2024届中考数学压轴题攻略（湘教版）专题07 等腰三角形与等边三角形压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题07等腰三角形与等边三角形压轴题五种模型全攻略考点一等腰三角形的定义考点二根据等边对等角求角度考点三根据等腰三角形中三线合一求解考点四等腰三角形的性质与判定考点五等边三角形的性质与判定典型例题典型例题考点一等腰三角形的定义例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：；当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°∴∠C的度数不可能是65°．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键．2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．【详解】解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意；若底边长为4，则腰长为，此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意；综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．考点二根据等边对等角求角度例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【解析】【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．【详解】解：设∠B=x∵AC=DC=DB∴∠CAD=∠CDA=2x∴∠ACB=180°-2x-x=105°解得x=25°．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180°，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．【变式训练】1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（

）A． B．4 C．6 D．5【答案】D【解析】【分析】先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10，从而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC=60°，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE=10，∴∠BAE=∠B=30°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，∴CE=AE=5，故选：D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．【答案】18°【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD=36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解∠DAC的度数．【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-36°=54°，∴∠DAC=54°-36°=18°．故答案为：18°．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解∠BAD，∠BAC的度数是解题的关键．考点三根据等腰三角形中三线合一求解例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为_____．【答案】【解析】【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点A作于点E，∵AB=AC，∴E是BC的中点，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，，是的中线，，且AD平分，，，是的角平分线，，，，，，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．【答案】【解析】【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分线交BC于点D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案为：．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．考点四等腰三角形的性质与判定例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【答案】(1)见解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论；（2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ACB的度数为22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度数为22.5°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．【变式训练】1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝°；(2)当∠BAD＝____°时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．【答案】(1)20(2)15，理由见解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案为：20；(2)解：∠BAD＝15°时，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①当DA＝DE时，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②当EA＝ED时，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．(1)若的周长为18cm，求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)AB=18cm；(2)∠MCN=40°．【解析】【分析】（1）垂直平分线上的点到两端距离相等，则AM=CM，BN=CN，△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB（2）根据三角形的内角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，对顶角相等则∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度数，再根据三角形的内角和求出即可．(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为18cm，∴AB=18cm；(2)∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点睛】本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等”得到线段和角度之间的关系是解题的关键．考点五等边三角形的性质与判定例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．(1)证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等边三角形，∵，∴．∴的长为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．【答案】2【解析】【分析】根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．【详解】解：∵∠BAC=∠B=60°，∴∠C=∠BAC=∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=4，∵D点为BC的中点，∴BD=2，故答案为：2．【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键．2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)△AOD是直角三角形，理由见解析(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC，∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形．(2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，α=150°，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形．(3)∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．【点睛】题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若，则∠CAD的度数为（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】根据等腰三角形的三线合一可得答案．【详解】解：∵

AB＝AC，AD⊥BC，，∴．故选B．【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．2．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且AB=BD，则∠ADC等于(

)A．120° B．135° C．145° D．150°【答案】D【分析】由等边三角形的性质就可以得出AB=AC=BC，∠ABC=60°，由BD=AB就可以得出BC=BD，就有∠4=∠BAD，∠3=∠BCD，由四边形的内角和就可以得出2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，就可以求出∠ADC的值而得出结论．【详解】解：∠ADC的大小不发生变化．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=60°．∵BD=AB，∴∠4=∠BAD，BD=BC，∴∠3=∠BCD．∵∠4+∠BAD+∠3+∠BCD+∠1+∠2=360°，∠1+∠2=60°，∴2∠3+2∠4+60°=360°，∴∠3+∠4=150°，即∠ADC=150°．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，解答时灵活运用等边三角形的性质求解是关键．3．（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．13或17【答案】C【分析】先将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵∴，∴，∴a=3，b=7.分两种情况讨论：当腰为3时，3+3<7，不能构成三角形，当腰为7时，3+7>7，能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17．综上所述：该等腰三角形的周长为17．故选C．【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将58改成9+49，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（

