轴的对称点为点B.抛物线与线

段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围.

冰

5-

4-

3-

2-

1-

12345%

27.(8分)如图，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是线段

AB上的一点(不与A、B重合).过点B作BEJ_CD,垂足为E.将线

段CE绕点C顺时针旋转90°,得到线段CF,连结EF.设NBCE度数

为a.

(1)①补全图形.②试用含a的代数式表示NCDA.

⑵若需警求a的大小•

(3)直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系.

28.(8分)已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下

的定义：若在图形G上存在一点Q,使得P、Q之间的距离等于1,则

称P为图形G的关联点.

(1)当。。的半径为1时，

①点P弓，0),P2(l,V3),P3(0,3)中，。。的关联点有.

②直线经过(0,1)点，且与y轴垂直，点P在直线上.若P是。0

的关联点，求点P的横坐标x的取值范围.

(2)已知正方形ABCD的边长为4,中心为原点，正方形各边都与坐

标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半

径r的取值范围.

环

5-

4-

3-

2-

1-

12345X

答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.如果3x=4y（yWO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.^4B.高1C.D.

y43y3443

【分析】根据比例的性质，可得答案.

【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不

符合题意；

B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；

C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；

D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.

2.在Rt^ABC中，ZC=90°,但联,AC=2,则tanA的值为（）

A.1B.2，•冷D.噜

【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即

可求出答案.

【解答】解：•.•/C=90°,AB=&,AC=2,

.,.BC=1,

•+_CB_1

••tanA-而一行

故选：A.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直

角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键.

3.如图，AB是。0的直径，点C、D在。0上.若NACD=25°,则N

A.100°B.120°C.130°D.150°

【分析】根据圆周角定理求出NA0D即可解决问题.

【解答】解：VZA0D=2ZACD,ZACD=25°,

.,.ZA0D=50°,

.*.ZB0D=180o-ZA0D=180°-50°=130°,

故选：C.

【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.如图，在。0中，弦AB垂直平分半径0C.若。。的半径为4,则

弦AB的长为（）

A.2MB.4A/3C.2A/5D.4A/5

【分析】连接0A,由AB垂直平分0C,求出0D的长，再利用垂径定

理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD

的长，即可确定出AB的长.

【解答】解：连接0A,由AB垂直平分0C,得到0D=*0C=2,

VOC±AB,

...D为AB的中点，

则AB=2AD=2,0人2-0[)2=24^-2V3-

【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理,根据题意作出辅助线，

构造出直角三角形是解本题的关键.

5.如果在二次函数的表达式y=ax，bx+c中，a>0,b<0,c<0,那

么这个二次函数的图象可能是（

c<0,

口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断.

【解答】解：Va>0,b<0,c<0,

•__k_>n

.••抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴,

故选：c.

【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识,

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值

范围是()

A.m>lB.m<lC.m>lJLm#OD.mVl且mWO

【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两

个不相等的实数根，且mNO,利用根的判别式可求出m的取值

范围，此题得解.

【解答】解：•.•二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，

...方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且mWO,

A=22-4m>0,

且m/O.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的

判别式找出关于m的一元一次不等式是解题的关键.

7.如图，将函数y4(x-2产+1的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,

其中原函数图象上的两点A(1,m)、B(4,n)平移后对应新函数图

象上的点分别为点A，、B，.若阴影部分的面积为6,则新函数的表

达式为()

B.y=-1-(x-2)2+3

C.y=-Y(x-2)2-lD.y=y(x-2)2-3

o

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,

再过A作AC〃x轴，交B，B的延长线于点C,则C（4,1得），AC=4

-1=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影

部分），得出AA，=2,然后根据平移规律即可求解.

【解答】解：\•函数y=£（x-2）2+1的图象过点A（1,m）,B（4,

n=1(4-2)2+1=2.

AA(1,B(4,2»

过A作AC〃x轴，交B'B的延长线于点C,则C(4,

.*.AC=4-1=3,

•••曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,

：.AC・AA'=3AA'=6,

.*.AA/=2,

即将函数y=|(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到

一条新函数的图象，

...新图象的函数表达式是y=g(x-2)2+3.

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面

积求法等知识，根据已知得出AA'是解题关键.

8.如图，点M为口ABCD的边AB上一动点，过点M作直线1垂直于AB,

且直线1与oABCD的另一边交于点N.当点M从AfB匀速运动时，设

点M的运动时间为t,ZXAMN的面积为S,能大致反映S与t函数关

系的图象是()

线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图

象为一条线段.

