高等数学(2017高教五版)课件高等数学第七版概率论工科

第二部分概率（一）事件的概率__（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征（一）事件的概率1、随机事件2、概率的概念及性质3、古典概型1、随机事件■在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）。■对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性。■例1(p1)，投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件(记之为A)。当试验结果出现3点时，事件A发生；当试验结果出现5点时，事件A不发生。总之，在试验前，无法判断事件A是否发生。事件的关系包含A)o(2)A=B(A与B相等);(3)A与B互斥(A,B不能在一次试验中同时发生)事件的运算A例7(p3)有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A=｛击落飞机｝，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件，如记Bi=｛击落第i个发动机｝，i=1,2,C-［击中驾驶员｝，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单。我们可以用B1、B2及C表示AA=B1B2UC这可以简化复杂事件A的概率计算。事件的分解的要点是：正__确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系。2、概率的概念及性质■概率是事件发生的可能性大小的度量■概率的统计定义——频率的稳定值，常常用于概率的近似计算，是非常有用的。但要注意，试验次数要足够多。概率有以下性质事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B、C，有3、古典概型■概型的要求：①有限性：可能结果只有有限个；②等可能性：各个可能结果出现是等可能的。■概率的计算公式例1（p8）设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回批中，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取1件。试分别按这两种抽样方式求（1）两件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率。解：容易验证满足古典概型的要求记A=｛两件都是次品｝，B=｛第1件次品，第2件正品｝只讨论有放回情况（不放回情况是类似的），计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100种可能结果，依计算原理，一共有n=100*100=10000种可能结果，此即样本点总数。而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，k=30*30=900种可能结果，于是同理，可得例8(p13)设一年有365天，求下述事件A,B的概率：A={n个人中没有2人生日相同

B={n个人中至少有2人生日在同一天}。提示：由于每个人的生日可以是365天中的任意一天，因此n个人的生日有365种可能结果，这就是样本点总数。为求事件A的有利样本点数，注意到为保证不同生日，必须且只须，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已选定生日的余下天数中随机挑选。因此有利于A样本点数k=365*364*……*(365-n+1)又注意到事件A,B之间有关系B=/C使用P(B)=1-P(A)直接可得P(B),这一方法是十分常用的，读者须掌握。（二）条件概率与事件的独立性1、条件概率__2、全概率公式和贝叶斯公式3、事件的独立性计算公式：若P(B)>(),则___乘法公式：若P(B)>0,则、条件概率P(AB)=P(B)P(A|e)推广：若P(AB)>0,P(AJ3C)=P(A)P(B\A)P(C\AB)例2(p18)生命表生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国1976年的部分生命表。年龄每十万人中存活人数每千个存活者的死亡率50907186.4351901357.0052895017.6253888228.3054880859.03其中第3列的死亡率就是到达该年龄还存活条件下，在之后的一年内死亡的条件概率。例如，为求50岁时的死亡率，记事件A=｛个体在50岁存活｝，B=｛个体在50到51岁之间死亡注意到此时AB=B,因而所以，50岁人的死亡率为这正好是第3列的第一个数字（须除以1000）例3(p19)一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。解记A=｛第一次为次品｝，B=｛第二次为正品要求P(AB),由乘法公式，先求P(BIA)及P(A)已知P(Aj=0.1,而P(BIA)=90/99,因此_P(AB)=P(A)P(BIA)=0.1*90/99=0.0912、全概率公式和贝叶斯公式原因A原因原因ArJ结果日全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率。贝叶斯公式设A，...Mn两两互斥，且戶(4)〉()，1/H,P(B)>0,b=|JM则对任一有p(A.b)=^W1A^ryfcp(')汽扪4)贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生在贝叶斯公式中，称P(A1),...，P(An)为先验概率，而P(AilB)，,P(AnlB)为后验概率，它表示在有了试验结果B己发生的附加信息下，对先验概率的修正。例5(p20)血液化验一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出阳性。设己知该种疾病的发病率为0.5%，

求己知一个个体体检出阳性条件下，该个体确实患有此种疾病的概率。■此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是：一带菌；二健康人。问题是从已知“结果”是由“带菌”产生的条件概率：P（带菌I阳性）记B=｛阳性｝，八1=｛带菌｝,A2=｛不带菌｝己知由Bayes公式得到为什么验出是“阳性”，而事实上为此小？以下是平均总数其中数字0.95,1.99是由假设条件及公式带菌不带菌总和阳性0.951.992.94非阳性0.05197.01197.06总和11992000.95=1*0.951.99=199*0.01算出，因此已检出阳性条件下（总共2.94人），H+t7±±：布1囷（只有0.95人）的条件概率为3、事件的独立性称事件A,B独立，如果P{AB)=

