线性代数全集课件

课程简介线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题.线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的.最简单的线性问题就是解线性方程组.行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，也推动了线性代数的发展.向量概念的引入，形成了向量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论.因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.线性代数全集它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。线性代数全集第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换及线性方程组第四章向量组的线性相关性基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章相似矩阵及二次型矩阵理论线性代数全集一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元(一次)线性方程组:第一章行列式(1)(2)(1)

a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)

a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;§1.1二阶与三阶行列式线性代数全集方程组的解为由方程组的四个系数确定.线性代数全集

由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表定义即线性代数全集主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式线性代数全集线性代数全集线性代数全集线性代数全集则二元线性方程组的解为线性代数全集例1解线性代数全集二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.线性代数全集(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标线性代数全集(2)对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．线性代数全集

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组

2.

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.线性代数全集若记或线性代数全集记即线性代数全集线性代数全集得线性代数全集得线性代数全集则三元线性方程组的解为:线性代数全集例２

解按对角线法则，有线性代数全集例3解方程左端线性代数全集例4

解线性方程组解由于方程组的系数行列式线性代数全集同理可得故方程组的解为:线性代数全集

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结线性代数全集思考题线性代数全集思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数的线性方程组,又得线性代数全集故所求多项式为线性代数全集§1.2全排列及其逆序数

引例:

用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.

将此问题推广:把n个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.

定义:

把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列).n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn

表示,称为排列数.

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列线性代数全集二、排列的逆序数

定义:

在一个排列i1

i2···

is

···it

···in

中,若数is>it,则称这两个数组成一个逆序.例如:

排列32514中,

我们规定各元素之间有一个标准次序.以n个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序.32514逆序逆序逆序

定义:

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.前面的数比后面的数大线性代数全集32514逆序数为31故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0

=

0+1+0+3+1

=

5.例如:

排列32514中,计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.

方法1:分别计算出排在1,2,···,

n前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出1,2,···,

n这n个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.线性代数全集

方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

方法3:依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.线性代数全集例1:

求排列32514的逆序数.解:在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为0;2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为1;32514没有比5大的数,故其逆序为0;个,故其逆序为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序为1.5的前面1的前面比1大的数有3即于是排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5.线性代数全集解:此排列为偶排列.例2:

计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)217986354.217986354010013445于是排列217986354的逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n–1)(n–2)···21解:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序数为:线性代数全集

此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列.(3)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序数为:

此排列当k为偶数时为偶排列,当k为奇数时为奇排列.线性代数全集1.n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2.排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法.三、小结线性代数全集§1.3n阶行列式的定义一、概念的引入三阶行列式说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.

说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.

说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).线性代数全集

例如a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+号.

例如a11a23a32,将行下标标准排列,列下标排列132的逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取–号.其中Σ是对列下标的所有排列求和(3!项),t是列下标排列p1p2p3的逆序数.线性代数全集二、n阶行列式的定义定义:

设由n2个数排成一个n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(–1)t,得到形如

其中p1p2···

pn

为自然数1,2,···,n的一个排列,t为排列p1p2···

pn的逆序数.的项,线性代数全集所有这n!项的代数和称为(由上述数表构成的)n阶行列式.记作简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.即线性代数全集

说明1.

行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;

说明2.n阶行列式是n!项的代数和;

说明3.n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列n个元素的乘积,的符号为(–1)t;

说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.线性代数全集例1:

计算对角行列式解:

分析.展开式中项的一般形式是从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p1

4,则即行列式中非零的项为:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即线性代数全集例2:

计算上三角行列式解:分析展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是:a11a22···

ann

.从最后一行开始讨论非零项.显然pn=n,pn–1=n–1,pn–2=n–2,···,p2=2,p1=1,即线性代数全集显然=1

4

5

8同理可得下三角行列式线性代数全集对角行列式线性代数全集例5:设证明:D1=D2.

