2023年上海普元高级中学高三数学理联考试卷含解析

2023年上海普元高级中学高三数学理联考试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.(5分)若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-4x+3,则函数f(x-1)的单

调递减区间是()

A.(2,4)B.(0,2)C.(2,3)D.(0,1)

参考答案：

A

【考点】：利用导数研究函数的单调性.

【专题】：计算题；导数的综合应用.

【分析】：先确定f(x)的单调递减区间，再利用图象的变换，可得f(x-1)

的单调递减区间.

解：函数f(x)的导函数为f'(x)=X2-4X+3,

o

由f'(x)<0,可得x--4x+3=(x-1)(x-3)<0,得lVx<3.

Af(x)的单调递减区间为(1,3).

又函数f(x-1)的图象是函数f(x)的图象向右平移1个单位得到的，

二函数f(x-1)的单调递减区间为(2,4).

故选A.

【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查图象的平移变化，考查分

析问题与转化解决问题的能力，属于基础题.

2.已知圆M：(x-2)2+(y-3)2=4,过点P(0,t)的直线交圆于不同的两点A,B,且

PA|=|AB,则实数t的取值范围是()

A.[-1,7]B.(3,7]

C.[3-2V2,3)U(3,3+2V2]D.[3-4V2,3)U(3,3+4加]

参考答案：

D

考点：直线与圆相交的性质.

专题：计算题；直线与圆.

分析：由圆M：(x-2)2+(y-3)J%可得圆心M(2,3),r=2.根据割线定理可得

PA|?|PB|=(|PM|+r)(；PM|-r)=|PMJ4,再利用PA|=AB|W2r,|PM|2=22+(3-t)

2,即可得出.

解答：解：由圆M：(x-2)2+(y-3)2=4,可得圆心M(2,3),r=2.

根据割线定理可得|PA|?PB|=(|PM|+r)(|PM|-r)=|PM|2-4,

V|PA|=|AB|,|PM|2=22+(3-t)2,

••.2|AB|=22+(3-t)2-4,

化为(3-t)J21AB2,

；IABIW2r=4,

(3-t)2近2X42=32,

解得3-4&WtW3+4加,

又tW3,

A3-4«WtW3+4圾且tW3.

故选D.

点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、切割线定理、不等式的解法等

基础知识与基本方法，属于难题.

3.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设aVbVc,且a+b+c=O,求证：b2-ac<

3c2,则证明的依据应是()

A.c-b>0B.c-a>0C.(c-b)(c-a)>0D.(c-b)(c-a)<0

参考答案：

C

【考点】R8：综合法与分析法(选修).

【分析】把b=-a-c代入不等式，利用因式分解得出使不等式成立的条件即可.

【解答】解：:a+b+c=0,Ab=-a-c.

要证：b2-ac<3c2,

只需证：(-a-c)'-acV3c2,

即证：a2+ac-2c2V0,

即证：a?-c2+ac-c2<0,

即证：(a+c)(a-c)+c(a-c)<0,

即证：(a-c)(a+c+c)<0,

即证：(c-a)(c-b)>0.

故选C.

【点评】本题考查了分析法证明，属于中档题.

4.若P点是以A(-3,0)、B(3,0)为焦点，实轴长为2的的双曲线与圆x2+y2=9的一

个交点，则旧*四］()

A.二B.二JimC.3'/l二D,4

参考答案：

A

略

5.已知点K尸分别是正方体的及CQ1的棱48.44的中点，点分别是线段

D\E与G尸上的点，则满足与平面ABCQ平行的直线有

A.0条B.1条C.2条D.无数条

参考答案：

D

略

6.函数人力」/-在区间.LI］上的最大值”⑷的最小值是（）

22

A.4B.2C.1

D.2

参考答案：

答案：B

7.设函数/J）定义在实数集上，它的图象关于直线x=l对称，且当x21时,

/（"）=3r7,则有（）

B.(9

A.小G）呜

c.，吗呢D.少

参考答案:

B

8.已知全集集合集合N={H1og/)D,则下列成立的是

()

A.B."U"="C."0(%的=。D.(弓彷0"=。

参考答案：

D

co$6x

9函数」=2，-2”的图象大致为()

参考答案：

D

log,x,x>0[

10.已知函数/(x)=b*,x=0，则“名)】()

1_!

