高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.14 数列 全章综合测试卷（基础篇）（教师版）

第四章数列全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习）数列12,−1A．−1n⋅12n B．−1n⋅【解题思路】将每项的绝对值写成以12【解答过程】解：因为12=(12)1，所以此数列的一个通项公式可以是an故选：D.2．（5分）（2022·陕西·高二阶段练习（文））在等差数列an中，若a3=5，a13=10A．12 B．1 C．32【解题思路】根据等差数列的知识求得正确答案.【解答过程】由等差数列的通项公式知d=a故选：A.3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，SnA．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解题思路】利用an与Sn的关系和累乘法求出【解答过程】因为a1=1，所以当n≥2时，an=S从而ann=an−1所以an故a2020故选：C.4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+1A．1项 B．k项 C．2k−1项 D．2【解题思路】分别分析当n=k与n=k+1时等号左边的项，再分析增加项即可【解答过程】由题意知当n=k时，左边为1+12+13+⋯+12k故选：D.5．（5分）（2022·江苏·高一期末）已知等差数列an的公差d不为0，若a1，a3，a7成等比数列，则A．±2 B．2 C．±4 D．4【解题思路】根据等比数列的性质可知，a1【解答过程】因为{an}是公差不为零的等差数列，且a1，a3即a1(a1+6d)=(a故选：B．6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知公差为1的等差数列{an}中，a1，a2，a4成等比数列，则{A．55 B．50 C．45 D．10【解题思路】由a1，a2，【解答过程】∵a1，a2，∴a22=a1∴(解得：a1则{an}的前10项和S故选：A．7．（5分）（2022·河北·高二期中）设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A．d>0 B．S6和S7是C．S9>S【解题思路】对A，由前n项和定义可得a7=0、a对BD，由前n项和定义，a7对C，S9【解答过程】an对A，由S6=S7>S8对BD，由a7=0,  d<0得S6和S对C，S9故选：B.8．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8:7.若设明间的宽度为a，则该大殿9间的总宽度为（

）A．784aC．14a1−78【解题思路】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前n项和公式计算即可.【解答过程】由题意,设明间的宽度a为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列,公比为78同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为78则由Sn=所以总宽度为2故选:D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（

）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立【解题思路】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【解答过程】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选：AD.10．（5分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列−2021，0，B．数列{an}C．在数列1,2,D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为a【解题思路】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,使n(n+1)=110,即可得出项数,判断选项B的正误,根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.【解答过程】对于选项A,数列−2021，0，不是同一个数列,所以选项A不正确;对于选项B,令an解得n=10或n=−11（舍去）,所以选项B正确;对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,第8个数为8,即22所以选项C正确;对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为an=所以选项D正确.故选:BCD.11．（5分）（2022·福建三明·高二阶段练习）在各项均为正数的等比数列an中，a62A．a6+a8=5 B．a6a8=5【解题思路】利用等比数列的性质可得：a5a9【解答过程】∵等比数列an的各项都为正数，由等比数列的性质可得：a∴a∴a∴a1a∴a1a故选：AD.12．（5分）（2022·福建·高三阶段练习）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且a5A．a11=11 B．an是递减数列 C．Sn取得最小值时，n=5【解题思路】根据等差数列基本量法求出数列首项和公差，代入选项判断即可.【解答过程】不妨设aa2+a解得d=2,a1=−9对于选项A.a11对于选项B.d>0,a对于选项C.Sn存在最小值，且有两个最小值，即S6−S5对于选项D.S7故选：AD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·上海市高一期末）若等差数列an中，a4=8,a6=14，则数列a【解题思路】根据题意，求出首项a1和公差d【解答过程】a4=8,a6=14an=故答案为：3n−4,n∈N14．（5分）（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2n−1=2n−1(n∈N)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋⋯＋2k－【解题思路】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果.【解答过程】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为2k所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，故答案为：1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k.15．（5分）已知数列an对任意的n∈N∗，都有an∈N∗，且【解题思路】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到a2022=a【解答过程】根据题意知∵a∴a∴a∴a∴a∴a∴a∴a⋯从第三项开始，正整数数列an∵2022=2+3×673+1，∴a故答案为：4.16．（5分）（2022·陕西·一模（理））设等比数列an满足a1+a2=12,a1−a3=−24【解题思路】由题意求得等比数列an的通项公式，由此确定数列bm中的项的取值，进而求得【解答过程】设等比数列an的公比为q，则a解得a1=3,q=3，故因为bm为an中在区间所以当m=1,2时，bm=0；当3≤m<9时，bm=1；当当27≤m≤50时，bm故S50故答案为：114.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）写出以下各数列an(1)12(2)1,−3,5,−7,⋅⋅⋅.【解题思路】（1）根据所给项的分母找出规律即可求解；（2）先不考虑符号，可以看出项都为奇数，再根据项数的奇偶确定符号就可以.【解答过程】(1)由1知，第一项分母为2，第二项分母4=22，第三项分母8=23，依次规律，第所以通项公式an=1(2)1,−3,5,−7,⋅⋅⋅先不考虑符号，第一项1，第二项3，第三项5，第四项7，故第n项2n−1，再考虑符号，可得an故a1018．（12分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数n,4【解题思路】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.【解答过程】证明：（1）当n=1时，4n+15n−1故当n=1时，4n（2）假设当n=k时，命题成立，即4k则当n=k+1时，4k+1综合(1)(2)可得,对任意正整数n,419．（12分）（2022·江苏省高二期中）已知在等差数列an中，a(1)求数列an(2)若数列an的前n项和Sn，则当n为何值时【解题思路】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；（2）令an>0,an<0【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d则a9=a则an的通项公式为a（2）因为n∈N令an=11−2n>0得：1≤n≤5，令an故当n=5时，Sn其中a1=9,a20．（12分）（2022·天津市高二期中（理））已知数列{an}(1)写出a1,a(2)用数学归纳法证明所得的结论．【解题思路】（1）分别将n=1、2、3代入递推式中求a1,a（2）应用数学归纳法，首先判断n=1时an是否成立，再假设n=k时ak=2−12【解答过程】(1)n=1时，S1+an=2时，S2+an=3时，S3+a猜想an(2)由（1）得：n=1时，a1假设n=k(k≥1,k∈N∗)那么当n=k+1时，Sk+1+a所以2k+1−ak+2故n=k+1时，an综上，对一切n∈N*，an21．（12分）（2022·福建省高二期中）已知Sn是等差数列an的前n项和，且a3(1)求Sn(2)若bn=1Sn，求数列b【解题思路】（1）利用基本量列方程求解即可；（2）由裂项相消法求和.【解答过程】（1）an为等差数列，则a3+3a∴d=a3−故Sn（2）bn∴T==122．（12分）（2022·河北·高二期中）