中b的指数正好是a的行标与列标的差线性代数全集证:

由行列式定义有线性代数全集线性代数全集由于p1+p2+···+pn=1+2+···+n,所以故线性代数全集

行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式.n阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的n

个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结线性代数全集思考题已知多项式求x3的系数.思考题解答含x3的项有仅两项,即对应于=x3+(–2x3)故x3的系数为(–1).(–1)t(1234)a11a22a33a44+(–1)t(1243)a11a22a34a43线性代数全集一、对换的定义§1.4对换

定义:

在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bma1

a2···ala

b1···

bmb

c1···cna1

a2···alb

b1···

bm

ac1···cn例如线性代数全集二、对换与排列奇偶性的关系

定理1:

一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.对换a与b即除a,b外,其它元素的逆序数不改变.证明:先考虑相邻对换的情形.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bm例如因此,相邻对换排列改变奇偶性.当

a<b时,对换后a

的逆序数增加1,b的逆序数不变;当

a>b时,对换后a

的逆序数不变,b的逆序数增加1;线性代数全集a1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn对一般对换的情形,例如对换a与b经过m次相邻对换,排列a1a2···alab1···bmbc1···cn对换为a1a2···alabb1···bmc1···cn,再经过m+1次相邻对换,对换为a1a2···albb1···bmac1···cn,共经过了2m+1次相邻对换.

所以,由相邻对换的结果知:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.线性代数全集次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.对一般对换的情形,例如a1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn对换a与b线性代数全集

推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明:由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),论成立.因此,推线性代数全集下面讨论行列式的另一种定义形式.对于行列式的任一项其中12···i···j···n为自然排列,其逆序数0,t为列标排列p1p2···pi···pj···pn的逆序数,对换元素线性代数全集

此时,行标排列12···j··i···n的逆序为奇数,而列标排列p1p2···pj···pi···pn的逆序也改变了一次奇偶性.换后行标排列逆序与列标排列逆序之和的奇偶性不变,即t(1···j··i···n)+t(p1···pj···pi···pn)与t(p1···pi···pj···pn)具有相同的奇偶性.因此,对故线性代数全集

一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为(–1)t.因此,总可以经过若干次对换行列式的任一项,得其中s为行下标排列q1q2···

qn的逆序数.线性代数全集定理2:

n

阶行列式也可定义为其中s为行标排列q1q2···qn的逆序数,并按行标排列求和.定理3:

n阶行列式也可定义为其中t为行标排列p1p2···pn与列标排列q1q2···qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论,还可以如下定义线性代数全集

例1:

试判断a14a23a31a42a56a65

和–a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项.

解:

a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.

将–a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数)所以–a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.线性代数全集

解:

将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以a23a31a42a56a14a65的前边应带正号.例2:

在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.线性代数全集

项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之和为

t(341562)+t(234165)

=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数)所以a32a43a14a51a66a25的前边应带正号.线性代数全集例3:用行列式的定义计算解:由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素,所以Dn=(–1)ta1n-1a2n-2···an-11annDn=(–1)t1·2···(n–1)·n=(–1)t

n!即而t=t[(n–1)(n–2)···21n]=0+1+2+···+(n–3)+(n–2)+0=(n–1)(n–2)/2所以线性代数全集三、小结1.对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法:其中r为行标排列p1p2···pn与列标排列q1q2···qn的逆序数之和.并按行标排列(或列标排列)求和.线性代数全集思考题证明在全部n

阶排列中(n2),奇偶排列各占一半.思考题解答

证:

设在全部n阶排列中有s个奇排列,t个偶排列,则s+t=n！现来证s=t.