P(A)P(B)A,B独立当且仅当P(B\A)=P(BA)其中0<P(A)<1该公式表明：A发生与否，不影响事件发生的概率，这正是事件独立的含义。推广：三个事件A.B.C独立，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BO=P(B)P(C),且P(ABO=P(A)P(B)P(C).-窠刪蚊（见书上例7）。若己知A,B.C相互独立，以下公式可简化相关事件概率的计算:P(AUBUO=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)因此，由独立性，有际意义可知例8(p23)设某车间有三台车床，在-小时内机器不要求工人维护的概率分别是：第1台为0.9,第2台为0.8，第3台为().85。求一小时内三台车床至少有一台不需工人维护的概率(尸(A)=1—P(AA,A,)=1-P(A)p(a2)p(a3)=1一0.1*0.2*0.15=0.997例10(p25)保险赔付设有n个人向保险公司购买人身意外险(保险期为1年)，假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01,求：(1)该保险公司赔付的概率；(2)多大的n使得以上的赔付概率超过0.5。门答案(1)1-0.99(2)n彡685本例表明，虽然概率为0.01的事件是小概率事件，它在一次试验中是实际不会发生的；但若重复做n次试验，只要n^685,该小概率事件至少发生一次的概率要超过0.5，因此决不能忽视小概（三）随机变量及其分布1、随机变量的分布函数2、离散型随机变量的分布3、连续型随机变量的分布__4、二维随机变量的联合分布与边缘分布1、随机变量的分布函数设X是随机变量，一个取值于区间［0,Ij的实值函数F(x)ab连续型随机变量(%)分布函数的图像，y=0及y=1是两条渐近线分布函数有如下性质：（1）0<F（x）<l；（2）单调不减，即当x,<x2时，F（x）=O,liinF（a）

=1；一个右连续函数，即品/（小咖）。(3)limJT—►-?»(4〉F(x)是2、禺散型随机变量的分布离散型随机变量的分布律设随机变量X的取值为，一可数，〜七，…且记A=P(X=Xi/=i,2,--.称下述表格所表示的函数力X的分布律:X的分布函数可用分布律表示如下:_士EP/9^0<X<00；i:Xj<x而且如己知X的分布函数F(),及取值fxj,例5(p33)袋中有5个球，分别编号1,2,...,5,从中同时取出3个球，以X表示取出的球__的最小号码，求X的分布律与分布函数。____解：由于X表示取出的3个球中的最小号码，____因此X的所有可能取值为1,2,3,{X=1}表示3个球中的最小号码为1,那么另外两个球

可在2,3,4,5中任取2个，这样的可能取法有__种；而在5个球中取3个球的可能取法共有由古典概型计算公式可知:12丄同样对得：P(X=2)=3尸aP(X=l)=^A4"d=l50.6X的分布函数为00.60.6+0.3=0.9丨<1l<x<22<a<3a1所以,X的分布轉S为b23—例6(p36)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为1，设X为途中遇到红灯4的次数，求随机变量X的分布律及至多遇到一次红灯的概率。023(X=I解从学校到火车站的途中有3个交通岗且每次遇红灯的概率为1.可认为途中遇到红4灯的次数X服从二项分布B(3，其分布律为41642764至多遇到一次红灯的概率为96427+272764+642764例10(p38)设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。解设X服从参数为A的泊松分布，由题意知P(X=0)=P(X=l)可解得A=1因此，至少有两辆车通过的概率为P(X彡2)二l-p(X=0)-p(X=l)=l-2e3、连续型随机变量的分布•X为连续型的随机变量，则其分布函数F(X)处处连续，且P(a<X<b)=P(a<X</?)=/f(x)dx。1—d尸f(x)P(a<X<b)w0abt常用连续型分布—oo<r<+00例14（p42）设打一次电话所有的时间（单位：niin）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进公用电话间并开始打电话（假定公用电话间只有一部电话机可供通话），试求你将等待（1）超过5分钟的概率，（2）5分钟到10分钟之间的概率。解令X表示电话间中那个人打电话所占有的时间，由题意知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为i所求概率分别为：P（x>5）uP（5<X<10）=0.2e^2x,x>00<0N0,4-3-2-1O12123x用①(X)表示7V(0,1)的分布函数•标准正态分布有如下性质：(1)<!>(—x)=l-①(x),对任意-oo<x<ooP(|X|<3)=0.9974这表明，一个标准正态分布的变量，其分布的载荷几乎集中在区间(2)设Y〜TVfO.lk则有陳-V.，，'…Jp/lvd/1、AQOArqA|<i;-u.odzoP(|X|<2)=0.9544•标准化变换Y_//设X~/V（/4a2），则：^=——〜2V（O，1）ax一ux一u__因此p（x<x）=p（y<-—）=0（—）后者可通过查标准if态分布表，得到相应的数值而不必计算。例17(p45)某地抽样调查结果表面，考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布2V(72,o-2),且96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。解本题中戸=72分，cr2未知,•联合分布函数F（x,），）=P（X<x,Y<j）,-ao<x,y<-k联合分布函数具有以下性质：⑴

