2023届河南省名校联盟高三大联考（2月）数学（文）试题（解析版）

2023届河南省名校联盟高三大联考(2月)数学(文)试题

一、单选题

I.已知集合4=[€训#3},B={x|-2<x<l},则"8=()

A.[0,2]B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】D

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为集合4=卜6网国<3},B={x|-2<x<l},

所以A8={0,1},

故选：D

2.已知复数z=(l—2D(l+〃)，若z的共轨复数5=7-i,则实数6=()

A.1B.2C.3D.-I

【答案】C

【分析】根据复数乘法求出z和；，与已知；对比即可求出6的值.

【详解】z=(l-2i)(l+M)=l+Z7i-2i+2Z>=l+2Z?+(&-2)i,

；=l+26+(2-b)i，

z=7-i'

1+26=7

=b=3

2-h=-\

故选：C.

3.已知三角形数表:

1

12

124

1248

1248

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{q},则.=（）

A.16B.32C.64D.512

【答案】A

【分析】先确定，在数表中的位置，再根据等比数列通项公式即可求解.

【详解】在数表中，第附行有"个数，贝I前9行共有1+2+3++9=0+9*9=45个数,

2

则，是数表第10行从左到右的第5个数，=16.

故选：A

4.一组互不相等的样本数据：%,%....x.，〃23,其平均数为元，方差为J，极差为，小中位

数为f,去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为三，方差为s'"极差为机’，中位数为

t,,则下列结论不一定正确的是（）

A.xB.s2>s'2C.m>m'D.t=f

【答案】A

【分析】根据平均数、方差、极差、中位数的定义即可逐项分析判断.

【详解】对A,平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最大值和最小值后，余下数据的平均数可

能会改变，故A不一定正确；

对B,方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方

差减小，故B正确；

对C,极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数之间差值的最大值，故去掉最大值

和最小值后，

新数据的极差必然小于原数据的极差，故C正确；

对D,中位数是把数据从小到大依次排列后排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，

因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据中位数保持

不变，故D正确.

故选：A.

5.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABC。-AB'C'D是一个侧棱相

等、高为1的“刍童”，其中钻=2A'B'=2,BC=2BC=26，则该“刍童”外接球的体积为（）

A.207tB.C.与叵兀D.56r

【答案】C

【分析】易知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为0,根据几何关系求出外接球

半径即可求其体积.

A'CClB'ly=N,连接MN.

•.•棱台ABCD-AbC'ZX侧棱相等，.•.易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为。,

如图:

易得AC=4,MC=2,A'C'=2,NC'=\,MN=l,

由OC=OC'得，NC'2+ON2=OM2+MC2,解得OM=1,故OC=6,

外接球体积为g兀•（6J'=今叵兀.

故选：C.

6.已知抛物线C:W=2y的焦点为F,过F作倾斜角为120。的直线/,与抛物线C交于"，N两点,

则|MN|=()

A.4B.4GC.8D.16

【答案】C

【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而由已知可得直线/的方程，再将直线方程与抛物线方程

联立即可得交点坐标关系，利用相交弦长公式求解|MV|即可.

【详解】抛物线C：/=2y的焦点为尸（0,；）又直线/的斜率4=tan120。=-6，

所以直线/的方程为：y=-x/3x+l,设M（不/）1（土,方）,

贝小）'2,则犬+2j5x-l=0,所以玉+々=一26,%・毛=一1

/2=2y

2

贝!l|MN|=Jl+疔|x,-x2|=2^(-2x/3)-4x(-1)=8.

故选：C.

7.已知定义在(y,O)U(O,E)上的函数满足V”，be(F,0)50,y),/(胃=，(。)-/伍),

且当x«O,l)时，/(x)>0,则下列说法正确的是()

A.f(x)是奇函数但不是偶函数B.7(x)是偶函数但不是奇函数

C.f(x)既是奇函数又是偶函数D.7(x)既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【分析】对〃、人进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.

(详解],f(x)的定义域(f,。)U(0,M)关于原点对称，

因为V”，Z?e(-<»,0)o((),+<»),/[)=/(.)-/(/>),

故令b=—a时，=

令a=b=l时，/(1)=/(1)_/(1)=0,

令。=1,6=-1时，/(-1)=/(1)-/(-1)^/(-1)=0,

=BP/(«)=/(-«),

•••/(X)是偶函数，

又当xe(O,l)时，/(x)>0,即〃x)不恒为零，故"X)只能为偶函数，不能为奇函数.