若将所有s个奇排列的前两个数作对换,则这s个奇排列全变成偶排列,故必有s=t=

若将所有t个偶排列的前两个数作对换,则这

t个偶排列全变成奇排列,如此产生的s个偶排列不会超过所有的s个奇排列,所以t

s.过所有的t个偶排列,所以s

t.如此产生的

t个奇排列不会超线性代数全集§1.5行列式的性质一、行列式的性质行列式DT称为行列式D的转置行列式.记将D的行列互换就得到线性代数全集证明:

记行列式D=det(aij)的转置行列式为:性质1:

行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.按定义即bij=aji(i,j=1,2,···,n),线性代数全集又由行列式的另一种表示得,所以,DT=D,结论成立

说明:性质1行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.线性代数全集性质2:

互换行列式的两行(列),行列式变号.证明:设行列式线性代数全集是由行列式互换i,j(i<j)两列得到.即,当k

i,j时,bpk=apk;当k=i,j时,bpi=apj,bpj=api;线性代数全集于是其中t为排列p1···pi···pj···pn的逆序数,设s为排列p1···pj···pi···pn的逆序数.显然t与s的奇偶性不同,即(–1)t=–(–1)s,所以,线性代数全集例如线性代数全集

推论:

如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.证明:

互换相同的两行,则有D=–D,所以D=0.

性质3:

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.即线性代数全集

推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

性质4:

行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．证明:线性代数全集

性质5:

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如则D等于下列两个行列式之和:线性代数全集证明:故结论成立.线性代数全集

性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如线性代数全集

引入记号:

用ri表示第i行,ci表示第i列.

在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.

利用性质2交换行列式的第i,j

两行(列),记作ri

rj(ci

cj);

利用性质6把行列式的第j行(列)的各元素乘以同一数k然后加到第i

行(列)对应的元素上去,记作ri+rj

k(ci+cj

k);利用性质3行列式的第i

行(列)乘以数k,记作ri

k(ci

k);线性代数全集二、行列式计算

计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,得到行列式的值．结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值等于其主对角元的乘积.线性代数全集例1:

计算5阶行列式解:Dr2+3r1线性代数全集r3–2r1r4–3r1线性代数全集r5–4r1r2

r3线性代数全集r4+r2r4+r3线性代数全集r5+2r3r5+2r4线性代数全集例2

计算解：线性代数全集线性代数全集解:将第2,3,···,n列都加到第一列得:例3:

计算n

阶行列式线性代数全集第2,3,···,n行都减去第一行得:线性代数全集例4:

设证明:D=D1D2.

证明:对D1作行运算ri+trj,把D1化为下三角形行列式:线性代数全集对D2作列运算ci+kcj,把D2化为下三角形行列式:

先对D的前k行作行运算ri+trj,然后对D的后n列作列运算ci+kcj,把D化为下三角形行列式:故,D=p11···pkk

q11···qnn=D1D2.线性代数全集例5

计算2n阶行列式其中未写出的元素为0.解：将D2n中的第2n行依次与前面的行对换，换至第二行；再将D2n中的第2n列依次与前面的列对换，换至第二列，共做2(2n-2)次对换，得线性代数全集线性代数全集例6

在n阶行列式中，若则称D为对称行列式；若则称D为反对称行列式；证明：奇数阶反对称行列式的值为0.反对称行列式的主对角元全为0线性代数全集证明：设n

阶反对称行列式为：由行列式的性质1可知：线性代数全集每行提取（－1）n为奇数所以D＝0.线性代数全集

行列式的6个性质.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.三、小结思考题其中已知abcd=1.计算行列式,线性代数全集思考题解答线性代数全集线性代数全集§1.6行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式引例,考察三阶行列式线性代数全集

在n阶行列式D中,把元素aij

所在的第i

行和第j

列元素划去后,留下来的n–1阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij的余子式,记作Mij.即线性代数全集记Aij=(–1)i+jMij,称Aij为元素aij

的代数余子式.线性代数全集例如线性代数全集

行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.线性代数全集

引理:

