1.3.2正方形的判定课件北师大版数学九年级上册

1.3.2正方形的判定九年级上册BSD初中数学四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称图形，有四条对称轴.正方形的性质有哪些？对边平行，四条边都相等知识回顾1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.学习目标阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看阳阳还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明手帕是正方形，那么你认为这块手帕一定是正方形吗？课堂导入将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？提示：剪口线与折痕成45°角即可.知识点1：正方形的判定新知探究+有一个角是直角+有一组邻边相等+有一组邻边相等+有一个角是直角+对角线相等+对角线垂直如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？平行四边形矩形菱形正方形判断四边形是正方形有哪些方法？1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.有一组邻边相等的矩形是正方形.定理数学语言：在矩形ABCD中，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.ABDC已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，试证明ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理证明数学语言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO对角线互相垂直的矩形是正方形.定理已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，试证明ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD，又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴AB=AD，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理证明有一个角是直角的菱形是正方形.定理数学语言：在菱形ABCD中，∵∠A=90〫,∴四边形ABCD是正方形.ABDC已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，试证明ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理证明对角线相等的菱形是正方形.定理数学语言：在菱形ABCD中，∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO已知：ABCD

是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理证明例2已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定义）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.例2已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=______.②若EF=8cm,则AC=______.你还记得三角形的中位线定理吗？30°16cm新知探究知识点2：中点四边形如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？任意四边形的中点四边形

是平行四边形.ABCDEFGH●●●●

如果四边形

ABCD

变为特殊的四边形，中点四边形

EFGH会有怎样的变化呢？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形？菱形？正方形？1.平行四边形的中点四边形会是什么形状？平行四边形的中点四边形是平行四边形.你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）●●●●ABCDEFGH矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形.你能试着证明这个结论吗？ABCDEFGH●●●●

已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为菱形.

ABCDEGH●●●●F菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形.你能试着证明这个结论吗？ABCDEGH●●●●F

已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是菱形,∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）.ABCDEGH●●●●F∟∟12PQO正方形的中点四边形会是什么形状？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再证明.ABCDEGH●●●●F

已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.

ABCDEGH●●●●F又∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的对角线相等）

AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2=90°.∴四边形EFGH

为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.ABCDEGH●●●●F

已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为正方形.思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

决定中点四边形

EFGH

的形状的主要因素是原四边形

ABCD的对角线的长度和位置关系.原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形总结1.（教材P25习题第2题）已知：如图，E，F

是正方形ABCD

的对角线BD

上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF

是菱形.证明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四边形AECF是菱形．随堂练习2.（教材P25习题1.8第3题）如图，在正方形ABCD

中，E，F，G，H

分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？解：四边形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四边形EFGH

是正方形3.（教材P25习题1.8第4题）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形

ABCD的边长相等.在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论.

EF4.在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.（1）求证：BF=DE.（2）当点E运动到AC的中点时，说明四边形AFBE是正方形.ABDCEF（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∠BAD=90〫.∵AF⊥AC

,∴∠BAF+∠BAE=90〫.∵∠BAE+∠DAE=90〫,∵AD=AB，∠DAE=∠BAF，

AE=AF,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.∴∠BAF=∠DAE.ABDCEF

（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC.∵AF=AE,∴BE=AF=AE,∴BE//AF.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90〫,∵BE=AF,∴四边形AFBE是平行四边形.∵∠FA