高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等式的性质及一元二次不等式课时提升作业 理试题

不等式的性质及一元二次不等式(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是()A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m【解析】选D.方法一(取特殊值法):令m=-3,n=2分别代入各选项检验,可知只有D正确.方法二:m+n<0,m<-n,n<-m,又由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立.【加固训练】若α,β满足QUOTE则α+3β的取值范围是.【解析】设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.则QUOTE解得QUOTE因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,两式相加,得1≤α+3β≤7.所以α+3β的取值范围为[1,7].答案:[1,7]2.(2016·长沙模拟)下列结论正确的是()A.若a>b,则ac>bcB.若a>b,则a2>b2C.若a+c<b+c,c<0,则a>bD.若QUOTE>QUOTE,则a>b【解析】选D.对于A,当c≤0时,不成立;对于B,只有当a>b>0时,才成立;对于C,不论c是取何值,就只能得到a<b;D正确.3.已知集合M={x|x>x2},N={y|y=QUOTE,x∈M},则M∩N=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解题提示】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M,N.再利用交集的运算即可得出.【解析】选B.对于集合M:由x>x2,解得0<x<1,所以M={x|0<x<1}.因为0<x<1,所以1<4x<4.所以QUOTE<QUOTE<2.所以N=QUOTE.所以M∩N=QUOTE.4.下面四个条件中,是使a>b成立的充分不必要的条件的是()A.a>b+1 B.a>b-1C.a2>b2 D.a3>b3【解析】选A.即寻找条件p使p⇒a>b,a>bp.选项A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b时,a>b+1不一定成立,故A正确.在选项B中,a>b-1时,a>b不一定成立,故B错误.在选项C中,a2>b2时,a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值,故C错误.在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D错误.【加固训练】(2016·泉州模拟)已知f(x)=ax2-x-c,不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()【解析】选B.由根与系数的关系知QUOTE=-2+1,-QUOTE=-2,得a=-1,c=-2.f(-x)=-x2+x+2的图象开口向下,顶点坐标为QUOTE.5.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz【解题提示】利用作差法比较大小.【解析】选B.由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz;az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.【加固训练】1.(2016·武汉模拟)规定记号“☉”表示一种运算,定义a☉b=QUOTE+a+b(a,b为正实数),若1☉k2<3,则k的取值范围是()A.-1<k<1 B.0<k<1C.-1<k<0 D.0<k<2【解析】选A.因为定义a☉b=QUOTE+a+b(a,b为正实数),1☉k2<3,所以QUOTE+1+k2<3,化为(|k|+2)(|k|-1)<0,所以|k|<1,所以-1<k<1.2.(2015·嘉兴模拟)函数y=logQUOTE的值域是()A.R B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.x2-6x+17=QUOTE+8≥8,所以y=loQUOTE≤-3.3.已知θ∈QUOTE且a=cos2θ,b=cosθ-sinθ,试比较a与b的大小.【解析】由于θ∈QUOTE,所以2θ∈QUOTE,故a=cos2θ>0,且cosθ>sinθ,所以b>0.而QUOTE=QUOTE=QUOTE=cosθ+sinθ=QUOTEsinQUOTE,由于θ∈QUOTE,所以θ+QUOTE∈QUOTE,故sinQUOTE∈QUOTE,QUOTEsinQUOTE∈(1,QUOTE),即QUOTE>1,故必有a>b.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·太原模拟)已知函数f(x)=QUOTE若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是.【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【误区警示】此题是分段函数,代入求值时容易出现因不同的取值而出现错误,应注意分段函数分段求值,不能代错.7.(2016·广州模拟)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=.【解析】由题意知x1+x2=2a,x1x2=-8a2,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2=225,又a>0,所以a=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·郑州模拟)已知不等式ax2+bx+c≥0的解集为QUOTE,则不等式cx2+bx+a<0的解集为.【解析】由于不等式ax2+bx+c≥0的解集为QUOTE,可知a<0,且-QUOTE,2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,所以-QUOTE+2=-QUOTE,QUOTE×2=QUOTE,所以b=-QUOTEa,c=-QUOTEa.所以不等式cx2+bx+a<0可化为-QUOTEax2-QUOTEax+a<0,由于a<0,所以QUOTEx2+QUOTEx-1<0,即2x2+5x-3<0,解得-3<x<QUOTE,所以所求解集为QUOTE.答案:QUOTE(20分钟40分)1.(5分)已知p:x≥k,q:x2-x-2>0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,-1]【解题提示】利用不等式之间的关系是解决本题的关键.【解析】选B.因为x2-x-2>0,所以(x-2)(x+1)>0,所以x>2或x<-1,因为p是q的充分不必要条件,所以k>2.2.(5分)(2016·汕头模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围为.【解析】因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意的x∈R恒成立,即a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.答案:[-1,4]3.(5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.【解题提示】结合一元二次函数图象,利用fQUOTE<0,fQUOTE<0求解.【解析】二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则QUOTE解得-QUOTE<m<0.答案:QUOTE4.(12分)已知关于x的不等式(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,不等式转化为1≥0,它恒成立,满足条件.(2)当a-2≠0,即a≠2时,原题等价于QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以2<a≤6,综上a的取值范围为2≤a≤6.5.(13分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=QUOTE.(1)求a,b的值.(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.【解题提示】(1)由函数g(x)=a(x-1)2+1+b-a,a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故QUOTE由此解得a,b的值.(2)不等式可化为2x+QUOTE-2≥k·2x,令t=QUOTE,故有k≤t2-2t+1,t∈QUOTE,记h(t)=t2-2t+1,求出它的最大值,从而求得k的取值范围.【解析】(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增