如果一个n阶行列式D的第i

行元素除aij

外都为零,那么,行列式D等于aij与它的代数余子式Aij的乘积,即D=aijAij.=aijAij

.线性代数全集证:当aij

位于第一行第一列时,又由于A11=(–1)1+1M11=M11,由上节例4,即教材中的例10得:D=a11M11

.从而D=a11A11,

即结论成立.线性代数全集再证一般情形,此时

把D的第i行依次与第i–1行,第i–2行,···,第1行交换,得线性代数全集

再把D的第j列依次与第j–1列,第j–2列,···,第1列交换,得线性代数全集=(–1)i+jaij

M

11,显然,M

11恰好是aij在D中的余子式Mij,,即M

11=Mij,因此,D=(–1)i+j

aijMij=aijAij,故引理结论成立.线性代数全集

定理3:

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n);D=a1iA1i

+a2iA2i+···+aniAni(i=1,2,···,n).二、行列式按行(列)展开法则线性代数全集证:线性代数全集D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n).由引理得:引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,···,n)线性代数全集

推论:

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j;a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.证:把行列式D=det(aij)按第j行展开,得把ajk换成aik(k=1,2,···,n),当i

j时,可得线性代数全集第j行第i行相同同理a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j所以,ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j线性代数全集关于代数余子式的重要性质其中线性代数全集说明：由证明过程可知线性代数全集线性代数全集例1:

计算行列式解:线性代数全集解:按第一行展开,得例1:

计算行列式如果按第二行展开,得线性代数全集例2:计算行列式解:

D线性代数全集例3:

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式说明：（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特点是：每列（行）元素都是分别是同一个数的不同方幂，方幂的次数从上到下（自左至右）按递升次序排列,从0到n–1次.线性代数全集（2）范德蒙德(Vandermonde)行列式的结果是满足条件的所有因子的连乘积，共有个因子.线性代数全集证:

用数学归纳法所以,当n=2时,(1)式成立.假设对n-1阶范德蒙德行列式,(1)式成立.

对n

阶范德蒙德行列式,作如下变换,ri–x1ri-1

(i=n,n–1,···,2,1).得线性代数全集按第一列展开,并把每列的公因子(xi–x1)提出,就有:n–1阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证:线性代数全集例4:

计算

解:

Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂,方幂的次数自左至右按递升次序排列,但不是从0到n–1,而是从1递升至n.若提出各行的公因子,则方幂的次数便是从0升到n–1,于是得:线性代数全集上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式的转置,由范德蒙行列式知

评注:本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子,调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.线性代数全集例5:

计算线性代数全集解：考虑行列式是中元素的余子式.线性代数全集一方面，这是一个关于y的n次多项式，其中的系数是线性代数全集另一方面，将按最后一列展开：其中是的系数.线性代数全集比较可得：这种方法称为：加边法（升阶法）.线性代数全集例6.

计算行列式分析：元素的特点是除主对角元外，第i列的元素为线性代数全集解：线性代数全集线性代数全集例4.

已知求线性代数全集解：线性代数全集线性代数全集线性代数全集1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结2.线性代数全集思考题求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+···+A1n.

设n阶行列式思考题解答解:

第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+···+A1n线性代数全集§1.7克拉默(Cramer)法则设线性方程组

若常数项b1,b2,···,bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,···,bn全为零,则称此方程组为齐次线性方程组;(1)线性代数全集齐次线性方程组易知，一定是(2)的解，称为零解。若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。线性代数全集

定理1:(克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为线性代数全集其中Dj

是把系数行列式D中第j

列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n

阶行列式,即线性代数全集

证明:

用系数行列式D的第j列元素的代数余子式A1j,A2j,···,Anj依次乘方程组(1)的n个方程,得

再把n个方程相加,得D线性代数全集

由行列式代数余子式的性质可知,上式中xj的系数等于D,而xi(i

j)的系数均等于0,等式右端为Dj.于是因此,当D0时,方程组(2)有唯一解:Dxj=Dj(j=1,2,···,n)(2)由于方程组(2)与方程组(1)等价,故也是方程组(1)的唯一解.线性代数全集

定理2:

如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.定理3:如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D

0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3)

定理4:

如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式D必为零.