0^F（x,y）^l；（2）F（x,v）分别关子x及y单调不减：（3）F（x,y）分别关于x及y右连续；（4）limF（x.y）=0,limF（x._y）=0,limF（.v,y•边缘分布函数•联合密度和边缘密度(I)如存在/(x,y)>0,^>0<x,y<-Hx,使得F(X，y)=J二<x,y<-K»那么/(x,y)>3(X,r)的联合密度函数。(2)称例4、7(p53、57)设二维随机变量QC，y)在E域G上服从均匀分布，其中G={O<x<l,|y|<x},求(1)(X,y)的联合密度函数/(x,y);

(2)关于X,关于Y的边缘密度函数。解易见G的面积为1,因此联合密度为10<.r<l，|y|<_r其它•随机变量的相互独立性成立-G设X与Y的联合分布函数为F（X,y）,如果对任意实数X、y，则称随机变量X与Y相互独立。•如果有联合密度函数/（A,y）,则X与Y相互独立，当且仅当j/Uy）=AU）A（y）^对任意x、y,-oo<x，y<4002^rr2•二维正态分布,p）即因此边缘分布与参数p无关。由此可知:边缘分布并不能完全确定联合分布。/Uy）=-■■■■--■•e2兀<T\Cr2y^-p可求得X，Y的边缘密度分别为设（X，Y）有二元正态分布，其联合密度为|（太-灼）2

（叉-/A）（y-A>+（y-外）22（1-p2）ofCT|<r2

ttj（四）随机变量的数字特征1、数学期望2、方差和标准差3、协方差和相关系数4、大数律和中心极限定理、数学期望期望的性质设a、b、c都是常数。(1)£■(<?)=(?；(2)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)；相互独立时,1.

0-1分布EX=p3.泊松分布P(A)：

EX=A5.指数分布E(A):EX2.二项分布p)：

EX二np随机变量函数的期望I(1)X有概率密度f(x)，则(2)X有分布律朽=P(X=^)，例5(p79)分赌本问题(pointproblem)甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等。现己赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？提示：如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的；能否依据现在的胜负结果2:1来分呢？但仔细推算也是不合理的，当时著名数学家和物理学家Pascal提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。若记X为甲最终所得，Y为乙的最终所得，容易得到X,Y的分布律为例11(P82)把n个球放进M只盒子，假定每轉可緣2、方差和标准差例有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为：第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批90,100,120,125,125,130,135,145，145,145__可计算出两批数据的平均数都是126,但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较大的偏离，因此，欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标是不够的，尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标，对于随机变量也有相同的问题，除了使用期望描述分布的中心位置以外，尚需一个描述相对于期望的分散程度的指标。1.0-1分布DX二p(l-p)2.二项分布B(n，p):DX—np{\—p}3.泊松分布P(A)：

DX=^」5.指数分布£(A)：

DXDX二cr4.均匀分布R(a,b):DX二6.正态分布N(/7.a2):方差的性质：设a与c都是常数，(1)

£)(c)=0;(2)

D(tLV)=a2D(X)；(3)

X与Y独立，则D(X±y)=D(X)+D(r)o则对算术平均，有E(X)=//,D(x)=^。这表明，作为中心位置指标又与单个X,有相同的期望值，但X的例设U2，…AU虫立同分布，EXx=p.DXx=a\,LlUiCiJ3、协方差和相关系数定义(1)x与y的协方差■»v(x,y)