故选：B.

001

8.已知a=lg8,b=log,2,c=logl210,d=3,则()

A.c<b<a<dB.d<a<c<hC.a<b<c<dD.b<a<c<d

【答案】D

【分析】首先判断“、氏C,范围均为(0,1),d>\,则"最大；用作商法可判断4、6大小；用作商法

并结合基本不等式可判断〃、C大小；从而可得四个数的大小关系.

00l

【详解】a=lg8e(0,l),/2=log32e(0,l)(c=log1210e(0,l),6/=3>l,

—=31g3=lg27a>b,

:.b<a<c<d.

故选：D.

22

9.已知过点P（l,2）可作出双曲线4=1（a>0,b>0）的两条切线，若两切点都在双曲线

ab~

C的某一支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.（1,V3）B.（百收）C.（1,V5）D.（底时

【答案】D

【分析】如图所示，点p必须在渐近线x轴和双曲线围成的区域，且不能在渐近线、x轴

a

和双曲线上.再解不等式242得到离心率的范围，

a

【详解】要满足题意，如图所示，点P必须在渐近线y=2x、）轴和双曲线围成的区域，且不能在

a

渐近线、x轴和双曲线上.

所以必须满足2W2,得从>4a2,/.c2-a2>4a2,/.c2>5a2,/.e2>5,:.045

a

A.12B.25/3C.673D.8

【答案】A

【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.

【详解】由拳H--,a+2h=l,ciyb>0,

ban

所以网+_L=四+（“+2域

babbab

+',+4"+而

ah

+色+4+竺

b

4b八八144a44h4c.ic

+—+4>2J-----+4=8+4=12,

aba

当且仅当4〃:=4丝b=4=人=।；时，取等号,

ba3

叱…3。1g日一七生c

所以丁^—的取小值为：12,

bab

故选：A.

T®>o）在区间［0,2可上存在零点，且函数/（x）在区间［0,2K］上的

11.已知函数/(x)=2sincox-

值域为“U［-夜,2］,则。的取值范围是（）

J_31i

A.12B.C.D.

4$2854853

【答案】B

【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.

【详解】当xw［0,2可时，,

因为函数八月=2而（5-：［（0>0）在区间［0,2可上存在零点，

JT1

根据正弦函数图象可知，2^-->0,解得

48

又函数f（X）在区间［0,2可上的值域为Mc［-V2,2］,

根据正弦函数图象可知，解得。<3，

444

所以。的取值范围是上，］］,故A,C,D错误.

_84_

故选：B.

12.已知函数〃x）=aln（x+l）+l（awR）的图象恒过定点A,圆。:炉+产=4上的两点P（3,yJ,

Q（W，必）满足R4=X4Q（/leR）,则|2%+乂+7|+|2々+丫2+7|的最小值为（）

A.2遥B.7+75

C.15-A/5D.30-2百

【答案】C

【分析】设直线/为2x+y+7=0.取圆。的弦PQ的中点为E,求出其轨迹方程，求出E到直线/距

离的最小值.过P、E、。分别作直线/的垂线，垂足分别为M、R、N,将|2玉+乂+7|+|2々+必+7|转

化为2石|ER|,即可求其最小值.

【详解】由题可知A为(0,1),且尸、A、。三点共线，

设弦P。的中点为E(x,y),连接。E,则。ELPQ,g|JOELAE,

•••O4AE=0，由此可得E的轨迹方程为=；,

即E的轨迹是以(0，£|为圆心，3为半径的圆，

设直线/为2x+y+7=0,

1+7

则E到/的最小距离为2二__1=旦_』.

V522x/52

过P、E、Q分别作直线/的垂线，垂足分别为M、R、N,

则四边形MNQP是直角梯形，且R是〃N的中点，则ER是直角梯形的中位线,

：.\MP\+\NQ\=2\ER\,

即|2再装+71+〔2々蔡+7|=2归国,

即|2改+X+7|+|2&+%+7|=26|ER|Z2石•(号-；)=15-6.

【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出P。的中点的轨迹，将要求最

小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.

二、填空题

rr

13.已知向量&=(1,2),2=(2,1),且仅+可初)，则实数2=

【答案】1

【分析】求出a+b和q-助的坐标，根据两向量垂直的坐标表示即可求出4的值.