在后面我们将证明:齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式D必为零.线性代数全集例1:

用克拉默法则解方程组解:线性代数全集所以线性代数全集解:例2:

用克拉默法则解方程组线性代数全集所以线性代数全集例2:

问

取何值时,齐次方程组有非零解?由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0,解:则

=0,

=2或

=3时,齐次方程组有非零解.线性代数全集例3.

求使得3点共线的充分必要条件.解：假设这3点位于直线上，其中a,b,c不同时为0,即有3点共线等价于上述关于a,b,c

的齐次线性方程组有非零解，其充要条件是线性代数全集例4.

证明n次多项式至多有n个互异的根.证明：用反证法,假设n次多项式有n个互异的根：即有线性代数全集上述关于的齐次线性方程组的系数行列式为：因为互不相等，所以从而齐次方程组只有零解，这与矛盾，故结论成立！线性代数全集用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算.小结线性代数全集思考题

当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?思考题解答不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.线性代数全集线性代数全集§2.1矩阵一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数aij和常数项bj(i

=1,

2,

···,

n,j

=1,

2,

···,

m

).对线性方程组的研究可转化为对这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性代数全集2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.线性代数全集

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.线性代数全集二、矩阵的定义

定义:

由m

n个数aij(i

=1,2,···,m;j

=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称

m

n矩阵.记作简记为:A

=

Am

n=(aij)m

n=(aij).

这m

n个数aij称为矩阵A的(第i行第j列)元素.线性代数全集矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.线性代数全集

元素是实数的矩阵称为实矩阵,

元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如:是一个24实矩阵;是一个33复矩阵;线性代数全集是一个14(实)矩阵;是一个31(实)矩阵;是一个11(实)矩阵.线性代数全集例如:是一个3阶方阵.几种特殊矩阵

(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,

对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：方阵和方阵的行列式是不同的含义.线性代数全集记作

称为对角矩阵(或对角阵）.（2）形如的方阵,不全为0线性代数全集(3)如果En=

diag(

1,

2,···,

n)

=

diag(1,

1,

···,

1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.

(4)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).线性代数全集

(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,m

n

阶零矩阵记作Om

n或O.A＝O|A|=0|A|=0A＝O若|A|=0,称A为奇异矩阵；若|A|=0,称A为非奇异矩阵；对于n

阶方阵A线性代数全集(6)设A

=

(

aij)为n阶方阵,对任意i,j,如果aij=

aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=

–aji都成立,则称A为反对称矩阵;例如:A为对称矩阵,B为反对称矩阵.线性代数全集例1:

设解:

由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.两个矩阵A

=

(

aij)与B

=

(

bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即

aij=bij(i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.例如:为同型矩阵.线性代数全集三、矩阵的应用例1间的关系式线性变换.线性代数全集系数矩阵线性代数全集线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应

单位阵.线性代数全集线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.线性代数全集(1)矩阵的概念:

m行n列的数表三、小结(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.线性代数全集一、矩阵的加法

定义:

设两个同型的m

n

矩阵A

=

(

aij)与B

=

(

bij),

那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即对应元素相加§2.2矩阵的运算线性代数全集例如:

说明:

只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.线性代数全集矩阵加法的运算规律交换律:A+B

=

B+A.(2)结合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(4)称为矩阵A的负矩阵.(5)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).(3)A+O=A线性代数全集二、数与矩阵相乘

定义:

数

与矩阵A=(aij)的乘积定义为(

aij),记作

A或A

,简称为数乘.即注意：

与不同！线性代数全集设A,B为同型的m

n

矩阵,

,

为数:1A=A.(2)(

)A=

(A).(3)(

+

)A=A+A.(4)

(A+B)=A+B.矩阵的数乘的运算规律矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.线性代数全集三、矩阵与矩阵相乘引例：设有两个线性变换要求从到的线性变换，将（2）代入（1）：线性代数全集这个线性变换称为线性变换（1）和（2）的乘积.线性代数全集线性变换（1）对应的矩阵为：线性变换（2）对应的矩阵为：（1）和（2）的乘积对应的矩阵为由此引出矩阵乘法的定义：线性代数全集

定义:

设A

=

(

aij)是一个m

s矩阵,B

=

(

bij)是一个s

n

矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C

=

(

cij)是一个m

n矩阵,其中(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.

