平面曲线的弧长与曲率旋转曲面的面积课件

§3平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长12/4/20231定义:

若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大弦长||T||→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,并称此极限为曲线弧AB的弧长，即一、平面曲线的弧长则称曲线C是可求长的，设曲线C=AB

12/4/20232设平面曲线C由参数方程给出，如果在连续，且则称曲线C为光滑曲线．12/4/20233设光滑曲线C由参数方程给出，则C是可求长的，且弧长为定理10.112/4/20234证要证因为所以要证12/4/20235对的任一分割于是12/4/20236下面证明：12/4/20237由第一章§1习题6可知于是,12/4/20238即从而12/4/20239若曲线C由直角坐标方程给出则曲线又可用参数方程表示为于是所求弧长为12/4/202310若曲线弧由极坐标方程给出则曲线又可用参数方程表示为由于12/4/202311则弧长为12/4/202312例1.

计算摆线一拱的弧长.

解因为12/4/202313例2.

两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成悬链线.求从x=0,到x=a那一段的弧长.

悬链线方程为解因为12/4/202314例3求心形线的周长解12/4/202315例4.

求连续曲线段解的弧长.因为所以12/4/202316设光滑曲线C

则表示曲线上由端点到点的弧长．因为被积函数连续，于是有称弧长s(t)的微分ds为弧微分．12/4/202317如图，PR为曲线在点P处的切线，在直角三角形PQR

中，PQ

为dx,QR

为dy,PR

则为ds,这个三角形称为微分三角形．12/4/202318练习求阿基米德螺线

相应于0≤

≤2

一段的弧长.

解12/4/202319曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动目录上页下页返回结束第三章二、曲率及其计算公式12/4/202320二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!机动目录上页下页返回结束转角为12/4/202321例5.

求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.机动目录上页下页返回结束12/4/202322有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上页下页返回结束12/4/202323说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动目录上页下页返回结束12/4/202324例6.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.12/4/202325例6.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束解:显然12/4/202326例7.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小机动目录上页下页返回结束求驻点:12/4/202327设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动目录上页下页返回结束计算驻点处的函数值:最大.12/4/202328三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束12/4/202329设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.机动目录上页下页返回结束12/4/202330由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.机动目录上页下页返回结束屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停12/4/202331例8.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3目录上页下页返回结束12/4/202332(仍为摆线)例9.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得摆线目录上页下页返回结束12/4/202333摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束12/4/2023341弧微分参数方程方程极坐标方程直角坐标方程弧长参数方程方程极坐标方程直角坐标方程内容小结12/4/202335内容小结2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动目录上页下页返回结束12/4/202336思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:则利用机动目录上页下页返回结束12/4/202337阿基米德螺线

物理意义动点M以常速v沿一射线运动,

该射线又以定速

绕极点转动时,

点M的轨迹即为阿基米德螺线

等距性过极点的射线与曲线

间隔都是它们之间的12/4/202338§4旋转曲面的面积12/4/202339设平面光滑曲线求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积．在[a,b]中任取小区间[x,x+

x]，位于此小区间上的旋转面侧面积为一、旋转曲面的面积其中12/4/202340由于由的连续性可以得到所以有从而旋转曲面的侧面积为12/4/202341侧面积元素注意因为不是Δx的高阶无穷小．若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积为12/4/202342若光滑曲线由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为12/4/202343例1.计算圆上的弧段绕x轴旋