【解答】解：设NA=a，点M运动的速度为a,贝!!AM=at,

当点N在AD上时，MN=tanaXAM=tana«at,

止匕时S=^XatXtana・at=*tanaXa2t2,

，前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，

当点N在DC上时，MN长度不变，

此时S=yXatXMN=|aXMNXt,

...后半段函数图象为一条线段，

故选：C.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时,

要理清图象的含义即会识图.函数图象是典型的数形结合，图象应用

信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还

可以提高分析问题、解决问题的能力.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如果两个相似三角形的周长比为2：3,那么这两个相似三角形的

面积比为4：9.

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比

等于相似比的平方解答.

【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3,

所以这两个相似三角形的相似比为2：3,

所以这两个相似三角形的面积比为4：9；

故答案为：4：9.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于

相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.

10.如图，在aABC中，点D、E分别在边AB、AC±.若NADE=NC,

AB=6,AC=4,AD=2,则EC=1

【分析】只要证明△ADEs^ACB,推出笔=普，求出AE即可解决问

ACAB

题；

【解答】解；•.•NA=NA,ZADE=ZC,

...AADE^AACB,

.AD=AE

•'AC-AB?

.23

,,4--T，

，AE=3,

.*.EC=AC-AE=4-3=1,

故答案为1.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

11.如图，扇形的圆心角NA0B=60°,半径为3cm.若点C、D是源的

三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2.

—2-

【分析】由题意可知c、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部

分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形A0B的卷

先求出扇形A0B的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是

20度，半径是3的扇形的面积皆可.

【解答】解：S扇形（MB：60冗・3

=71

S阴影==S扇形"出二行XK71~n

故答案为：■冗

【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部

分集中成一个规则的图形--扇形，再求算扇形的面积即可.利用平

移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法.

12.“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改

建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物

外观视觉效果的房屋修缮行为.如图是某小区对楼顶进行“平改坡”

改造的示意图.根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：

1.2,那么立柱AC的长为2.5米.

3

【分析】由坡度的概念得出黑=内，根据AB=3可得AC的长度.

AD1.Z

【解答】解：根据题意知黑=内，

AD1.Z

VAB=3,

.AC_1

解得：AC=2.5,

故答案为：2.5.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的

关键是熟练掌握坡度的定义.

13.如图，一次函数yi=kx+b的图象与反比例函数y2=T（x<0）的图象

相交于点A和点B.当yi>y2>0时，x的取值范围是-2Vx<-

【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所

求x的范围即可.

【解答】解：根据图象得：当yi>y2>0时，x的取值范围是-2Vx

<-0.5,

故答案为：-2VxV-0.5

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形

结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键.

14.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=10,若以点C为圆心，CB

长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于5遂.

【分析】连接CD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可

得AB=2CD,求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即

可得解.

【解答】解：如图，•••NC=90°,点D为AB的中点,

.,.AB=2CD=10,

.*.CD=5,

/.BC=CD=5,

在Rt^ABC中，AC=VAB2-BC2=V102-52=5V3.

故答案为：5遂.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,

勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC经过若干次图形的变化

（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由AABC得到aDEF的

过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋

【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的

位置解答.

【解答】解：AABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C

逆时针旋转90°即可得到ADEF,

所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆

时针旋转90°.

故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针

旋转90°.

【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题

的关键.

16.北京昌平区有一块三角形空地(如图1)准备绿化，拟从点A出

发，将aABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草.

下面是小美的设计(如图2).

作法：(1)作射线BM；

(2)在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；

(3)连接B3C,分别过&、Bz作BC〃B2c2〃BSC,交BC于点G、C2；

(4)连接AG、AC2.则S2kABCi=S/kACiC2=SAAC2c.

请回答，SzkABCi=SaACiC2=SaAC2c成立的理由是：

①平行线分线段成比例定理；

②等底共高.

【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得.

【解答】解：由BBI=BB=BZB3且B£〃B2c2〃B3C,依据平行线分线段成

比例定理知BCEGEC,

SS::：S

再由△ABC,AiACC与AAC2c等底共高知AABC1-AAC1C2AAC2C,

故答案为：①平行线分线段成比例定理；

②等底共高.

【点评】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平

行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系.

三、解答题（共68分）

17.（5分）计算：Mtan300-2cos60°+V2cos45°+n°.

【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法

则进行计算即可得出结果.