【详解】••"=(1,2),6=(2,1),

."+6=(3,3),a-Ab=(1-22,2-2),

(a+6)JL(a-Ab),

(a-劝)=0,

.,.3(l-22)+3(2-A)=0,

/I=1.

故答案为：1.

14.已知aw(0,%)，cosa=,则cos4a=.

7

【答案】~

【分析】利用同角三角函数的平方关系求出sina,利用二倍角公式展开cos4a,带值计算即可.

【详解】因为a«0㈤，cosa邛，

所以sina=A/1-COS2a=~~~，

cos4a=cos22a-sin22a=(cos2a-sin2a)一(2sinacosa)2

/1_4丫/21Y9_16__7

15(石石J252525

7

故答案为：-三

15.在底面边长为2,侧棱长为3的正三棱柱A3C・中，E,尸分别为棱8C,A8的中点，点

。在棱CG上，且8=2,若平面ABC与平面AEQ的交线为/,则/与直线C/所成角的余弦值为

【答案】噂

【分析】根据题意，先找到平面ABG与平面AED的交线，然后建立空间直角坐标系结合空间向量

的坐标运算，即可得到结果.

B

由题意，延长用8,。£相交于点G,则直线AG为平面ABG与平面AEO的交线，

取中点为。，分别以0A，0G，0F所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则G（0,8,0）,尸（0,0,3）,A（l,0,3）,3（T,0,3）,C（0,63）,q（）,"l）,

故猾洌，

、(2n、

^GD=ADE=A2,则G—,yfi------X,2/1+1.

/12-)

设6（；=98=《-1,-石,2）

—t=----

2

所以,6一底故/i=-lj=一；,

2f=22+1

故所以CJ〜二仅,一AG=——4

\7

设/与直线G尸所成角为。，

33

C尸AG二万11阚

则cos0=|cosvG尸,AG＞卜

(7司“一2Gx4-92

故答案为：生画

92

16.设函数/(X)的定义域为。，若使得/(5)=%,则称%是函数/(X)的不动点.若函

数〃x)=ln(e2，+ae、+2)在区间［0,1］上存在不动点，则实数”的取值范围是.

【答案】及］

【分析】采用换元法令e&=f,将问题转化为关于/的方程/+(。-1"+2=0在［l,e］上有解，再分离

参数即可求出。的范围.

【详解】设为且0』，由题可知/&)=%有解，

即ln(e2，il+ize'"+2)=%有解，

即e?"+ae*+2=e*有解，

即(e'"丫+(a-l)e*+2=0有解，

令e*=f«l,e］,则“+(a—1»+2=0有解，

即l-4=r+：在fe［l,e］时有解.

易知g(r)=r+T在［1，四］时单调递减，在［也,e］时单调递增，

且g(e)=e+：>g⑴=3，g(&)=2&,

故g(f)=l-ae2>^,e+—］,则ae1—e—,1-2-72^.

故答案为：l-e-|,l-2亚］

【点睛】关键点睛：本题关键是将对数方程化为指数方程，并采用换元法将问题转化为关于r的二

次方程在特定区间上有解的问题.

三、解答题

17.自限性疾病是指在发展到一定阶段后会自行恢复的疾病.已知某种自限性疾病在不用药物的情

况下一般10天后就可康复.现在只有A药物是针对该自限性疾病的药物，为了解A药物对该自限性

疾病的作用，研究者在患过该自限性疾病且康复的群体中随机选取了110人作为样本进行调查，并

统计相关数据后得到如下的2x2列联表.已知在选取的110人中随机抽取1人，此人为小于10天康

复者的概率为此人为未用药物者的概率为2.

康复情况小于10天康复10天后康复合计

用药情况

患病期用4药物30

患病期未用药物

合计110

（1）请完成上面的列联表；

（2）依据2x2列联表中的数据，判断能否有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关.

【答案】（1）详见解析；

⑵有.

【分析】（I）根据小于10天康复者的概率为分得到小于10天康复者和10天后康复者人数，

由未用药物者的概率为（■，得到未用药物者和用药物者的人数，完成2x2列联表；

（2）由（1）求得K,的值，再与临界值表对照下结论.

