2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（理）试题【含答案】

2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（理）试题

一、单选题

1.已知集合A={1,3,5,7},8={y|y=2x+l,x€A},则4B=()

A.{1,3,5,7,9,11,15}B.{1,3,5,7}C.{3,5,9}D.{3,7}

【答案】D

【分析】根据题意，先得到{3,7,11,15},再求交集，即可得出结果.

【详解】因为A={1,3,5,7},

所以8={y|y=2x+l,xeA}={3,7,ll,15},

因此AcB={3,7}.

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.

2.已知复数z满足z（2+3i）=13,则在复平面内）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】首先化简复数z和5,再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限.

^13(2-3/)_

【详解】z=J3/

2+3/(2+3/)(2-3z)

：.z=2+3i,复数2在复平面内对应的点是（2,3）,在第一象限.

故选：A

【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题型.

3.已知命题p：3xeR,x2-x+l＞（）:命题/若“晨尸，则下列命题为真命题的是（）

A.P5B.C.F八qD.~P八f

【答案】B

【分析】先判断出命题2国的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题P：Hx=0,使f一x+iwo成立，故命题。为真命题；

当。=1,0=-2时，成立，但不成立，故命题。为假命题；

故命题PA4,r7Ar均为假命题，命题为真命题.

故选：B.

4.函数/(x)=-2x+lnx的图像在点(1J⑴)处的切线方程为()

A.x+y+l=OB.x-y+1=0C.2x-y+1=0D.2x+y-l=0

【答案】A

【解析】求得切线的斜率为r(i),并计算出/⑴的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】f(x)=-2x+\nx,则r(x)=g-2,则/")=-2,/'。)=一1,

因此，所求切线方程为y+2=-(x-l),即x+y+l=0.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

5.踢壁子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易

行的健身活动.某单位组织踢毯子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢

健子的数目分别为26,29,32,45,51；乙组每人在1分钟内踢催子的数目分别为28,31,38,42,

49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢犍子的数目之和为奇数的概率是

5二4八13-12

A.-B.-C.—D.—

992525

【答案】C

【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢链子的数目之和为奇

数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.

【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有5x5=25种取法；

其中抽取两人踢壁子的数目之和为奇数有2x2+3x3=13种取法；

从而所抽两人踢犍子的数目之和为奇数的概率是芸13

故选：C

【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.己知A3C的面积$=曰(/+/-。2),且ac=4sinAsinC,则6=()

A.72B.y/3C.2D.3

【答案】B

【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式求出8的值，再根据正弦定理上和6的值.

sinB

【详解】解：AABC中，a1-\-(r-b1=2rzccosB,

面积为5=曰(/+c2一力2)=*accos8=g〃csin8,

/.tanB=>/3，

又3£(0,%)，

••s=r

又ac=4sinAsinC,

sinAsinCsinB

h.

----=2,

sinB

b=2sin3=2xsin2=6.

3

故选：B.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属

于基础题.

7.在等比数列｛%｝中，%，%5是方程V—6x+8=o的两个根，贝I」妇2=()

。9

A.2夜B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】利用根与系数的关系和等比数列的性质求解即可

阳+阳=6,

【详解】由题意可得

的15=8，

所以《知=a9=a)a!5=8.

〃3+a\5-6>0,

因为

。3阳=8>0,

所以%>0,〃15>。，所以内>0，

所以偈=20,所以等=+=2夜.

故选：A.

8.若将函数f(x)=cos(2x+1)的图象向左平移去个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法

不,颂的是()

TT

A.g(x)的最小正周期为7B.g(x)在区间0,-上单调递减

C.x咤不是函数g(x)图象的对称轴D.g(x)在-菅系上的最小值为一;

【答案】B

【解析】由函数图像的变换可得g(x)=cos(2x+?J,结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即

可判断选项，得出答案.

【详解】解：g(x)=cos^x+^71(c万)

+—71=cos2x+—,

1122I3

对A,g(x)的最小正周期为7=子="，故A正确;

,c717147c

对B,当0,y时，2x+y€时，故g(x)在o，；上有增有减，故B错误;

3

7T

对C,g0,故》='不是g(x)图象的一条对称轴，故C正确;

V2

对D,当时，2x+g71w02,7?,且当2x+7f1=寻2万，即X=J时，g(x)取最小值-!，故

oo333362

D正确.

故选：B.