【解答】解：V3tan300-2cos60°+bcos450+一

二«X卓-2义#gx恪+1

=1-1+1+1

=2.

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值

应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点,

在解直角三角形中应用较多.

18.（5分）如图，ZiABC中，ZABC=60°，AB=2,BC=3,AD±BC垂

足为D.求AC长.

BD

【分析】先在Rt/XABD中利用三角函数定义求出AD=«,BD=1.再得

到CD=2.然后在RtAADC中根据勾股定理求出AC即可.

【解答】解：•••AD_LBC,垂足为D,

AZADB=ZADC=90°.

在Rt^ABD中，ZADB=90°,ZABC=60°,AB=2,

sinB=粤，cosB=整，

ABAB

即坦=通，＞=1,

12222

解得：AD=«,BD=1.

VBC=3,.\CD=2.

在RtAADC中，AC=7AD2+CD2=V7.

【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在直角

三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

19.(5分)如图，B0是AABC的角平分线，延长B0至D使得BC=CD.

(1)求证：AAOB^ACOD.

(2)若AB=2,BC=4,OA=1,求0C长.

【分析】(1)由B0是AABC的角平分线、BC=CD知NABO=NCBO=ND,

根据NAOB=NCOD即可得证；

(2)由△AOBsacOD知甯=用，据此即可得出答案.

【解答】解：(1)..招。是AABC的角平分线，

，ZABO=ZCBO,

VBC=CD,

，ZCBO=ZD,

，ZABO=ZD,

又•.•NAOB=NCOD,

...AAOB^ACOD；

(2)VBC=4,

.\BC=CD=4,

AAOB^ACOD,

•AB_AOnn2_1

**CD-CO?即W一诟，

解得：0C=2.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练

掌握相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识

点.

20.(5分)已知二次函数y=x?+bx+c图象上部分点的横坐标X、纵坐

(1)求二次函数的表达式.

(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0时自

变量x的取值范围.

【分析】(1)根据表格数据，利用待定系数法即可求出二次函数表达

式；

(2)画出二次函数的示意图，找出函数图象在x轴下方的部分，此

题得解.

【解答】解：

(1)由已知可知，二次函数经过(0,3),(1,0)则有

(3=c

ll+b+c=0，

解得：I：'

lb=-4

所以二次函数的表达式为y=x2-4x+3；

(2)函数图象如图所示：

由函数图象可知当l〈xV3时，y<0.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定

系数法求二次函数解析式，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出

函数解析式；(2)根据给定点的坐标画出函数图象.

21.(5分)如图，AB是。0的弦，。。的半径0DLAB垂足为C.若

AB=2«,CD=1,求。0的半径长.

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设。0的半径为r,再连接

0A,在RtAOAC中利用勾股定理求出r的值即可.

【解答】解：;。。的弦AB=8,半径OD_LAB,

D

设GO的半径为r,则OC=r-CD=r-1,连接0A,

RtAOAC中，

OA2=OC2+AC2,即(r-1)2+(V3)2,解得r=2.

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线,

构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

22.(5分)点P(1,4),Q(2,m)是双曲线y=5图象上一点.

(1)求k值和m值.

(2)0为坐标原点.过x轴上的动点R作x轴的垂线，交双曲线于

点S,交直线0Q于点T,且点S在点T的上方.结合函数图象，直接

写出R的横坐标n的取值范围.

J'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-10'23454

-1-

-2-

-3-

-4-

-5L

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;

(2)利用图象法即可解决问题;

【解答】(1)解：\•点P(1,4),Q(2,m)是双曲线y=K图象上

X

一点.

.，.4=/，m=^->

k=4,m=2•

(2)

观察函数图象可知，R的横坐标n的取值范围：0<11<2或11<-2.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、待定系数法等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.(5分)小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度.如图，学校的

国旗杆与教学楼之间的距AB=20m.小明在教学楼三层的窗口C测得

国旗杆顶点D的仰角为14°,旗杆底部B的俯角为22°.

(1)求NBCD的大小.

(2)求国旗杆BD的高度(结果精确到1m.参考数据：sin22°^0.37,

cos22°-0.93,tan22°^0.40,sinl4°^0.24,cosl4°-0.97,

tanl4°心0.25)

国一―if

m'、、、、、

m__________、、、、

AB

【分析】(1)过C作CE〃AB交BD于E.根据题意可得答案；

(2)在RtZiCEB中，利用三角函数可得tanNECB=^，代入数据可

得BE的长，然后在Rt^CED中可得tanNDCE=^=嗡心0.25,进而

可得ED长，再求和即可.

