高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课时提升作业 理试题

定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·长沙模拟)定积分QUOTE(3x+ex)dx的值为()A.e+1 B.e C.e-QUOTE D.e+QUOTE【解析】选D.QUOTE(3x+ex)dx=QUOTE=QUOTE+e-1=QUOTE+e.2.(2016·石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=QUOTE[x+4-(x2-x+1)]dx=QUOTE(-x2+2x+3)dx=QUOTE=QUOTE.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分QUOTE|x2-2x|dx=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.|x2-2x|=QUOTEQUOTE|x2-2x|dx=QUOTE(x2-2x)dx+QUOTE(-x2+2x)dx=QUOTE+QUOTE=8.【加固训练】若f(x)=QUOTE则QUOTEf(x)dx=()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.QUOTEf(x)dx=QUOTE(x3+sinx)dx+QUOTE2dx=0+2xQUOTE=2.4.已知f(x)为偶函数且QUOTEf(x)dx=8,则QUOTEf(x)dx等于()A.0 B.4 C.8 D.16【解题提示】利用偶函数的图象关于y轴对称,QUOTEf(x)dx对应的几何区域关于y轴对称,其可表示为2QUOTEf(x)dx.【解析】选D.原式=QUOTEf(x)dx+QUOTEf(x)dx,因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等,即QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dx=8×2=16.5.若S1=QUOTEx2dx,S2=QUOTEdx,S3=QUOTEexdx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1【解析】选B.S1=QUOTEx2dx=QUOTEx3QUOTE=QUOTE×23-QUOTE=QUOTE,S2=QUOTEdx=lnxQUOTE=ln2,S3=QUOTEexdx=exQUOTE=e2-e=e(e-1),ln2<lne=1,且QUOTE<2.5<e(e-1),所以ln2<QUOTE<e(e-1),即S2<S1<S3.6.(2016·湛江模拟)若QUOTEdx=3+ln2(a>1),则a的值为()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选A.因为QUOTEdx=(x2+lnx)QUOTE=a2+lna-1-0=3+ln2,所以a=2.7.一物体受到与它运动方向相反的力:F(x)=QUOTEex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.-QUOTE-QUOTE【解析】选D.由题意知W=-QUOTEdx=-QUOTE=-QUOTE-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·泉州模拟)已知正方形ABCD,点M是DC的中点,由QUOTE=mQUOTE+nQUOTE确定m,n的值,计算定积分QUOTEsinxdx=.【解析】如图,QUOTE=mQUOTE+nQUOTE=-QUOTE+QUOTE,QUOTEsinxdx=-cosxQUOTE=1.答案:19.曲线y=QUOTE,y=2-x,y=-QUOTEx所围成图形的面积为.【解析】画出草图,如图所示.解方程组QUOTEQUOTE及QUOTE得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).答案:QUOTE【一题多解】解答本题还有如下解法:若选积分变量为y,则三个函数分别为x=y2,x=2-y,x=-3y.因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=QUOTE[(2-y)-(-3y)]dy+QUOTE[(2-y)-y2]dy=QUOTE(2+2y)dy+QUOTE(2-y-y2)dy=(2y+y2)QUOTE+QUOTE=-(-2+1)+2-QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固训练】已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),BQUOTE,C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为.【解析】y=f(x)的图象如图所示.可求得y=f(x)=所以x·f(x)=所以所求面积为S=QUOTE10x2dx+QUOTEdx=QUOTEx3QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE-(-QUOTE×QUOTE+5×QUOTE)=QUOTE.答案:QUOTE10.若m>1,则f(m)=QUOTEdx的最小值为.【解析】f(m)=QUOTEdx=QUOTE=m+QUOTE-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立.答案:-1【加固训练】已知f(a)=QUOTE(2ax2-a2x)dx,则f(a)的最大值为.【解析】f(a)=QUOTE(2ax2-a2x)dx=(QUOTEax3-QUOTEx2)QUOTE=-QUOTEa2+QUOTEa=-QUOTE(a-QUOTE)2+QUOTE,所以当a=QUOTE时f(a)取得最大值QUOTE.答案:QUOTE(20分钟40分)1.(5分)若f(x)=QUOTE则f(2014)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.f(2014)=f(2014-5×402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+QUOTEcos3tdt.因为QUOTEcos3tdt=QUOTEsin3tQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以f(2014)=2-1+QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·郑州模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+ln3 D.4-ln3【解析】选C.如图由xy=1得y=QUOTE.由QUOTE得xD=1,所以曲边四边形的面积为QUOTExdx+QUOTEdx=QUOTEx2QUOTE+lnxQUOTE=QUOTE+ln3.3.(5分)设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若QUOTEf(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为.【解析】QUOTEf(x)dx=QUOTE(ax2+c)dx=QUOTE=QUOTEa+c=f(x0)=aQUOTE+c,所以QUOTE=QUOTE,x0=±QUOTE.又因为0≤x0≤1,所以x0=QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,QUOTEf(x)dx=-2.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得QUOTE即QUOTE所以f(x)=ax2+2-a.又QUOTEf(x)dx=QUOTE(ax2+2-a)dx=QUOTE=2-QUOTEa=-2.所以a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)因为f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].所以当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2.5.(13分)如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.【解析】由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.设两切线相交于点M,由QUOTE消去y,得x=QUOTE,即点M的横坐标为QUOTE