【详解】（1）解：因为在选取的110人中随机抽取1人，此人为小于10天康复者的概率为《，所

以小于10天康复者为《xll0=50人，则10天后康复者为60人；

又此人为未用药物者的概率为所以未用药物者为gxll0=60人，则用药物者为50人，

则2x2列联表如下表：

康复情况

小于10天康复10天后康复合计

用药情况

患病期用4药物302050

患病期未用药物204060

合计5060110

⑵由⑴知：KJ小空竺二丝町7.82>6.635,

50x60x50x60

所以有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关.

18.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,且生+%=6,S3=7.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记bn=S：,求数列也｝的前〃项和，的值.

【答案】⑴％=2~；

?2n+2o

【分析】(1)结合。2+〃3=6,§3=7求出q,再求出公比夕即可；

(2)求出"，根据等比数列求和公式，利用分组求和的方法即可求出北.

【详解】(1)4+%=6,S=7,

.♦4=S3—(d^2+^3)=1,

22

=6=a｝q+a｝q=6=>^4-^-6=0=>^=2oJc^=—3,

%>0,”>0,”=2,

.・q=2〃T.

1一2八

（2）由（1）知5=«!_^=2"—1,

"1-2

故b„=s；=（2"-1）2=4"-2,,+|+1,

3一心+“=安_2“入川

“1-41-233

19.在四棱锥P—ABC。中，PA=PD=AB=BC=CD=DA=2,ND4B=60。.

p

(1)若PC=5/记，证明：平面R4£)_L平面ABC。；

⑵若直线与平面ABCZ)所成的角为30。，求四棱锥P-A8C。的体积.

【答案】(1)证明见解析；

⑵6

【分析】(1)取AD中点为。，连接P。，OC,证明。尸，AO及。PLOC得。尸，平面ABCD即可；

(2)取AO中点为O,连接OP,OB,BD,证明A£>_L平面尸OB,得到/PBO为尸8与平面A8CD的

夹角，解△PBO,求出。8边上高，从而得到P到平面ABC。的距离，从而可求四棱锥的体积.

"：PA=PD,J.OPLAD,

:四边形AB8是菱形，ZZMB=60°,

/.ZODC=120°,

在AOOC中，根据余弦定理得，

(9C2=OD2+CD2-2O£>C£>cos^O£>C=l+4-2xlx2x^-1j=7,

又OP=B：.OP2+OC2=10=PC2,AOPIOC,

又Aonoc=。，AD,OCU平面ABC。，

，OP_L平面ABC。，

又：OPu平面PAD,

，平面以。_L平面ABCD；

p

取AC中点为O,连接OP,OB,BD,

'：PA=PD,：.OPLAD,

"：AB=AD,ZBAD=6Q°,

...△AB。是等边三角形，则OBLAD,

又；0的0尸=0,OB,OPu平面POB,

AO_L平面POB,则/BOP为二面角尸-AO-B的平面角，则NP8O为PB和平面ABCD的夹角,

故NP8O=30。，且△PBO的。8边上的高/i即为尸到平面ABCD的距离.

又0P=0B=6，则在APBO中，PB=2.OBCOSNPBO=2X&B=3,

2

〃=PBsin/P8O=3xl=q,又5Azic。=2x百=2百，

•e,^P-ABCD=X2百X1=6,

20.已知椭圆c：W+£=l(〃”>0)的左、右顶点分别为A(-2,。)，A(2,0),过点。(1,0)的直线

a~b

/与椭圆C交于异于A，A2的M,N两点，当/与x轴垂直时，=

(1)求椭圆的标准方程；

⑵若直线AM与直线AN交于点P,证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程.

22

【答案】(1)工+匕=1

42

⑵证明见解析，定直线为：x=4

【分析】(1)由题知。=2,再利用已知条件求出b的值即可；

(2)由题知直线4"与直线&N的斜率存在，分别联立直线4M、直线4N与椭圆方程解出〃,N

的坐标，根据M,"N共线，找出直线AM与直线A?N的斜率的关系，再联立直线AM与直线&N,

得出尸点坐标，化简即可.

【详解】(1)由题知椭圆焦点在*轴上，左、右顶点分别为A(-2,0),4(2,0),

所以。=2,

又过点。(1,0)的直线/与椭圆C交于异于A，&的M,N两点,

当/与x轴垂直时，眼川=灰，

所以将x=l代入C中，求得：

y=±半，所以\MN\=6b=遍nb=6,

所以椭圆的标准方程为：—+^-=1.

