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文档简介
.3.2等比数列的前n项和公式(第1课时)教学设计课时教学内容等比数列前n项和公式的推导及简单应用.课时教学目标1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.2.会用错位相减法求数列的和.3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.教学重点、难点1.教学重点:掌握等比数列的前n项和公式及其应用,等比数列前n项和公式推导方法;等比数列前n项和公式的推导(错位相减法)及简单应用。2.教学难点:等比数列前n项和公式推导方法(错位相减法)的理解。会用错位相减法求数列的和,能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.教学过程设计环节一创设情境,引入课题问题1:相传国际象棋起源于古印度,是西萨发明的。国王要奖励西萨,西萨说:“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗?国王能满足西萨的要求吗?国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查,2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言.追问1把各格所放麦粒数看成一个数列,可以得到一个怎样的数列?能写出它的通项公式吗?让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.追问2各格所放麦粒总数如何求?一般地,如何求一个等比数列的前n项和呢?设等比数列的首项为,公比为,则的前n项和是.探究1:这个和式右边任意相邻两项有何特点?引导、启发学生观察,寻求等式规律,每一项都乘以,就变成了它的后一项.根据等比数列的通项公式,上式可写成. ①探究2:若在此等式两边同以,得到②式,比较①,②两式,你有什么发现?引导学生经过比较后发现:①,②两式有若干相同项,可两式相减求.我们发现,如果用公比乘①的两边,可得 ②探究3:两边同乘的2是等比数列的什么?乘2的作用是什么?两边同乘的是等比数列的公比,乘后所得新等式与原式有n-1项相同,两式相减可消去相同项,突破难点。①②两式的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,追问1两个等式相减后,还剩下哪些项,相减后符号如何?就可以消去这些相同的项,可得,即.追问2由得到正确吗?因此,当时,我们就得到了等比数列的前项和公式 (1)因为,所以公式(1)还可以写成 (2)追问3若q=1,{an}是什么数列,前项和等于什么?引导学生对q进行分类讨论。当时,等比数列的前项和等于多少?公式分析(1)知三求二:nqa1anSn(2)n的含义:项数(3)注意对q分类讨论(4)错位相减法:乘公比(作用是构造相同项)后错开一项再相减。有了上述公式,就可以解决本小节开头提出的问题了.由,,可得.这个数很大,超过了.如果一千颗麦粒的质量约为40g,那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨,约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此,国王根本不可能实现他的诺言.环节二观察分析,感知概念例7已知数列是等比数列.(1)若,,求;(2)若,,,求;(3)若,,,求.对于等比数列的相关量,,,,,已知几个量就可以确定其他量?解:(1)因为,,所以.(2)由,,可得.即.又由,得.所以.(3)把,,,代入,得.整理,得.解得.【设计意图】已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量,进一步理解公式特点,深化对公式的理解和应用。环节三抽象概括,形成概念例8已知等比数列的首项为,前项和为.若,求公比.解:若,则.所以.当时,由,得.整理,得.即.所以.解法二:,所以,所以.【设计意图】等比数列前n项和公式的灵活应用,一题多解有利于提高学生思维的深度和灵活性;环节四辨析理解深化概念例9已知等比数列的公比,前项和为.证明,,成等比数列,并求这个数列的公比.证明:当时,,,,所以,,成等比数列,公比为1.当时,,,,所以.因为为常数,所以,,成等比数列,公比为.环节五概念应用,巩固内化想一想,不用分类讨论的方式能否证明该结论?证明:,,所以.因为为常数,所以,,成等比数列,公比为.环节六归纳总结,反思提升问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题:1.本节课学习的概念有哪些?2.在解决问题时,用到了哪些数学思想?1.知识清单:(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.(2)利用错位相减法求数列的前n项和.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减的方法.(3)等比数列前n项和的性质.2.方法归纳:错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.3.常见误区:(1)前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即q≠1和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况.(2)错位相减法中粗心出错.(3)忽略对参数的讨论.环节七 目标检测,作业布置完成教材:第37页练习第1,2,3,4题练习(第37页)1.已知数列是等比数列.(1)若,,,求;(2)若,,,求;(3)若,,求与q.1.【解析】(1)因为,,,可得.(2)因为,,且,所以.(4)设等比数列的公比为,因为,,当时,可得,此时,满足题意;当时,可得,解得,.解法二:,将,代入,得,,解得或.当时,;当时,.2.已知,且.对于,证明:.证明:记,因为,且,所以两边同乘以,得:,所以,所以.所以,即证.方法二:数列是首项为,公比为,共有项的等比数列.所以.特别地,当时,,即,即立方差公式.3.设等比数列的前项和为,已知,.求和.3.解析:,解得或.即或当时,,当时,.4.已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.4.解析:设这三个数分别为,,,则满足.由题意可得,,联立方程组,可得,,或,,,当这三个数为,,,可得这个等比数列的首项为2,公比
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