则图象为如图的函数可能是()

B-y")-g(x)V

A.y"(x)+g(x)-a

C.y=f(x)g(x)

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=/(x)+g(x)-；=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除

A；

对于B,y=/(x)-g(x)-；=/-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

则yr=2xsinx+ix2+—jcosx,

对于c,y=/(x)g(x)=x2+—|sinx,

4j

X等＞0,与图象不符，排除C.

当X弋时’y'=一71X也+归+_L

22(164

故选：D.

10.在直三棱柱ABC-A8。中，ZACB=90°.£分别是A蜴、AG的中点，CA=CB=CC、,

则Ag与8R所成角的余弦值为（）

&岳口闻「而V30

A.-----D.-----L・-----n.------

15151010

【答案】D

【分析】以C为坐标原点，以CB、CA、CG方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，如图,

设BC=8A=CG=1,分别求出叫、Ag的坐标，根据空间向量的数量积求出cos（明,伤）即可.

【详解】以C为坐标原点，以CB、CA.CG方向分别为X、八z轴正方向，建立空间坐标系，

如图，设5C=AC=CG=1,B（I,0,0）,B|（l,0,l）,A（0,l,0），A（0,l,l），D（g,g』），G（0,0，l），E（0,g,l）

则8.=（-g,；,l）,Ag=（0,-；,1）,

/…BD.•AE.>/30

所Ncos（BDi，AE）=i----ji------r=-----

所以\/B闻b司io，

故选：D

X2V2

F1'&分另”是双曲线靛-%=1（a>。'b>0）的左、右焦点，过点Fl的直线I与双曲线的左

右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）

A.72B.也C.75D.y/l

【答案】D

【详解】如图，设等边三角形边长为加，设|4周=》，根据双曲线的定义有〃?+x-，〃=，”-x=2a,

解得机=4〃,x=2a.在三角形8耳工中，由余弦定理得（2cy=（6a『+（4a『-2•6a-4acosy,化简得

4c2=28/,e="

12.已知r(x)是函数/(X)的导数，且/(-x)=/(x),当x±0时,f'(x)>3x,则不等式

—的解集是()

A.(--,0)B.(-00,--)C.(―,+oo)D.(-00,—)

【答案】D

T.

【分析】构造函数g(X)=f(X)-；x2,根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.

-Z

【详解】设g(x)=/(x)-］x2,贝Ijg，(x)=f'(x)—3x,

因为当xNO时，r(x)>3x,所以当xNO时，g'(x)>0,

即g(x)在［0,+=»)上单调递增，

因为/(-x)=/(x),所以/(X)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)在(F,0］上单调递减.

333

因为f(x)—/(x—1)<3x—5，所以f(x)--x2<f(x-l)--(x-l)',

即g(x)<g(x-l),

则-”，解得

故选：D.

二、填空题

x2,x<0

13.已知f(x)=,贝4(7(-2))=

2x-2,x>0

【答案】14

【解析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.

x2,x<0

【详解】因为/(©=所以/(-2)=(-2)2=4,

2v-2,x>0

贝IJ/(/(-2))=/(4)=2*-2=16-2=14.

故答案为：14.

【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题型.

14.已知向量a=(1,3),3=(-2,幻，且(a+2b)//(3a-8),则实数k__.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐标公式求解即可.

【详解】.。+2/>=(-3,2A+3),3a-6=(5,9-A),(a+26)//(3a-〃)

,―3x(9—女)=5x(2&+3),解得k=-6

故答案为：-6

15.已知正三棱柱ABC-AqG的侧棱长为4,底面边长为后，且它的六个顶点均在球。的球面上,

则球。的体积为.

【答案】8瓜兀

【分析】根据题意画出图形，由正弦定理求出,.A6C的外接圆半径，再根据勾股定理，求出球的半

径，根据球的体积公式即可求解.

【详解】解：如图所示，

设..ABC中心为G,连接OG,04,4G,08,

根据等边三角形性质知：AG是一ABC外接圆半径，

根据正弦定理得：24G：=-如一，得：AG=3,

sin60

又.==2,

在Rt.,OAG中，0A=J(0Gl+(AG)2=,2?+(&/=卡,

故球。的体积为：$x("『=8&.

故答案为：8瓜兀.