A.9B.9C.9

D.-9

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如图，A、B分别是射线0M、0N上的点，给出下列以。为起点

-OA+LOB-OA+iOB

的向量：①04+203；②23；③43；

-0A+-0B%+无+知

④45；⑤43.其中终点落地阴影区域

内的向量的序号是（写出满足条件的所有向量的序号）.

参考答案：

①③

略

12.已知三边a,b,c的长都是整数，且如果b=

则符合条件的三角形共有▲个（结果用加表示）.

参考答案：

-2-

13.当输入的实数xw[Z30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x

不小于103的概率是«

参考答案：

9

14

试题分析：由程序框图及题意可得2[31♦D'】】""03,解得xA12.

p30-12189

则?30^22814

考点：1.程序框图；2.几何概型；

14.若关于x的不等式x2+!x-a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围

是.

参考答案：

(-2,1)

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】原不等式为：2-->x-a|,我们在同一坐标系画出y=2-x?(y>0,x>0)和

y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围.

【解答】解：不等式为：2-r>鼠-@|,且0V2-X?.

在同一坐标系画出y=2-x?(y20,x>0)和y=|x|两个函数图象，

将绝对值函数y=|x|向左移动，当右支经过(0,2)点，a=-2；

将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x2(y>0,x>0)相切时,

y-0=-(x-a)

'2

由y=2-x,可得/-x+a-2=0,

2

再由△=()解得a=4.

2

数形结合可得，实数a的取值范围是(-2,W).

故答案为：(-2,W).

/X

0<x<3

,0工”4

15.已知X、尸满足约束条件［X+2>22,则2=工十丁的最大值

是.

参考答案：

7

略

16.对于函数产=//)，若在其定义域内存在%，使得儿)=i成立，则称函数r(x)具

有性质p.

(1)下列函数中具有性质p的有

①/(X)-2r2五②/(x)=sinx(xw|&2jrD③"*)=",,(ie(O,ix))

(2)若函数;aMx具有性质P,则实数a的取值范围是.

参考答案：

【知识点】函数中的新概念问题；导数法求最值.BlB12

⑴①②；(2)或解析：⑴①由x("।2巨)刁得：

2?-2岳+10->x—口、1

2,所以①具有性质P.②设/»(*)=xanx1,

J土、>0j0土、|

•.•h(0)=T<0,—,；.Mi)=xsinx1=0->T而x=l在|上有解，所以

x|x+—1lox'OnxOy、

②具有性质p.③由IX.)'(HE),所以③不具有性质P;

=6-Mx=loxlnx='一\,…,

(2)若函数小)二。1nx具有性质P,则a在Wrc)上有解，令

Mx)=xlnx->科x)=lnxT=U=*=&i,可得h(x)在x=e］有最小值-«1，所以

ao>0^a<-e.

【思路点拨】(1)只需分析方程Xf(x)=l在函数f(x)的定义域上是否有解即可；

(2)转化为方程""'-a在(QP)上有解，即a在函数Mr)=xlnr的值域上取值，用

导数求函数加的值域即可.

17.设定义在R上的函数f(x)满足/(x+2)，*)=7,若f(1)=2,则f(107)

参考答案：

7

2.

/(*)=7

试题分析：函数f(X)满足〃x+2)/(x)=7,则/(x+2),

777

加+4=7^7心/GOT)=/(26x4+3)=/(3)=—=-

/(x+4),所以/(x)=/(x+4),/(I)2.

考点：函数的周期性.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系皿F中，尸】、4分别为椭圆。：/V的左、右焦点，A

---

为短轴的一个端点，后是椭圆c上的一点，满足一得4■亍，且御片的周长为

X72+D

(I)求椭圆c的方程；

(II)设点”是线段°&上的一点，过点鸟且与“轴不垂直的直线7交椭圆C于P'。

两点，若A町。是以“为顶点的等腰三角形，求点M到直线/距离的取值范围.