是A

中的第i

行元素与B

中第j

列的对应元素相乘再相加.线性代数全集例1:例2:当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！线性代数全集例3:

求AB,其中线性代数全集

注意:

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例如:不存在.线性代数全集利用矩阵的乘法：若记则线性变换可记作线性代数全集对于线性方程组则方程组可以表示为：线性方程组的矩阵表示形式线性代数全集若记则上述方程组可以表示为线性方程组的向量表示形式线性代数全集矩阵乘法的运算规律结合律:(AB)C

=

A(BC);分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)

(AB)

=

(

A)B

=

A(

B),其中

为数;线性代数全集当AB有意义时，BA可能无意义！例如:不存在.有意义，但是注意:（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即:

AB

BA，因此要注意矩阵相乘的次序.一般，AB称为A左乘B，或者B右乘A.线性代数全集AB和BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵.例如：是一阶方阵，但是是三阶方阵.线性代数全集即使AB和BA都有意义，也是同型矩阵，它们也可能不相等.例如:设AB

BA.线性代数全集当AB

BA时，称A与B不可交换；当AB=BA

时，称A与B可交换，(2)矩阵的乘法一般不满足消去律，即或从上述例子还可以看到：此时A与B必为同阶方阵。若但AB=O,则称B

是A

的右零因子，A

是B

的左零因子.线性代数全集后面会证明：若，则类比：当a=0时线性代数全集特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用.若A为方阵，则有线性代数全集左乘

A等于用

乘以A中第i

行的元素.右乘

A等于用

乘以A中第i

列的元素.线性代数全集若则线性代数全集例4:

计算下列矩阵乘积:解:=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x3=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3线性代数全集当矩阵为对称矩阵时,结果为线性代数全集n阶方阵若当i>j时，则称A

为上三角矩阵.若当i<j时，则称A

为下三角矩阵.结论：两个上（下）三角矩阵的积仍然是上（下）三角矩阵.证明：设A,B是两个上三角矩阵，且C=AB,当i>j时线性代数全集即C为上三角矩阵.线性代数全集方阵的幂和方阵的多项式定义设A是n

阶方阵，k个A的连乘积称为A的k次幂，记作即当m，k为正整数时，有只有方阵能定义幂当AB不可交换时，一般当AB可交换时，线性代数全集定义设是x的k次多项式，A是n阶方阵，则称为方阵A的n次多项式.线性代数全集若f(x)，g(x)为多项式，A、B为n阶方阵，则f(A)g(A)=g(A)f(A)当AB不可交换时，一般f(A)g(B)=g(B)f(A)线性代数全集特别当矩阵为对角阵

=diag(

1,

2,···,

n)

时,则f(

)=a0E+a1

+···+ak

k,线性代数全集线性代数全集

方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)

=

2E+A–A2,(E–A)3=

E–3A+3A2–A3.因为单位矩阵E与任意同阶方阵可交换，所以有线性代数全集解:例4:线性代数全集由此归纳出线性代数全集用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.假设,当k=n时结论成立,对k=n+1时,线性代数全集所以对于任意的k

都有:也可利用二项式定理展开计算.线性代数全集记于是注意到：线性代数全集即当时，所以线性代数全集线性代数全集四、矩阵的转置

定义:

把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.例如:线性代数全集(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(

A)T=

AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质一般地线性代数全集证明（4）设首先容易看到与为同型矩阵.因为所以的第i行第j列的元素为线性代数全集又因为中第i

行的元素为B中第i

列的元素中第j

列的元素为A中第j

行的元素于是的第i行第j列元素为故线性代数全集解法1:因为例5:

