弯曲变形刘鸿文讲解课件

1工程实例§6.1工程中的弯曲变形问题第六章弯曲变形23工程实例4工程实例51.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。§6.2挠曲线的微分方程B1Fxqqvyx2.梁位移的度量：②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向下的挠度为正①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—w=f(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施第六章弯曲变形6挠度、转角的定义7一、挠曲线近似微分方程1.静力学关系：2.几何关系：§6.3用积分法求弯曲变形3.挠曲线近似微分方程：yxyx8二、积分法求梁的挠曲线2.支承条件与连续条件:

1.式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：

2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的lFAB9qmaxwmax解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：

例6.1图示为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力F＝200N，镗刀杆直径d＝10mm，外伸长度l＝50mm。材料的弹性模量E＝210GPa。试求镗刀杆上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。

yxFx代入数据得10例6.3求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：1、求支反力11§6-4按叠加原理计算弯曲变形叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。

例6.4桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为q。作用于跨度中点的吊重为集中力F。试求大梁跨度中点的挠度。

PAqCB解：查表得：

例6.5车床主轴的计算简图可简化成外伸梁，如图所示。F1为切削力，F2为齿轮传动力。若近似地把。外伸梁作为等截面梁，试求截面B的转角和端点C的挠度。ABDCaF2F112ABDCaF2ABDCaF2F1ABDCaF1ABDCaF1ABDCaF1MB=F1a解：将两个载荷分别作用在原结构上，F2作用查表。由于BC段没有载荷，故BC段弯矩为零。代人挠曲线微分方程并积分两次得：由上式看出BC段挠曲线是直线，所以：F1作用时由于没有现成的表格，所以将其分解：1、将B点看成固定端对BC段的变形没有影响。直接查表，但B端转角为零，与原结构不同，原因是AB段的弯矩与原结构不同；2、将F1移到B点并附加力偶MB，查表13习题一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角

A,B

。解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图所示。mABCAqCBmAqCB

例6.6在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点的挠度，设b<l/2。ABblqxdxqdx解：dx段力dF＝qdx引起的挠度查表得：按叠加法，积分得：14先从表中查出两者分别作用时梁的相应位移，然后按叠加原理求出其代数和，即得所求的位移AqCBmABCAqCBm15习题

试利用叠加法，求图a所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC

和两端截面的转角

A,

B。解：如图所示梁可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。ABCqABCAB反对称荷载作用下，可将AC段和BC段视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁,因此正对称荷载作用下，有

将相应的位移进行叠加,即得16习题一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图a所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角

B以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B断固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。ABCDa2qqa2a2qAB2qaB截面两侧的相互作用力为：2qa,就是B截面的剪力和弯矩。2qaqBCDA简支梁BC的受力情况与外伸梁AC的BC段的受力情况相同。因此，由简支梁BC求得的q

B及wD就是外伸梁AC的qB及wD。17BCD求和qBCD2qaqBCD2qa查附录1V得：由叠加原理得18求wA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A

端产生挠度w1悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w22qAB2qaqBCDA求总的wA因此，A端的总挠度应为由附录1V查得代入上式得19习题如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。FqvBqvCqqBFvBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：20习题

已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角

C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解213）将结果叠加

2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。22ABalFCFABalCFaFaBC+1）考虑AB段(BC段看作刚体)F作用在支座上，不产生变形。Fa使AB梁产生向上凸的变形。查表得：则

习题怎样用叠加法确定wC?232）考虑BC段(AB段看作刚体)AFaBC所以ABalCFa24习题图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角解：在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：由附录中，我们可查得：

由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：25习题

按叠加原理求C点挠度。解：

载荷无限分解如图

由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。

叠加q00.5L0.5LxdxbxwC26ABq

I、超静定梁的解法（1）将可动铰链支座作看多余约束解除多余约束，代之以约束反力RB。得到原超静定梁的基本静定系。qAB图示为抗弯刚度为EI的一次超静定梁说明超静定梁的解法。§

6-5

简单超静定梁（2）超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的变形相容条件。

（3）根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程为27（4）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程查表得qABqABBA

补充方程为由该式解得求出该梁固定端的两个支反力28ABq代以与其相应的多余反力偶mA得基本静定系。变形相容条件为请同学们自行完成！方法二取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束。ABq29例题6－7：梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力N。a2aABCq2qD解：这是一次超静定问题。将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多于约束。拉力N为多余反力。基本静定系如图BCq2qANADNA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即30ADBCq2qA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即NN变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为可算出31拉杆AD的伸长为补充方程为由此解得32例题6－8：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。已知EI=5103KN.m3。4m3m2mABDC30KN解：这是一次超静定问题取支座B截面上的相对转动约束为多余约束。基本静定系为在B支座截面上安置铰的静定梁，如图所示。DCAB30KN多余反力为分别作用于简支梁AB和BC的B端处的一对弯矩MB变形相容条件为，简支梁AB的B截面转角和BC梁B截面的转角相等。33由表中查得补充方程为解得负号表示B截面弯矩与假设相反。34++--32.0547.9518.4011.64++-25.6831.8023.281.603m由基本静定系的平衡方程可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图。CADB30KN35习题两根钢制悬臂梁AB和CD与长为4m的一绷紧的钢丝BC，在无初载荷的情况下相连接，如图所示。连接后钢丝温度下降500C，试求钢丝内产生的应力。已知梁AB，CD和钢丝BC的弹性模量E＝200GPa，梁的惯性矩I＝10×106mm4，钢丝横截面面积A＝60mm2；钢丝线膨胀系数a＝12×10－6/0C。4m1.5m1.5mBACD36习题图示为水平放置的两个悬臂梁，两梁在自由端处叠加在一起，梁的长度及梁上荷载如图所示，已知两梁的弯曲刚度相同。试分别画出两梁的弯矩图。2aaCBAEIEIF习题如图所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI=24×106N·m2，由钢杆CD相连接。CD杆的l=5m,A=3×10—4m2，E＝200GPa。若P=50kN，试求悬臂AD在D点的挠度。2m2mPECDAB37§6-6提高弯曲刚度的一些措施I、梁的刚度校核（书中无这部分内容）

对于梁的挠度,其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值作为标准。梁的刚度条件可表示为在土建结构中，通常对梁的挠度加以限制，例如桥梁的挠度过大，则在机车通过时将发生很大的振动。在机械制造中，往往对挠度和转角都有一定的限制，例如机床主轴的挠度过大，将影响其加工精度；传动轴在支座处转角过大，将使轴发生严重的磨损等等。在土建工程中在机械工程中381.调整跨长和改变结构；减小弯矩的数值缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。2.选择合理的截面形状；增大梁的抗弯刚度EI；主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。qlABqlABqABII、提高梁的刚度的措施39纯弯曲时梁的弯曲应变能为：横力弯曲时梁的弯曲应变能为：F

例五计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计