参考答案：

(I)由已知K(工8，设A(Qb),即。耳=(七°)＜加=(0b)

OK二g=与母0*

，2即2...................................1分

c\1*3,1£=逆

a1%'得：a2①...............................2分

又鸟的周长为2（后.D,.•.2a+2c=2+25②.......3分

又①②得：。=1«=戊.•.&=1...所求椭圆C的方程为：-1.....5

(II)设点"Moxovmvi),直线।的方程为，=必/一贴工8................6分

y=4(x-I)

由卜#27=2消去九得：(!+*》-止工+/-2=0

设式及6)以3%),乃0中点为

41?〜--2k

贝卢f

5土巧21>^+>2-k

门k=E见=丁=商

即“(^1•藤)............................................8分

...Alfl先是以“为顶点的等腰三角形:JfNLPQ即

/_]

El**)-24?

£’............................10分

设点“到直线’b—y一上二°距离为</,

/f(rn-D,F(V+D)(kJ+iJ+D51/4】、

则d=』-=而不<7声厂=彳.，喧

（Q,-）

即点"到直线距离的取值范围是2。.........................12分

另解：l-2m，*^+14

法2：•.•AMP0是以“为顶点的等腰三角形

•（AfPlWg）PQ=Q

,:5=（凝-*«>1）.侬=（巧-网力入改=&-玉.，2-比

：.（耳F-2»x巧-&）咐-乂）=。

又=♦玉2）必乂=*（。。）

.（天士天-2^）+上«+叼-2）=0

栩t',4FF

..（曲—人甘-七°..”商

以下同解法一。

19.已知曲线分'=9,点A是曲线G上的动点，以坐标原点。为极点，X轴

正半轴为极轴建立极坐标系，以极点0为中心，将点A绕点。逆时针旋转90。得到点B,

设点B的轨迹为曲线C2.

⑴求曲线G与曲线C2的极坐标方程；

2

6=%（〃>0）

⑵射线3与曲线Ci、C2相交于P、Q两点，己知定点M（-2,0）,求

必^2的面积.

参考答案：

9fB

（1）qP=6Xplan。；（2）~2~

【分析】

（1）根据转化公式五=。3©,>=,*n®,，+，'=’,代入求。的极坐标方程，

再用代入法求曲线G的极坐标方程；

（2）°分别和曲线G，G联立方程求点?，。的坐标，并根据几何关系求

点M到直线网的距离d,最后代入面积公式s—=/坨"

3,

【详解】⑴rtij^q：x+Gr-3）=9）化简则有：/+/-b=,

X—夕CO50

<

将IF一夕.8代人可得曲线GP=AH6

设小。则3-今

「p=6an（J--）=TOKJ

由点/在曲线G上，则"2

所以曲线G的极坐标方程为Om/h）

（2）点M-Z。）到射线"=5"的距离"=?""]=力

射线‘=丁8"与曲线G的交点P的坐标为C0万），

2-2r

射线年”8）与曲线G的交点。的坐标为y,

所以收=出3,故$=$阕X<f=；es-3）x6=ql

【点睛】本题考查直角坐标和极坐标方程的转化，重点考查了极角和极径的几何意义，属

于基础题型，注意当过极点的直线与曲线相交时，⑷1=1A一夕」.

20.（本小题满分12分）在数列中，已知

a】=L'=2也+2=31%1/（“€/）

4/41

（I）求数列w的通项公式；

（II）求证：数列佑*｝是等差数列；

（111）设数列上｝满足4=%力，求匕｝的前n项和

参考答案：

%.l■1

解：（I）•••，,7

££

・,•数列｛4｝是首项为‘，公比为'的等比数列，

.明・（》・S€N）.................................................................................................................

,•,3分

4=310.q-2

（II）7.........................................................................................................

4分

dw*131ogi（­）,~2•3n-2

：.54...................................................................................................

5分

.*=1,公差d=3

二数列｛"｝是首项马=1,公差d・3的等差数

歹U...................................................................7分

（III）由（I）知，37,%=m-2（”『）

.CB-（3M-2）X（1/.（M€JV*）

・・4.....................................................................................................................................................O

分

..号・lx；+4x（》2.7x（；）3+…+（3”》x（：尸+6-加夕，①

于是:5•1x（：）'+4X（；）3«7X（｝'+…+（3X-»X（》"+（3H-2）X（3'H4②

......................................................................................................................................................9

分

两式①-②相减得白•海（孑心"C力心如夕"

=”8+2）x（：）""............

11

分

...s「宗竽吟”七川）

12

分

21.某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动，对［25,55］岁的人群随机抽取月人进行

了一次当前投资生活方式一一“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率

分布直方图：

（1）补全频率分布直方图，并求闸，q