抛物线及其标准方程导学案

第7课时抛物线及其标准方程1.掌握抛物线定义、标准方程及其几何图形.能用待定系数法求抛物线的标准方程.2.理解标准方程中“p”与抛物线的开口方向、焦点位置的关系.3.亲自体验由具体的演示实验探寻出一般数学结论的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.学习运用类比的思想探寻另三种标准方程.如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.问题1:在上述情境中,点M到点F与点M到直线l的距离.(填相等或不相等),理由是.

问题2:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,定直线l叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l不经过F”,即若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是,而不是抛物线.

问题3:抛物线的标准方程的四种形式:标准方程图象焦点F坐标准线l方程y2=2px(p>0)

x=-p(续表)标准方程图象焦点F坐标准线l方程y2=-2px(p>0)

x=p

(0,p2y=-p

(0,-p2y=p问题4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?先观察方程的结构,一次项变量为x(或y),则焦点在(或y)轴上;若系数为正,则焦点在半轴上;系数为负,则焦点在半轴上;若一次项变量为x,则焦点的横坐标是一次项系数的,纵坐标为;若一次项变量为y,则焦点的纵坐标是一次项系数的,横坐标为0.

1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是().A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)2.抛物线y2=8px(p>0),F是焦点,则p表示().到准线的距离 到准线距离的1到准线距离的18 到y3.抛物线y=4x2的焦点坐标为,准线方程为.

4.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)准线方程是y=3;(2)过点P(-22,4);(3)焦点到准线的距离为2.求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).求抛物线的标准方程(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(3,-23),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.求动点的轨迹方程动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程:(1)y2=6x;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A、B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.

已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足PA·PB=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C、D两点.求证:OC⊥OD(O为原点).1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是().A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为().A.18 183.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=.

4.已知抛物线的方程是y=ax2,求它的焦点坐标和准线方程.(2013年·江西卷)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=().∶5 ∶2 ∶5 ∶3考题变式(我来改编):

