高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲（学生版）

专题3.3椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0<e<1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.5．椭圆的几何性质的挖掘(1)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.

说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.

(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆的焦半径

a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.

b.焦半径公式：

已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，

当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】【方法点拨】(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆C:x2a2+y2A．x22+y2=1 B．x【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A．x218+y216=1 B．【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（

A．x2100+C．x225+【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点2,0的椭圆方程是（

A．x24+y2C．x24+y2【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】【方法点拨】根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.【例2】（2022·全国·高二课时练习）椭圆C:x216A．8，4，(±23,0) B．8，4，(0,±23) C．4，2，(±23,0) 【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆x237+A．23 B．5 C．43 【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）若椭圆x225+y2A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】【方法点拨】求椭圆的离心率通常有如下两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆C:x2m+yA．55 B．12或55 C．12或32【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆C:x2a2+y2A．0,55 B．55,1 C．【变式3-2】（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点MA．24 B．12 C．62【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上存在点A．0,14 B．14,1 C．【题型4根据椭圆的离心率求参数】【方法点拨】根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2=1(a>0)A．2 B．12 C．2或22 D．2【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)A．4 B．4或−54 C．−45 【变式4-2】（2021·甘肃·高二阶段练习（理））“m=8”是“椭圆x2m+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）设e是椭圆x2k+y2A．0,3 B．3,C．0,2 D．0,3【题型5椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x29+y2b2=1b>0A．1 B．2 C．3 D．6【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+yA．2 B．23 C．4 D．【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1A．1 B．2 C．3 D．2【题型6椭圆的实际应用问题】对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆的性质进行求解，注意要满足实际情况.【例6】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．154 B．32 C．26【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−5A．34 B．58 C．74【变式6-2】（2021·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示