42

(2)如图所示:

由题知直线与直线A2N的斜率存在,

设。：了=匕(％+2),小：丁=质(尸2),

y=kl(x+2)

由f2,消去y整理得：

—+—=1

42

(1+2%：卜2+8攵"84一4=0,

2.4〃2

解得：x,=-2,x=--L,

2I+2<

又M,N是异于A，4的两点,

'2-4Z：俏、

所以有M、1+2片：+2好『

'4^-2-4：、

同理可得：N

J+2抬’1+2"),

又0(1,0),且M,DN共线,

~4&

1+2后

所以=4M-2一

-TTT^F-1

化简得：(3匕一七)(1+28心)=0,

由题知人,右同号，

所以3kl=k2,

y=A"x+2)

联立:

y=k2(x-2),

所以哈詈

将36=%2代入尸点的横坐标,

2kl+2k?8匕.

则辱二石=］=需=4,

所以点尸在定直线x=4上.

21.已知函数/(x)=or+6,g(x)=e'T,a,beR.

⑴当a=l,b=0时，求函数Rx)=〃x).g(x)的极值;

(2)若g(x)N〃x)恒成立，求a-匕的最小值.

【答案】⑴当户一1时，尸(x)取极小值b(-l)=-eq

(2)-e-2.

【分析】(1)当a=l,8=0时，F(x)=xex-',后利用导数可求出极值；

(2)由题可得［g(x)-/(x)］用>0,令G(x)=g(x)-/(x)=-以-6,利用导数研究

其在a=0,a<0,a>0三种情况下的最小值即可.

【详解】(1)当a=l,b=0时，f(x)=x,则尸(x)=mi.

F(x)=(x+l)er-',令F(x)>0=x>—1,则尸(x)在(一1,y)上单调递增；令

尸'(X)<0nx<T,则F(x)在(际,一1)上单调递减；

则当户-1时，/(x)取极小值--l)=-e-2,无极大值：

(2)因g(x)”(x)恒成立，则g(x)-“尤)20恒成立，即［g(x)—〃x)L>0.

设G(x)=g(x)-/(x)=ex~'-ax-b,则G'(x)=ex-1-a.

当a=0,要使G(x)=e，T一bNO恒成立，则640,此时a-此0；

当a<0,若力21,则G(0)^e'-b<0,此时不合题意；

当”<0,若匕<1,则<0,G=e"-1<0,此时不合题意；

aya)

当a>0,令G'(x)>()=>X>Ina+1,则G(x)在(lna+l,+w)上单调递增：

令G’(x)<0=>x<Ina+1,则G(x)在(―,lna+l)上单调递减.故

G(x)=G(ina+1)=a-tz(ina+l^-b>0=>a-b>a(ina+1),

令〃(a)=a(ina+1),ae(0,+co),则h'(a)=Ina+2.

令〃(a)>0na>,则/z(a)在卜乜,+8)上单调递增；

令〃'(a)<0na<e<,则〃(a)在(0,e<)上单调递减.

故a—6>a(ina+1)>/z(e7)=-e-2.

综上所述，a-b的最小值为-e-2.

【点睛】关键点点睛：本题涉及函数极值与恒成立问题，难度较大.

本题(1)问较为基础，(2)为恒成立问题，常转化为最值相关问题，又因本题涉及两个变量a,b,

故关键在于找到两变量间关系.

x=2+五t

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为广。为参数)，曲线G的参数方程为

y=2+>J2t

x=2+及cosa,

厂(。为参数)，以O为极点，尤轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标

y=(2sina

方程为Osin。，=4cos夕.

(1)求曲线C1的极坐标方程；

⑵直线/与曲线G，C?分别交于不同于原点的A,B两点，求|AB|的值.

【答案】(1)"—4pcos，+2=0；

(2)36

\X=OCOS0

【分析】(1)先将C1的参数方程消去参数a化为直角坐标方程，再结合〈>.〃即可化为极坐标方

[y=psin”

程;

⑵将。2的极坐标方程化为直角坐标方程，分别将直线/的参数方程代入G，的直角坐标方程，求

出对应的1的值，从而求得A、8的直角坐标，根据两点间距离公式即可求|A3|.

X=2+5/2COS6Z(x-2)2=2cos2a

【详解】(1)(x-2)24-y2=2,

y=Vasinay2=2sin2a

x=pcos^°。0

又