高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入课时提升作业 理试题

数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安徽高考)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3i B.-1+3iC.3+i D.-1+i【解析】选C.因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i,所以选C.2.(2016·南昌模拟)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()A.-2i B.2i C.-4i D.4i【解析】选C.由题意,得zi=4,所以z=QUOTE=-4i.3.(2016·泸州模拟)若复数QUOTE(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则a=()A.2015 B.2016 C.-2015 D.-2016【解析】选B.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE[(a-2016)-(a+2016)i]为纯虚数,所以a-2016=0,a+2016≠0,即a=2016.【加固训练】若(m2+mi)-(4-2i)是纯虚数,则实数m的值为()A.0B.±2C.2D.-2【解析】选C.因为(m2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i是纯虚数,所以QUOTE解得m=2.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了i的系数不为0.4.设复数w=QUOTE,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.w=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE[(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]=a-QUOTEi.由题意知a=2,故w的虚部为-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.【加固训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位,QUOTE=()A.-1 B.1 C.-i D.i【解析】选A.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.5.(2014·辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3i B.2-3iC.3+2i D.3-2i【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z=QUOTE+2i=QUOTE+2i=2+i+2i=2+3i.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.设z=a+bi(a,b∈R),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i=QUOTE=QUOTE=2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+i,所以QUOTE得QUOTE故z=2+3i.6.(2016·石家庄模拟)下面是关于复数z=QUOTE的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4【解析】选C.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以|z|=QUOTE=QUOTE,p1不正确;z2=(-1-i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3不正确;显然p4正确.7.(2016·大同模拟)若复数QUOTE(i为虚数单位)在复平面内对应的点为(1,4),则()A.a=QUOTE,b=QUOTE B.a=QUOTE,b=QUOTEC.a=9,b=2 D.a=2,b=9【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=1+4i,所以QUOTE解得a=9,b=2.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.【加固训练】(2016·泉州模拟)复数z=QUOTE(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,显然QUOTE>0与-QUOTE>0不可能同时成立,则z=QUOTE对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可采用如下解法:z=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,设x=QUOTE,y=QUOTE,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=QUOTE对应的点不可能位于第一象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·重庆高考)复数(1+2i)i的实部为.【解析】(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2.答案:-29.(2016·郑州模拟)QUOTE=.【解析】原式=QUOTE=QUOTE=(-i)3=i.答案:i10.(2015·上海高考)若复数z满足3z+QUOTE=1+i,其中i是虚数单位,则z=.【解题提示】令z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等转化为实数运算.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi,因为3z+QUOTE=1+i,所以3(a+bi)+a-bi=1+i,即4a+2bi=1+i,所以QUOTE即QUOTE所以z=QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi(20分钟40分)1.(5分)(2015·上海高考)设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当z1-z2是虚数时,z1,z2中至少有一个数是虚数成立,即必要性成立;当z1,z2中至少有一个数是虚数,z1-z2不一定是虚数,如z1=z2=i,即充分性不成立.【加固训练】(2016·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则QUOTE=QUOTEB.若z1=QUOTE,则QUOTE=z2C.若QUOTE=QUOTE,则z1·QUOTE=z2·QUOTED.若QUOTE=QUOTE,则QUOTE=QUOTE【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则QUOTE=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故QUOTE=QUOTE正确B若z1=QUOTE,则a=c,b=-d,所以QUOTE=z2正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·QUOTE=z2·QUOTE正确DQUOTE=(a2-b2)+2abi,QUOTE=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd错误2.(5分)(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【解题提示】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,因为z2=3+4i,根据复数相等的定义知QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.(5分)已知复数z1=2+i,z2=1-2i,且QUOTE=QUOTE+QUOTE,则z的共轭复数为.【解析】因为z1=2+i,z2=1-2i,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,故z的共轭复数为QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi4.(12分)解答下列各题.(1)计算QUOTE·i.(2)若复数z与(z+2)2-8i都是纯虚数,求QUOTE.【解析】(1)QUOTE·i=QUOTEi=QUOTE=QUOTE=-iQUOTE=-iQUOTE=-i.(2)设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i由题意,得QUOTE解得b=-2,所以z=-2i,QUOTE=2i.【加固训练】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+QUOTE是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+QUOTE=a+bi+QUOTE=aQUOTE+bQUOTEi.又z+3=a+3+bi的实部与虚部互为相反数,z+QUOTE是实数,根据题意有QUOTE因为b≠0,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以z=-1-2i或z=-2-i.5.(13分)若1+QUOTEi是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-QUOTEi是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+QUOTEi是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+QUOTEi)2+b(1+QUOTEi)