高中数学培优讲义练习（必修一）：专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲（教师版）

专题3.1函数的概念及其表示-重难点题型精讲1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：

(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型1对函数概念的理解】【方法点拨】定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函数的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【解题思路】利用函数的定义，判断即可．【解答过程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，满足函数的定义，（1）正确；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；当x＝1时，对应的y＝±1，不满足函数的定义，（2）不正确；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z，满足函数的定义，（3）正确；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．当x＝1时，y需等于0，而y∈N*中没有0与之相对应，（4）不正确．故选：B．【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形，对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【解题思路】根据函数的定义判断即可．【解答过程】解：对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确，对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误，故选：B．【变式1-3】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（）A． B． C． D．【解题思路】根据函数的定义，举反例，一一判断即可．【解答过程】解：对于A，B均有函数值不在集合B内；对于C，它是一对多，不是函数的图象．故选：D．【题型2同一函数的判断】【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．【例2】（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2−1x−1，D．y1=【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：对于选项A，第一个函数的定义域为R，第二个函数的定义域为[0，+∞），故错误；对于选项B，第一个函数与第二个函数的定义域都为R，对应关系也相同，故正确；对于选项C，第一个函数的定义域为{x|x≠1}，第二个函数的定义域为R，故错误；对于选项D，第一个函数的定义域为[1，+∞），第二个函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故错误；故选：B．【变式2-1】（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【解题思路】根据同一函数的定义判断．【解答过程】解：f（x）＝x+1的定义域为R，A．g(x)=3x3B．g(x)=xC．g(x)=xD．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故错误；故选：A．【变式2-2】（2021秋•黑龙江期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：函数y＝x的定义域为R，对于选项A：y＝|x|=x，x≥0对于选项B：y=x2x的定义域为{x|x≠0}对于选项C：y=(x)2的定义域为[0，+对于选项D：y=3x3=x定义域为故选：D．【变式2-3】（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与y=x2x+1 B．y＝x3与y＝（x﹣C．y＝|x|与y=(x)2 D．y＝x【解题思路】根据同一函数的两个条件即定义域与解析式完全相同对应各个选项判断求解即可．【解答过程】解：选项A：因为函数y＝x+1的定义域为R，而函数y=x2x+1＝x+1，定义域为{x|x≠选项B：两个函数的解析式不同，故B错误，选项C：因为函数y＝|x|的定义域为R，而函数y＝（x）2的定义域为[0，+∞），故C错误，选项D：因为y＝x0＝1，函数定义域为{x|x≠0}，函数y=1x0=1，函数定义域为{x|x≠故选：D．【题型3函数的定义域问题】【方法点拨】(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例3】（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由题意，x＞04−x2≥0，解得∴函数f（x）=1x+4−x故选：C．【变式3-1】（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【解题思路】根据函数的解析式及函数的定义，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：因为f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，所以0≤x+1≤16，所以0≤解得1＜x≤4．故选：B．【变式3-2】（2022春•疏勒县校级期末）函数y=x−2x中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：要使原式有意义，则x−2≥0x≠0∴自变量x的取值范围是x≥2．故选：B．【变式3-3】（2022春•阎良区校级期末）若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【解题思路】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．【解答过程】解：∵函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为R，∴ax2+ax当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．当a＜0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．综上可得，a∈[0，4]，故选：A．【题型4函数的值域问题】【方法点拨】(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；(2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例4】（2022春•定南县校级月考）函数y=2x−A．(−∞，−158] B．(−∞，−15【解题思路】先进行换元，然后结合二次函数的性质可求．【解答过程】解：令t=x−1，则x＝t2+1，t≥0y=2x−x−1=2t2+2﹣t＝2（t−1根据二次函数的性质可知，当t=14时，函数取得最小值158，即故选：D．【变式4-1】（2021秋•宁乡市期末）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=x2−2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【解题思路】A中的函数变成：y＝|x﹣1|≥0，B中的函数可以变成：y=1+1x+1，由x∈（0，+∞）可得到y∈（1，2），C中的函数的值域显然不连续，所以便选【解答过程】解：A．y=x2−2x+1=|x−1|≥0，∴该函数的值域为B．y=x+2x+1=1+1x+1，∵x＞0，∴x+1＞1，0＜1x+1C．∵x∈N，即该函数的定义域是由孤立的自然数组成，所以值域也应是不连续的数构成；D.y=1|x+1|＞0，∴该函数的值域为（故选：D．【变式4-2】（2022春•水富市校级期中）若函数f(x)=x−2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数A．(14，4] B．[14，4]【解题思路】由已知结合函数单调性及已知函数值域对问题进行转化得m＝a−a−2，m＝b−b−2，问题转化为m＝x−x−2在[2【解答过程】解：因为f(x)=x−2+m在区间[a，b]上单调递增且函数的值域为[a，b]（b＞a≥所以a−即m＝a−a−2，m＝b−问题转化为m＝x−x−2在[2，+令t=x−2，x＝2+t2且t≥0所以x−x−2=t2﹣t+2，t≥令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0，所以y＝m与g（t）＝t2﹣t+2＝（t−12）2+74在因为g（12）=74，g（2结合二次函数的性质可知，74故选：C．【变式4-3】（2022春•天河区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数f(x)=12x2−3x+4(1＜x＜4)，则函数A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【解题思路】由f(x)=12x2−3x+4=12(x−3)2−12，x∈（1，4），得函数在（1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，从而f(x)min=f(3)=−12，再由f(1)=【解答过程】解：因为f(x)=12x2−3x+4=12(x−3所以函数在（1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，所以f(x)min=f(3)=−12，又f(1)=32所以f(x)∈因为y＝[f（x）]，所以y∈{﹣1，0，1}．故选：B．【题型5求函数值或由函数值求参】【方法点拨】(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例5】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【解题思路】由已知中函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)(x＞【解答过程】解：∵已知函数f(x)={x+1∴f(5f[f(52)]=f(故选：B．【变式5-1】（2022春•祥云县期末）已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【解题思路】结合题意，需要对a进行分类讨论，若a≤0，则f（a）＝1+a2；若a＞0，则f（a）＝2a，从而可求a【解答过程】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，则f（a）＝2a＝10∴a＝5综上可得，a＝5或a＝﹣3故选：B．【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）设函数f(x)=12x−1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【解题思路】由分段函数的解析式知，当x≥0时，f（X）=12x−1；当x＜0时，f（x）=1x；分别令f（a【解答过程】解：由题意知，f（a）＝a；当a≥0时，有12a−1=a，解得a＝﹣当a＜0时，有1a=a，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣所以实数a的值是：a＝﹣1．故选：B．【变式5-3】（2021秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）=x，(x≥0)x2，(xA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解题思路】已知f（x）为分段函数，把x＝﹣2代入解析式y＝x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看为一个整体，继续代入求解；【解答过程】解：∵已知函数f(x)=x∴f（﹣2）＝（﹣2）2，∴f（f（﹣2））＝f（4）＝4，故选：C．【题型6函数的表示法】【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例6】（2021•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点【解题思路】根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．【解答过程】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲＝S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选：D．【变式6-1】（2021秋•城关区校级期中）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能【解题思路】当x＝1或x＝2时，g（1）＝g（