）A．80° B．50° C．55° D．100°【答案】B【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可得∠BAD＝50°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝50°＝∠DBE．【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC，∴∠BAD＝50°，∵ADBC，∴∠ABC＝∠BAD＝50°，∴∠DBE＝∠ABC＝50°，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图，在直角三角形中，，，点、在上，如果，，那么图中的等腰三角形共有个．（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】先求出各个角的度数以及边的等量关系，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，即，∴，，∴，，，都是等腰三角形，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．二、填空题6．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________．【答案】100°或40°【分析】根据题意可分当顶角为40°时和底角为40°时进行分类求解即可．【详解】解：①当顶角为40°时，则底角的度数为：；②当底角的度数为40°时，顶角的度数为；综上所述：它的顶角的度数为40°或100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．7．（2022·浙江丽水·八年级期中）已知等腰三角形的周长20cm，一边长为8cm，则它的腰长是__________．【答案】8cm或6cm##6cm或8cm【分析】当腰长=8cm时，底边=20-8-8=4cm，当底边=8cm时，腰长==6cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当腰长=8cm时，底边=20-8-8=4cm，∴当底边=8cm时，腰长==6cm，∴腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．8．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝________度．【答案】12【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：，点为的中点，，，，，，故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．9．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MNBC，若AB=5，△AMN的周长等于12，则AC的长为______．【答案】7【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MNBC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC，于是得到答案．【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MNBC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________【答案】90°或108°【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可．【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＝x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，△ADG为等腰三角形时，存在三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA，即x+45°+x+45°+x＝180°，x＝45°，∴∠C＝90°，②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD，x＝45+x，x＝90°，∴∠C＝180°（不符合题意，舍去），③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，2x+45+x＝180，x＝54°，∴∠C＝108°，综上，∠C的度数为90°或108°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．三、解答题11．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=AD=DC，∠B=60°，求∠C，∠BAC的度数．【答案】∠C=30°，∠BAC=90°．【分析】先根据AB=AD，∠B=60°求出△ABD是等边三角形，求得∠ADB=60°，再由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出∠C的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出∠BAC的度数．【详解】解：∵AB=AD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∵AD=CD，∴∠C=∠DAC=∠ADB=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=90°．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．(1)求证：∠ADB＝∠BAC；(2)求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)36°【分析】（1）利用AB＝AC，AD＝BD，得出角相等，再利用三角形外角和定理即可解得．（2）利用AC＝CD，可得∠2和∠ADC的关系，利用三角形外角和，可求得∠DDC＝∠B+∠1，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B．（1）证明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是三角形内角和定理的应用．13．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，在AB上取AE＝AC，连接CE，作AD⊥CE于点D，交BC于点F．设∠B=α．(1)用含α的代数式表示∠AEC为________，当∠BCE＝30°时，α＝_______°；(2)判断BC与AD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)90°﹣α，30；(2)BC＝2AD，理由见解析【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和解答即可；（2）过C作CG∥AB交AD的延长线于点G，由平行线的性质得∠BCG＝∠B＝α，∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，再由等角对等边得CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，再由三线合一及线段的和差进一步证得BC＝2AD．（1）解：∵∠BAC＝2∠B，∠B=α∴∠BAC=2α，∵AE＝AC，∴∠AEC=∠ACE=(180°﹣2α)=90°﹣α，又∵∠BAC=2α,∠B=α，∴∠ACB=180°-3α，∴∠BCE=(180°-3α)-(90°﹣α)=90°﹣2α，当∠BCE＝30°时，∴α＝30°，故答案为：90°﹣α，30（2）如图，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．则：∠BCG＝∠B＝α，∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，又∵∠BAF＝∠B，∴∠BCG＝∠G，∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，∴AG＝AF+FG＝BF+CF＝BC，在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，∴AD＝DG，即AG＝2AD，∴BC＝2AD．【点睛】本题考查等边对等角，三线合一，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质并理清题中边角之间的相互关系．14．（2022·山东泰安·七年级期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．(1)如图，当时，判断△APB的形状并说明理由；(2)在点P的运动过程中，当△APQ的形状是等腰三角形时．请求出∠BQP的度数．【答案】(1)△APB是直角三角形，理由见解析(2)或【分析】(1)由等腰三角形的性质可求∠C=30°=∠B=∠APQ，由平行线的性质可求∠BPQ=∠C=30°，即可求解；(2)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．（1）解：△APB是直角三角形，理由如下：AB＝AC，∠B＝30°，，，，，，是直角三角形；（2）解：当AQ=QP时，，；当AP=PQ时，，；当AQ=AP时，，点P不与点B、C重合，此种情况不存在，综上所述：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是本题的关键．15．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．连结EF．(1)求证：EF⊥BC．(2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．【答案】(1)见解析(2)①；②2.5【分析】（1）由等腰三角形的性质和对顶角相等，以及三角形的内角和，即可得到EH⊥BC；（2）因为△AEF为等边三角形，所以当E、P、Q共线时DP+DQ的值最小，由此可计算DP+DQ的最小值．（1）延长EF交BC于点H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠EAC＝60°，∠B＝∠C＝30°∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE＝60°，∴∠EHB＝90°∴EF⊥BC．（