高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测）（学生版）

专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+1A．1项 B．k项 C．2k−1项 D．22．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+⋅⋅⋅+n2A．k2+12 B．k2+1 3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n+1)与f(n)之间的关系为（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n−14．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“5n−2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将A．55k−C．5−25k−5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n>1324A．增加了一项1B．增加了两项12k+1，C．增加了两项12k+1，12(k+1)D．增加了一项12(k+1)，又减少了一项6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋n(n−1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（

A．a1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k−1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）当n＝1时，12（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“(3n+1)⋅7n−1(n∈N∗)能被9整除”，在假设A．3×7k+6 B．3×7k+1+6二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式n2+n≤n+1n∈N∗，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈NA．过程全部正确 B．n=1时证明正确C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N∗时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5A．当n=4时，命题不成立B．当n=1时，命题可能成立C．当n=6时，命题不成立D．当n=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明2n−12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．412．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列an满足an+1=−anA．0<B．aC．对任意正数b，都存在正整数m使得11−D．a三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为.14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋n(n+1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式1+12+13+14+⋯+1216．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2n−1=（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋⋯＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝1−2k+11−2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1218．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数n,419．（8分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列an的首项为4，满足a(1)求a2，a(2)用数学归纳法证明你的猜想．21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当n∈N∗时，n=n+1．证明：假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即k=k+1．则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边．所以当n=k+1时，等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式n=n+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn证明，①当n=1时，左边=S1=a②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面两式相加并除以2，可得Sk+1即当n=k+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是S22．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a