高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 合情推理与演绎推理课时提升作业 理试题

合情推理与演绎推理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.(2016·十堰模拟)依次写出数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:如果an-2为自然数且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1=an+3,则a6=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C.根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.3.(2016·佛山模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25 B.250 C.55 D.133【解析】选B.由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.【加固训练】(2015·揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是()A.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,则f(x)·g(x)∈QUOTEB.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,且g(x)≠0,则QUOTE∈QUOTEC.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,则f(x)+g(x)∈QUOTED.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈QUOTE【解题提示】对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).变形有-a<QUOTE<a,令k=QUOTE,又f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈QUOTE.从而得出正确答案.【解析】选C.对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),即有-a<QUOTE<a,令k=QUOTE,有-a<k<a,又f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,即有-a1<kf<a1,-a2<kg<a2,因此有-a1-a2<kf+kg<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈QUOTE.4.给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立,如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=QUOTE,故②错误.由向量的运算公式知③正确.5.(2015·广东高考)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.50 B.100 C.150 D.200【解析】选D.当s=4时,p,q,r都是取0,1,2,3中的一个,有4×4×4=64种,当s=3时,p,q,r都是取0,1,2中的一个,有3×3×3=27种,当s=2时,p,q,r都是取0,1中的一个,有2×2×2=8种,当s=1时,p,q,r都取0,有1种,所以cardQUOTE=64+27+8+1=100.当t=0时,u取1,2,3,4中的一个,有4种,当t=1时,u取2,3,4中的一个,有3种,当t=2时,u取3,4中的一个,有2种,当t=3时,u取4,有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种,同理,v,w的取值也有10种,所以cardQUOTE=10×10=100,所以cardQUOTE+cardQUOTE=100+100=200.【加固训练】1.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.则f(n)的表达式为()A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1【解析】选D.我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.2.(2014·北京高考)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学,且至少有一科成绩比B高,则称“A同学比B同学成绩好”.现有若干同学,他们之中没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.用D,E,F分别表示优秀、合格和不合格.显然语文成绩得D的学生最多只有1个,语文成绩得E的也最多只有1个,得F的也最多只有1个,因此学生最多只有3个.显然,(DF),(EE),(FD)满足条件,故学生最多3个.3.下列推理是归纳推理的是()A.若A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆QUOTE+QUOTE=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.选项A是演绎推理,选项C,D是类比推理.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·黄山模拟)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为.【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3=QUOTE=QUOTE.答案:13+23+…+n3=QUOTE【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024C.1225 D.1378【解析】选C.观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)⇒an=1+2+3+…+n=QUOTE,观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.7.(2016·襄阳模拟)在平行四边形ABCD中有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有AQUOTE+BQUOTE+CQUOTE+DQUOTE=.【解题提示】根据平行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;在平行四边形ACC1A1中,A1C2+AQUOTE=2(AC2+AQUOTE)…②;在平行四边形BDD1B1中,B1D2+BQUOTE=2(BD2+BQUOTE)…③;②、③相加,得A1C2+AQUOTE+B1D2+BQUOTE=2(AC2+AQUOTE)+2(BD2+BQUOTE)…④将①代入④,再结合AA1=BB1得,AQUOTE+B1D2+A1C2+BQUOTE=4(AB2+AD2+AQUOTE)答案:4(AB2+AD2+AQUOTE)【加固训练】观察下列几个三角恒等式:①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1;③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.【解析】所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°,所以可猜想当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.答案:当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=18.已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=QUOTE.类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=.【解析】设数列{an}的公差为d1,则d1=QUOTE=QUOTE.所以am+n=am+nd1=a+n·QUOTE=QUOTE.类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为q,由bn=bmqn-m,可知d=cqn-m,所以q=QUOTE,所以bm+n=bmqn=c·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【一题多解】本题还可以采用如下解法:(直接类比)设数列{an}的公差为d1,数列{bn}的公比为q,因为等差数列中an=a1+(n-1)d1,等比数列中bn=b1qn-1,因为am+n=QUOTE,所以bm+n=QUOTE.答案:QUOTE(15分钟30分)1.(5分)观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52…据此你可归纳猜想出一般结论为()A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数,右边是(n+1)2.2.(5分)命题p:已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=QUOTE|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.答案:内角平分线3.(5分)(2016·黄冈模拟)观察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测,m-n+p=.【解析】m=128×4=512;p=10×5=50,根据系数和等于1,可以求出n=-400.答案:962【加固训练】(2016·武汉模拟)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=QUOTE[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=QUOTE(1×2×3-0×1×2),2×3=QUOTE(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=QUOTE[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=QUOTEn(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于n的一次因式的积的形式).【解析】先改写第k项:k(k+1)(k+2)=QUOTE[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=QUOTE(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=QUOTE(2×3×4×5-1×2×3×4),……,n(n+1)(n+2)=QUOTE[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=QUOTEn(n+1)(n+2)(n+3).答案:QUOTEn(n+1)(n+2)(n+3)4.(15分)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线QUOTE-QUOTE=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线QUOTE-QUOTE=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=QUOTEm2-b2.同理y2=QUOTEx2-b2.则kPM·kPN=QUOTE·QUOTE=QUOTE=Q