高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 对数函数课时提升作业 理试题

课时提升作业八对数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·洛阳模拟)函数f(x)=QUOTE的定义域为()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.(0,+∞)【解析】选A.由QUOTE得-QUOTE<x<0.2.(2016·新余模拟)若a=30.2,b=logπ3,c=log3cosQUOTEπ,则()A.b>c>a B.b>a>cC.a>b>c D.c>a>b【解析】选C.因为30.2>30=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,log3cosQUOTEπ<log31=0,所以a>b>c.3.若函数f(x)=ax-1的图象经过点(4,2),则函数g(x)=logaQUOTE的图象是()【解析】选D.由题意可知f(4)=2,即a3=2,a=QUOTE.所以g(x)=logQUOTE=-logQUOTE(x+1).由于g(0)=0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈QUOTE时,f(x)=log2(x+1),则f(x)在区间QUOTE内是()A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0【解析】选B.因为f(x)是R上的奇函数,则有f(x+1)=f(-x)=-f(x).若当x∈QUOTE,则x-1∈QUOTE,f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在区间QUOTE内是减函数且f(x)<0.5.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是()A.(0,1) B.QUOTEC.QUOTE D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选C.因为loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,所以0<a<1,所以a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,所以QUOTE解得QUOTE<a<1.【误区警示】本题易忽视loga2a<0这一条件,而误选A.6.已知函数f(x)=lgQUOTE,若f(a)=QUOTE,则f(-a)=()A.2 B.-2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由QUOTE>0得-1<x<1,又f(-x)+f(x)=lgQUOTE+lgQUOTE=lg1=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-QUOTE,选D.【误区警示】忽视对数的真数的限制条件而致误(1)思考简单,直接把f(a)=QUOTE代入函数式求a.(2)判断函数奇偶性,仅用f(-x)=±f(x),而忽略定义域即真数QUOTE>0.7.(2016·长沙模拟)设函数f(x)=QUOTE若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】选C.①当a>0时,-a<0,由f(a)>f(-a)得log2a>loQUOTEa,所以2log2a>0,所以a>1.②当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a)得,loQUOTE(-a)>log2(-a),所以2log2(-a)<0,所以0<-a<1,即-1<a<0.由①②可知-1<a<0或a>1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算:log2(QUOTE-QUOTE)=.【解析】原式=QUOTElog2(QUOTE-QUOTE)2=QUOTElog2(4-2QUOTE)=QUOTElog2(4-2)=QUOTElog22=QUOTE.答案:QUOTE【一题多解】本题还可以采用如下解法:原式=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是.【解析】由于a>0,且a≠1,所以u=ax-3为增函数,所以若函数f(x)为增函数,则f(x)=logau必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,所以a-3>0,即a>3.答案:(3,+∞)10.(2016·南昌模拟)设实数a,b是关于x的方程|lgx|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是.【解析】由图象可知0<a<1<b<10,又因为|lga|=|lgb|=c,所以lga=-c,lgb=c,即lga=-lgb,lga+lgb=0,所以ab=1,于是abc=c,而0<c<1.故abc的取值范围是(0,1).答案:(0,1)(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x,则f(log49)的值为()A.-3 B.-QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选B.因为x<0时,f(x)=2x,所以x>0时,f(-x)=-f(x)=2-x,即f(x)=-2-x,所以f(log49)=f(log23)=-QUOTE=-QUOTE.2.(5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是()【解析】选D.方法一:分a>1,0<a<1两种情形讨论.当a>1时,f(x)=xa(x≥0)与g(x)=logax均为增函数,但f(x)=xa递增较快,排除C;当0<a<1时,f(x)=xa(x≥0)为增函数,g(x)=logax为减函数,排除A,由于f(x)=xa递增较慢,所以选D.方法二:幂函数f(x)=xa的图象不过(0,1)点,排除A;B项中由对数函数g(x)=logax的图象知0<a<1,而此时幂函数f(x)=xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故B错,D对;C项中由对数函数g(x)=logax的图象知a>1,而此时幂函数f(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错.3.(5分)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与g(x)=log5x的图象的交点个数为.【解题提示】先根据函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),得出f(x)是周期为2的周期函数,再把函数的零点转化为两函数图象的交点,利用图象直接得结论.【解析】因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,又x∈[-1,1]时,f(x)=x2.根据函数的周期性画出图形,如图,由图可得y=f(x)与y=log5x的图象有4个交点.答案:44.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域.(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的范围.【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则QUOTE解得-1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0⇔QUOTE>1,解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的范围是x∈(0,1).5.(13分)已知函数f(x)=log2QUOTE(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域.(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立.求实数m的取值范围.【解题提示】(1)中结合奇函数的定义f(-x)=-f(x),代入整理得到a的值,求函数定义域时需要满足真数为正,解不等式得到自变量的范围.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数最值.【解析】(1)因为函数f(x)=log2QUOTE是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以log2QUOTE=-log2QUOTE,即log