16.已知a,。为正实数，直线）=x—a与曲线）=ln（x+。）相切于点（xo,yo）,则?的最小值是

ab

【答案】4

【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得%=1-g%=0,进而可得6+。=1,再利

用，+4=仕+口（〃+3,结合基本不等式即可得解.

ab\abJ

【详解】对y=ln（x+b）求导得y=一二，

因为直线y=x—。与曲线尸ln（x+Z?）相切于点（xo,泗），

所以一「=1即％=1-万，

所以%=如小+3=如（1一匕+8）=0,所以切点为（1-九0）,

由切点（1一A0）在切线y=x—a上可得1一。一。=0即〃+。=1,

所以•1+，=（，+，］（.+3=2+。+幺22+2、^^=4,

ab\ab）abNab

当且仅当6=a=g时，等号成立.

所以—•­7的最小值是4.

ah

故答案为：4.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求

解能力，属于中档题.

三、解答题

17.在二43c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos*B-cos?C=sin?A-J^sinAsinB.

⑴求角C；

⑵若乙4=2，_45c的面积为4石，M为AB的中点，求CM的长.

6

【答案】（1）C=7

O

Q）CM=2币

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理，即可求解;

（2）首先判断三角形的形状，再根据三角形面积公式求边长，最后根据余弦定理求CM长.

【详解】（1）由正弦定理，sin?C-sin?8=sin?A-GsinAsin8可化为

整理得到。2-从=〃2一6",

艮|Jc2=a2+h2->/3ah.

又由余弦定理，得cosC=_+__’2=/.

lab2

jr

因为0<C<7T,所以。二台.

6

(2)因为A=C=F，所以为等腰三角形，且顶角8==.

63

故S"BC=46，所以a=4.

在一M8C中，由余弦定理，得

CM2=MB-+BC2-2MBxBCcosB,

,1

CM-=4+16+2x2x4x-=28,

2

解得CM=2币.

18.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网

上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之

比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

满意不满意总计

男生

女生

合计120

（1）完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名

学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为-求出J的分布列及期望值.

n^ad-hey

附公式及表：K2=其中"=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为白9

X

【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算K?，对照附表得出结论;

（2）由题意知J的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值.

【详解】解：（1）120名学生中男生有120乂百匕=55（人），女生有65人，

结合题意填写列联表如下：

满意不满意总计

男生302555

女生501565

合计8040120

、工gs120x（30x15-50x25）2960._

计算K?=------------------=—«6.713,且n6.713>6.635,

80x40x55x65143

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关''；

（2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，

从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数专的可能取值为0,1,2,3；

计算产（4=0）=会=*，p（g=i）=警=£,p«=2）=等=3，PG=3）=9=（；

G28G28c856c；56

所以4的分布列为：

g0123

515151

P

28285656

J的数学期望值为E（g）=0x=lx2

2oZo303030o

19.如图，底面ABC。是边长为1的正方形，平面ABC。，AF//DE,DE=3AF,8E与平面

ABC。所成角为60。.

E

(1)求证：ACA.平面BOE；

(2)求二面角尸-3E-£＞的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)巫.

13

【分析】(1)由已知可得。E2AC且AC18。，由线面垂直的判定定理即可得到证明；(2)以。为

原点，D4方向为x轴，OC方向为y轴，OE方向为z轴建立空间直角坐标系，利用已知条件求出

平面的一个法向量和平面8DE的一个法向量，利用向量的夹角公式计算即可.

【详解】(1)证明：：上工平面4台。。，ACu平面A3CD,

所以DESAC,

又•.•底面A8CO是正方形，

ACJ.BD.

•:BDcDE=D,

/.4。，平面8。£：.

(2)解：•.♦D4,”,DE两两垂直，

，以。为原点，D4方向为x轴，DC方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，

,£(O,O,76),B(I,I,O),C(O,I,O),

设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),

_y+半z=o,

n-BF^O

则《即

n•EF=0'X-哈=0,

令z=V6,则〃=(4,2,\[b).

••'AC，平面BOE,则CA为平面BDE的一个法向量，

•**C4=(l,-l,0),cos(n,CA)=^y-,

•・•二面角F—BE—D为主兑角,

...二面角b一BE-。的余弦值为史.

13

【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，求解二面角大小的关键是正确解出两个半平面的

法向量，然后由法向量的夹角得出二面角的大小.

20.已知椭圆C：m+《=l(a>b>0)的左顶点为W-2,0),离心率为".

a'b'2

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点N(l，0)的直线1交椭圆C于A,B两点，当MA.MB取得最大值时，求△M4B的面积.