【解答】解：(1)过C作CE〃AB交BD于E.

由已知，ZDCE=14°，ZECB=22°，

...NDCB=36°；

(2)在RtZ\CEB中，ZCEB=90°,AB=20,ZECB=22°,

，tanNECB=*黑心0.4,

ZU

在Rt^CED中，ZCED=90°,CE=AB=20,ZDCE=14°,

tanZDCE=^=^^0.25,

.\DE^5,

.\BD^13,

国旗杆BD的高度约为13米.

D

可c一―一、

匚口g..............E

m、\'、、、、

m__________'、、、、、、I

AB

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

24.（5分）如图，AB是。0的直径，C、D是。0上两点，菽=前过

点B作。。的切线，连接AC并延长交于点E,连接AD并延长交于点

F.

(1)求证：AC=CE.

(2)若AE=8®sinZBAF=f求DF长.

【分析】（1）连接BC,想办法证明AC=BC,EC=BC即可解决问题；

（2）首先证明NDBF=NBAF,可得sin/BAF=sinNDBF='M，由此

bDr

即可解决问题；

【解答】（1）证明：连结BC.

•「AB是的直径，C在。0上

ZACB=90°，

••■—''

•AC=BC，

.*.AC=BC

ZCAB=45°.

〈AB是。。的直径，EF切。0于点B,

AZABE=90°,

：.ZAEB=45°,

.*.AB=BE,

，AC=CE.

(2)在RSABE中，ZABE=90°,AE=8®AE=BE

，AB=8,

在RtZXABF中，AB=8,sinZBAF=|,

解得：BF=6,

连结BD,则NADB=NFDB=90°,

VZBAF+ZABD=90°,ZABD+ZDBF=90°,

.\ZDBF=ZBAF,

VsinZBAF-4，

5

.•.sinZDBF=4，

5

.DF_3

.,.DF4.

5

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三

角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

25.(5分)如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=4cm.动点D

沿着A-C-B的方向从A点运动到B点.DE±AB,垂足为E.设AE

长为xcm,BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0).

小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小云的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm00.511.522.533.54

y/cm43.53.22.82.11.40.70

补全上面表格，要求结果保留一位小数.则住2.9.

(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各

对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为

2.3cm.

iiiiitiii

【分析】(1)按题意，认真测量即可；

(2)利用数据描点、连线；

(3)当DB=AE时，y=x,画图形测量交点横坐标即可.

【解答】解：(1)根据题意量取数据为2.9

故答案为：2.9

(2)根据已知数据描点连线得：

(3)当DB=AE时y与x满足y=x,在(2)图中，画y=x图象，测

量交点横坐标为2.3.

故答案为：2.3

【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化

的数学思想.

26.(7分)已知抛物线：y=mx2-2mx+m+l(mr0).

(1)求抛物线的顶点坐标.

(2)若直线L经过(2,0)点且与x轴垂直，直线12经过抛物线的

顶点与坐标原点，且L与卜的交点P在抛物线上.求抛物线的表

达式.

(3)已知点A(0,2),点A关于x轴的对称点为点B.抛物线与线

段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围.

为

5-

4-

3-

2-

1-

12345X

【分析】(1)利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点

坐标；

(2)先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx~-2mx+m+l求出m

即可；

(3)分别把A、B点的坐标代入y=mx2-2mx+m+l求出对应的m的值，

然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围.

【解答】(1)解:Vy=mx2-2mx+m+l=m(x-1)2+1,

.♦•抛物线的顶点坐标为(1,1);

(2)易得直线12的表达式为y=x,

当x=2时，y=x=2,则P(2,2),

把P(2,2)代入y=mx2-2mx+m+l得4m-4m+m+l=2,解得m=l,

2

.••抛物线解析式为y=x-2x+2;

(3)点A(0,2)关于x轴的对称点B的坐标为(0,-2),

当抛物线过A(0,2)时，

把A(0,2)代入y=mx2-2mx+m+l得m+l=2,解得m=l,

结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0

VmW1；

当抛物线过B(0,-2)时，

把B(0,-2)代入y=mx'-2mx+m+l得m+l=-2,解得m=-3,

结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时一,

-3WmV0；

综上所述，m的取值范围是OVmWl或-3WmV0.

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定

系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方

法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

27.(8分)如图，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是