已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT线性代数全集例6：设（1）的第i

行第j

列的元素为（2）的第i

行第j

列的元素为（3）的第i

行第j

列的元素为线性代数全集

设A

=

(

aij)为n阶方阵,对任意i,j,如果aij=

aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=

–aji都成立,则称A为反对称矩阵;显然，若A是反对称矩阵，那么对任意i，有线性代数全集由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得:方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是:–A=AT.线性代数全集证明:因为

例7:

设列矩阵X

=

(x1

x2···xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H

=

E

–

2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H为对称矩阵.=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

HHT=

H2=(E

–

2XXT)2线性代数全集

例8:

证明任一n

阶方阵A

都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明:设C

=

A

+

AT,所以,C为对称矩阵.从而,命题得证.则CT

=

(

A

+

AT)T=

AT+

A

=

C,设B

=

A

–

AT,则BT

=

(

A

–

AT)T=

AT–

A

=

–B,所以,B为反对称矩阵.线性代数全集五、方阵的行列式

定义:

由n

阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.例如:则方阵行列式的运算性质|AT|=|A

|;|kA|=kn|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.线性代数全集定理：设A、B是两个n

阶方阵，则思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质6及矩阵乘法的定义.对于同阶方阵A和B，一般AB

BA

，但是|AB|=|BA|线性代数全集线性代数全集继续做线性代数全集重要例子例9.设其中是行列式|A|中元素的代数余子式.矩阵A的伴随矩阵注意其元素的下标证明：（2）当|A|不等于0时，称为矩阵A的伴随矩阵。线性代数全集证：设其中于是线性代数全集两边取行列式得:因为所以类似可证：线性代数全集六、共轭矩阵

定义:

当A

=

(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A

的共轭矩阵.运算性质设A,B为复矩阵,

为复数,且运算都是可行的,则:线性代数全集矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵五、小结(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.注意线性代数全集思考题思考题解答

设A与B为n阶方阵,等式A2–B2

=

(A+B)(A–B)成立的充要条件是什么?答:因为(A

+

B)

(A

–

B)

=

A2+

BA

–

AB

–

B2,故等式A2–B2=

(A

+

B)(A

–

B)成立的充要条件是:AB

=

BA.线性代数全集作业：P53－543，4，7，9，10线性代数全集在数的运算中,当数a

0时,有aa-1=a-1a=1.

在矩阵的运算中,

单位阵E相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得为a的倒数,或称a的逆(元).其中AA-1=A-1A=E,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.一、逆矩阵的概念和性质§2.3逆矩阵线性代数全集或者从线性变换的观点来看：给定线性变换若记其系数矩阵则线性变换可记为：线性代数全集若记则上式可以写作：这是一个从Y到X的线性变换，它是线性变换的逆变换.线性代数全集为恒等变换则有：线性代数全集定义:

对于n

阶方阵A,如果存在一个n

阶方阵B,使得

AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1,即（1）A与为同阶方阵；（2）若B是A的逆矩阵，那么A也是B的逆矩阵;(3)线性代数全集例如:设由于AB=BA=E,所以B为A的逆矩阵.线性代数全集说明:

若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有所以,A的逆矩阵是唯一的,即AB=BA=E,AC=CA=E,可得:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.B=C=A-1.线性代数全集解:

利用待定系数法.例1:

设求A的逆矩阵.是A的逆矩阵,设即则线性代数全集又因为则解得,所以即AB

=BA

=E,

如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.线性代数全集证明:

若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.定理1:

矩阵A可逆的充要条件是|

A

|

0,且其中A*为矩阵A的伴随矩阵.故|

A

||

A-1|

=

|

E

|

=

1,所以,|A

|0.线性代数全集由伴随矩阵的性质:AA*=

A*A

=

|

A

|

E,知当|

A

|

0时,按逆矩阵的定义得,线性代数全集说明：（1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，并给出了逆矩阵的一种求法——公式法.(2)上（下）三角矩阵可逆当且仅当主对角元全不为0，且当时这里逆矩阵由定义得到！线性代数全集若当