高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 9.4 变量间的相关关系与统计案例课时提升作业 理试题

变量间的相关关系与统计案例(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.有下列关于回归分析的说法:①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,使之贴近这些样本点的方法;②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示;③通过回归方程=x+可以估计变量的取值和观测变量的变化趋势;④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①反映的是最小二乘法的思想,故正确;②反映的是散点图的作用,也正确;③解释的是回归方程=x+的作用,也正确;④是不正确的,在求回归方程之前必须进行相关性检验,以体现两变量的关系.2.(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关,下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关【解析】选C.因为变量x和y满足关系y=-0.1x+1,其中-0.1<0,所以x与y成负相关;又因为变量y与z正相关,不妨设z=ky+b(k>0),则将y=-0.1x+1代入即可得到:z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以x与z负相关.3.(2016·宜昌模拟)根据如下样本数据得到的回归方程为=x+,则()x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A.>0,>0 B.>0,<0C.<0,>0 D.<0,<0【解析】选B.由表中数据画出散点图,如图,由散点图可知<0,>0.4.(2016·洛阳模拟)通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:男女总计走斑马线402060走人行天桥203050总计6050110由K2=QUOTE算得K2的观测值k=QUOTE≈7.8.附表:P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“选择过马路的方式与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“选择过马路的方式与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”【解析】选A.因为K2的观测值k≈7.8≥6.635,所以犯错误的概率不超过0.01.【加固训练】(2016·安庆模拟)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量【解析】选D.因为k1=QUOTE=QUOTE,k2=QUOTE=QUOTE,k3=QUOTE=QUOTE,k4=QUOTE=QUOTE,则有k4>k2>k3>k1,所以阅读量与性别关联的可能性最大.二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2016·唐山模拟)某市居民2011～2015年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出y(单位:万元)的统计资料如表所示:年份20112012201320142015收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是,家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.【解析】由中位数的定义知,总体个数为奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数,而偶数个时需取中间两数的平均数.由统计资料可以看出,当年平均收入增多时,年平均支出也增多,因此两者之间具有正线性相关关系.答案:13正6.(2016·唐山模拟)为了考察是否喜欢运动与性别之间的关系,得到一个2×2列联表,经计算K2的观测值k=6.679,则在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢运动与性别有关系.本题可以参考独立性检验临界值表P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】由于K2=6.679>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否喜欢运动与性别有关系.答案:0.01【加固训练】1.(2016·深圳模拟)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下,记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计【解析】由已知数据得:甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040根据2×2列联表中数据,K2=QUOTE≈3.137>2.706,所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.2.(2016·成都模拟)为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.完成下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa=b=30a+b=注射药物Bc=35d=c+d=总计a+c=b+d=a+b+c+d=【解题提示】(1)把握2×2列联表的意义,准确填入数据.(2)将数据代入随机变量K2的公式进行计算.(3)与临界值比较并得出结论.【解析】2×2列联表如下:疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa=70b=30a+b=100注射药物Bc=35d=65c+d=100总计a+c=105b+d=95a+b+c+d=200K2的观测值k=QUOTE≈24.56,由于k>6.635,因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.7.(2016·岳阳模拟)车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为.【解析】由已知可计算求出QUOTE=30,而回归直线方程必过点(QUOTE,QUOTE),则QUOTE=0.67×30+54.9=75,设模糊数据为a,则QUOTE=75,计算得a=68.答案:68三、解答题8.（10分）(2015·重庆高考)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程=t+.(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程=t+中,=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解题提示】(1)直接利用回归系数公式求解即可.(2)利用回归方程代入直接进行计算即可.【解析】(1)列表计算如下:itiyitiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n=5,QUOTE=QUOTEti=QUOTE=3,QUOTE=QUOTEyi=QUOTE=7.2.又QUOTE-nQUOTE=55-5×32=10,QUOTEtiyi-nQUOTE=120-5×3×7.2=12,从而=QUOTE=1.2,=QUOTE-QUOTE=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).【加固训练】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=QUOTE-QUOTE.(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)【解析】(1)由于QUOTE=QUOTE(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,QUOTE=QUOTE(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.所以=QUOTE-QUOTE=80+20×8.5=250.从而回归直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20QUOTE+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.(20分钟40分)1.(5分)(2016·洛阳模拟)对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是=QUOTEx+,且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数的值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.依题意可知样本中心点为QUOTE,则QUOTE=QUOTE×QUOTE+,解得=QUOTE.2.(5分)(2016·常德模拟)有两个分类变量X,Y,其一组的2×2列联表如下所示,Y1Y2X1a20-aX215-a30+a其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X,Y有关,则a的值为()A.8 B.9 C.8或9 D.6或8【解题提示】计算K2的观测值k,建立k>3.841的不等式.解不等式并根据a,15-a均为大于5的整数求解.【解析】选C.根据公式,得k=QUOTE=QUOTE>3.841,根据a>5且15-a>5,a∈Z,求得a=8或9满足题意.3.(5分)已知x,y之间的一组数据如下表:x23456y34689对于表中数据,现给出如下拟合直线:①y=x+2;②y=3x-1;③y=QUOTEx-QUOTE;④y=QUOTEx.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是(填序号).【解析】由题意知QUOTE=4,QUOTE=6,所以=QUOTE=QUOTE,所以=QUOTE-QUOTE=-QUOTE,所以=QUOTEx-QUOTE,所以填③.答案:③4.(12分)在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表:x0.250.5124y1612521求y与x之间的回归方程.【解析】画出散点图如图所示,观察可知y与x近似是反比例函数关系.设y=QUOTE(k≠0),令t=QUOTE,则y=kt.可得到y关于t的数据如表:t4210.50.25y1612521画出散点图如图所示,观察可知t和y有较强的线性相关性,因此可利用线性回归模型进行拟合,易得:=QUOTE≈4.1344,=QUOTE-QUOTE≈0.7917,所以=4.1344t+0.7917,所以y与x的回归方程是=QUOTE+0.7917.5.(13分)(2016·太原模拟)设三组试验数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的回归直线方程是:=x+,使代数式[y1-(x1+)]2+[y2-(x2+)]2+[y3-(x3+)]2的值最小时,=QUOTE-QUOTE,=QUOTE(QUOTE,QUOTE分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数)若有七组数据列表如下:x2345678y4656.287.18.6(1)求上表中前三组数据的回归直线方程.(2)若|yi-(xi+)|≤0.2,即称(xi,yi)为(1)中回