立体图形的直观图 公开课教学设计

立体图形的直观图课标要求素养要求能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.在应用斜二测画法画几何体的直观图的过程中，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.问题在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示为了直观，不一定.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤2.几何体直观图的画法规则画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴，y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.教材拓展补遗[微判断]1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.()3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.()4.建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.()[微训练]1.下列命题中正确的个数是()①水平放置的角的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. 2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()[微思考]1.把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？2.空间几何体的直观图是唯一的吗？题型一平面图形的直观图的画法eq\a\vs4\al(斜二测画法“三步曲”：画轴、画线、取长度)【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.规律方法画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.题型二空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.规律方法1.空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.2.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.【训练2】画出底面是边长为cm的正方形，侧棱均相等且高为cm的四棱锥的直观图.题型三直观图的有关应用原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝eq\f(\r(2),4)S探究1把直观图恢复成原图形【例3－1】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.探究2由原图形求直观图的面积【例3－2】已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为()\f(\r(3),4)a2 \f(\r(3),8)a2 \f(\r(6),8)a2 \f(\r(6),16)a2探究3由直观图求原图形的面积【例3－3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.【训练3】(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是()\f(1,2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(2)(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________(填四边形的形状).一、素养落地1.通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养.2.斜二测画法中的“斜”和“二测”(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.3.直观图中“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感.二、素养训练1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()3.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.基础达标一、选择题1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()° °° °或135°3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为() 或64 D.无法确定4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是() 5.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()二、填空题6.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是________(填序号).7.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.8.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.三、解答题9.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图.10.如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.能力提升11.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.12.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图.创新猜想13.(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的