第6课时双曲线的简单几何性质的应用知识体系梳理问题1:xa±yb=0接近0问题2:2a2b2a2be=ca(0<e<1)e=ca(e>y=±ba问题3:(1)mx2+ny2=1(mn<0)(2)x2a2-y2b2(3)m2x2-n2y2=λ(λ≠0)问题4:①无公共点②一个③一支④两支基础学习交流∵ba=43,∴b2a2=169=c2-a2a2=c2a2-1,∴(设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>∵△MF1F2为等腰三角形,∠F1MF2=120°,∴∠MF1F2=30°,∴tan30°=bc=33,b2c2-a2c2=1-(ac)2=13,(c3.5双曲线的渐近线为y=±bax.直线x+2y-1=0的斜率为-12.因为y=bax与直线x+2y-1=0垂直,所以ba·(-12)=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=4.解:椭圆的焦点F1(-7,0),F2(7,0),即为双曲线的顶点.∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上,∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(-4,0),A2(4,0),∴c=4,a=7,∴b=c2-a故所求双曲线的方程为x27-y2实轴长为2a=27,虚轴长为2b=6,离心率e=ca=477,渐近线方程为重点难点探究探究一:【解析】由双曲线的方程,知a=3,b=4,所以c=5.由双曲线的定义得,||PF1|-|PF2||=2a=6.上式两边平方得,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100,由余弦定理得,cos∠F1PF2=|=100-1002所以∠F1PF2=90°.【小结】在双曲线的焦点三角形中,经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题,解题过程中,常对定义式两边平方探求关系.探究二:【解析】由声速为340m/s可知,F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×30017=6000(m),因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上设爆炸点P的坐标为(x,y),则|PF1|-|PF2|=6000,即2a=6000,∴a=3000,而c=5000,∴b2=50002-30002=40002.∵|PF1|-|PF2|=6000>0,∴x>0,∴所以所求双曲线的方程为x230002-y24000【小结】在F1处听到爆炸声的时间比在F2处晚30017s,相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000m,这是解应用题的第一关——审题关;根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线,这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题);借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)探究三:【解析】由题意知a=1,b=3,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又直线AB方程为y=x+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),如图,由y=x+2,x2-y23=1,得2x2-4x-7=0,∴x1(1)|AB|=1+k2·(x1+x2(2)由双曲线的定义:|AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,两式相加得:|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10.∴△F2AB的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.[问题]弦AB在双曲线的一支上?还是在双曲线的两支上?还是两种情况都有可能?[结论]由于思路不畅,上面的解法误认为弦AB在双曲线的一支上,实际上由x1x2=-72<0知,A,B两点不在同一支上,也可根据双曲线的渐近线的斜率为±3,而直线AB斜率为1,∵1<3,故直线AB应与左,右两支均相交于是,正确解答为:(1)同错解部分.(2)x1x2=-72<0知,弦AB与双曲线左,右两支均相交,如图,由2x2-4x-7=0得x1=2-322,x2=2+322,所以A(2-32|AF2|=(2-322-2)|BF2|=(2+322-2)2+∴△F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=6+62.【小结】解决直线与圆锥曲线的弦长问题,常将直线的方程与圆锥曲线方程联立,利用两点间距离公式得到弦长公式|AB|=1+k2·(x1+x2思维拓展应用应用一:由题意知:c=13,设椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a1,则a-a由余弦定理、椭圆、双曲线的定义,得|⇒|⇒cos∠F1PF2=45应用二:设M是界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值),∴所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支.若以直线AB为x轴,线段AB的中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则所求双曲线为x2a2-y2b2=2c=|AB|=10=507,∴c=257,b2=c2-a2=3750.故双曲线方程为x2625-y23750=1(25≤x≤35,y≥应用三:(1)y=±2x(2)x24-y25=1(1)根据已知|PF1|=2b2a且|PF2|=b2a,故2b2a-b2∴其渐近线方程为y=±2x.(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x两式作差得:y1-y2x1-又直线AB的斜率是-15-0所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5.所以双曲线的标准方程是x24-y2基础智能检测a2-k>0,b2+k>0,所以a2-k+b2+k=a2+b2=c2.所以两双曲线有相同的焦点.由题意可设直线l的方程为y=b,代入x24-y2=1得x2=4(1+b2),所以x1=4(1+b2)=21+b2,x2=-21+b2,所以|AB|=|x1-x2|=41+b2,所以|AB|=3.±2双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,不妨取y=x,若直线y=x与圆相切,则有圆心(a,0)到直线x-y=0的距离d=|a|2=1,即|a|=2,所以4.解:设MF1的中点为P,在Rt△PMF2中,|PF2|=|MF2|·sin60°=2c·32=3c.又由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a,所以a=3-12c,e=ca=2全新视角拓展根据双曲线方程,a2=1,b2=m>0,则c2=1+m,因为双曲线的离心率大于2,所以ca>2即c2a2>2,所以1+m>2,2.3+1设|F1F2|=2c,则|PF2|=c,|PF1|=3c,|PF1|-|PF2|=2a⇒3c-c=2a,∴e=ca=23-1=第7课时抛物线及其标准方程知识体系梳理问题1:相等由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得|MC|=|MF|问题2:相等焦点过点F且垂直于l的直线问题3:(p2,0)(-p2,0)x2=2py(p>0)x2=-2px(p>问题4:x正负140基础学习交流依题意,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,由2p=8,得p2=2,故焦点坐标为(-2,0),化为标准形式y2=2×(4p)x(p>0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的143.(0,116)y=-116将抛物线方程y=4x2化为标准方程x2=14y,易知:抛物线开口向上,焦点在y轴的正半轴上,由2p=14,得p2=116,故焦点坐标为(0,4.解:(1)由准线方程为y=3知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且p2=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12(2)∵点P(-22,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),将点P(-22,4)代入y2=-2px,得p=22;代入x2=2py,得p=1.∴所求抛物线的标准方程为y2=-42x或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为2,得p=2,故所求抛物线的标准方程为y2=22x,y2=-22x,x2=22y或x2=-22y.重点难点探究探究一:【解析】(1)因为p=7,所以焦点坐标是(-72,0),准线方程是x=7(2)抛物线方程化为标准形式为x2=25y,因为p=15,所以焦点坐标是(0,110),准线方程是(3)由a>0知,p=a2,所以焦点坐标是(a4,0),准线方程是x=-【小结】1.当抛物线方程不是标准形式时,先转化为标准形式,第(3)小题规定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影响结果,表示是一样的.2.求抛物线焦点、准线方程的方法首先要将抛物线方程化成标准形式,求出p后根据抛物线的位置写出焦点和准线方程,注意准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的14探究二:【解析】(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(3,-23),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴(3)2=-2p(-23),即p=34,∴所求方程是x2=-32y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=23或p=94,故所求抛物线方程为y2=-43x或x2【小结】求抛物线标准方程的步骤:(1)设出抛物线的标准方程;(2)根据已知条件求得p;(3)得抛物线的标准方程.探究三:【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x,此即为所求动点M的轨迹方程.[问题]上述解答完整吗?[结论]错解只考虑了一种情况.在此题中,(2,0)到y轴的距离为2,∴x轴上原点左侧的点也满足题中条件.于是,正确解答为:∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x.又∵x轴上(0,0)点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)点的距离小2,∴M点的轨迹方程为y=0(x<0).综上,动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x.【小结】本题考查抛物线的定义、标准方程,判断动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等是解题的关键.思维拓展应用应用一:(1)∵2p=6,∴p=3.又∵开口向右,∴焦点坐标是(32,0准线方程为x=-32(2)将2y2+5x=0变形为y2=-52∴2p=52,p=54,∴焦点为(-58,0),准线方程为x=5(3)∵原抛物线方程为y2=1ax,∴2p=1当a>0时,p2=14a,抛物线开口向右,焦点坐标为(14a,0当a<0时,p2