【答案】(1)C:二+汇=1；(2)班

422

【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2,再由e=£可得c,进而求得椭圆方程.(2)设1的直线方程为

a

x=ty+\

x=ty+lf和椭圆方程联立If2,可得(*+2)/+2)-3=0,由于△〉()，可用t表示出两个交

——+—=1

[42

点的纵坐标y+%和)管必，进而得到M4,M3的关于t的一元二次方程，得到M4.M5取最大值时t

的值，求出直线方程，而后计算出的面积.

【详解】(1)由题意可得：a=2,工=交，得c=0,则/=Y-C2=2.

a2

所以椭圆C的方程：C:—+^-=1

42

(2)当直线/与x轴重合，不妨取4-2,0),8(2,0),此时M4.MB=0

当直线/与x轴不重合，设直线/的方程为：x=ty+l,^A(xl,yt),B(x2,y2),

x=ty+l

联立，d2得(r+2)y2+2ry-3=0,

—+—=1

142

-2/-3

显然△>()，%+丫2=^^，

所以MA・MB=(%+2)(X2+2)+yty2=(tyt+3)(佻+3)+yty2

=(t2+Dy%+3r(y+%)+9=(r+++9

-3厂-3-6『-9/~—3-15

=---------+9=-----+9=---

r+2产+2，+2

当f=0时，MA.MB取最大值5.

此时直线/方程为x=l,不妨取4L4),B。,-4)，所以|A用=".

又|MN|=3,所以AM4B的面积S=gx^x3=¥

【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型

考题.

21.已知函数/(x)=lnx-or.

(1)若函数在定义域上的最大值为1,求实数。的值；

(2)设函数〃(x)=(x-2"'+/(x),当“21时，网可对任意的恒成立，求满足条件的

实数分的最小整数值.

【答案】(1)a=e-\(2)-3.

【分析】(1)先对函数丁=/(力求导，对实数。分。>0和两种情况讨论，利用导数分析函数

丁=/(力在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数”的值；

(2)由已知整理可得，b2(x-2)e'+lnx-以对任意的xe(g,l恒成立，结合,x>0,可知

(x-2)e*+lnx-ax4(x-2)e*+lnx—x,故只需bz(x-2)e"+lnx-x对任意的恒成立，构造

函数g(x)=(x-2)e'+lnx-x,利用导数求出函数y=g(x)的最大值的取值范围，由此可求得满足

条件的实数匕的最小整数值.

【详解】(1)由题意，函数y=/(x)的定义域为(。,+8),7(x)=：-a,

当a<0时，,f(x)=1-a>0,函数y=/(x)在区间(0,+0上单调递增，

此时，函数y=/(x)在定义域上无最大值;

当a>0时，令/'(x)=，-a=O,得x=L

xa

由/")>°，得由r(x)<0,得xe(：,+8),

此时，函数y=〃x)的单调递增区间为(0,力，单调减区间为+8).

所以函数F(x)11m=/(X)极大值=/(：)=ln/-l=1=。=《,

即。=/为所求；

(2)由〃(x)=(x-2)e*+lnx—ar,因为〃(x)4。对任意的xeg)恒成立，

即分2(x-2)e*+lnx_ar,当aNl时，对任意的xe(g,日恒成立，

6Z>1,x>0,(x-2)ev+\nx-ax<(x-2)ex+\nx-x,

只需bN(x-2)e*+lnx-x对任意的恒成立即可.

构造函数g(x)=(x—2)e*+Inx—x,g，(x)=(x_l)e*+g_]=-g),

.”一1<0,且，(x)=e*-g单调递增，

(；)=涓-2<0,Ml)=e-l>0,.•.一定存在唯一的/e，/)，使得〃不)=0,

31

即/=_,x0=-lnx0,

xo

且当;<x<x°时，f(x)<0,即g'(x)>0；当X0<X<1时，f(x)>0,BP/(x)<o.

所以，函数y=g(x)在区间G%)上单调递增，在区间(修,1)上单调递减，

g(旦皿=g(X。)=(X。-2)*+In%%=1-2x0+,[e(-4,-3),

\xoJ

因此，方的最小整数值为-3.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题,

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，己知直

Ix=2t.

线/的参数方程为ca为参数)，曲线C的极坐标方程为0cos2e=8sin6».

l.v=2+z

(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线;

(2)若直线/与曲线C的交点分别为M