第04讲确定圆的条件（知识解读真题演练课后巩固）

第04讲确定圆的条件了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。知识点2过三点的圆过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【题型1根据线段长度判断点与圆的位置关系】【典例1】（2023•增城区一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA＝6时，则点A与⊙O的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【答案】B【解答】解：∵OA＝6＞5，∴A点在圆外，故选：B．【变式11】（2023•拱墅区模拟）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，而3＜4，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，故选：A．【变式12】（2023•越秀区校级一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部【答案】A【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x1＝5，x2＝﹣1，∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，∴d＝5＜8，∴点P在⊙O的内部，【变式13】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【答案】C【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝3，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，∴PD＝＝7，在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，∴PC＝＝9，∴PC＞PD＞PB，∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．故选：A．【题型2根据点坐标判断点与圆的位置关系】【典例2】（2023•南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【答案】B【解答】解：∵点P的坐标是（3，4），∴OP＝＝5，而⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点P在⊙O上．故选：B．【变式21】⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外【答案】B【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，3），∴OP＝＝5，因而点P在⊙O上．故选：B．【变式22】（2021秋•青冈县期末）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（）A．6cm或16cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm【答案】B【解答】解：当点在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；当点在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；故选：B．【变式23】（2022秋•荔湾区校级期末）已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【答案】C【解答】解：∵P的坐标为（3，4），∴OP＝＝5．∵⊙O的半径为4，5＞4，∴点P在⊙O外．故选：C．【题型3根据点与圆的距离求半径】【典例3】（2023•东洲区模拟）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（）A．3 B．4或6 C．2或3 D．6【答案】C【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝1，最大距离PA＝5，∴直径AB＝1+5＝6，∴半径r＝3；②当点P在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝1，最大距离PA＝5，∴直径AB＝5﹣1＝4，∴半径r＝2．故选：C．【变式31】（2022秋•宛城区校级期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为2或3．【答案】见试题解答内容【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．故答案为：2或3．【变式32】（2022•鄞州区校级开学）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是2.5．【答案】2.5．【解答】解：如图：当点M在圆外时，∵点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，∴直径AB＝6﹣1＝5，∴半径r＝2.5．故答案为：2.5．【题型4确定圆的条件】【典例4】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，故选：D．【变式41】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点【答案】C【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；故选：C．【变式42】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点【答案】D【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，故选：D．【变式43】（2022•湖里区校级二模）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），不能确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【题型5根据三角形的外接圆的性质求角度】【典例5】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100° B．160° C．150° D．130°【答案】B【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心，∴∠A、∠BOC同对着，∵∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°，故选：B．【变式51】（2023春•朝阳区校级月考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD的度数是（）A．24° B．28° C．34° D．56°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝56°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，∴∠A＝∠DCB＝34°，故选：C．【变式52】（2023•方城县模拟）如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：∵∠D＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°，∵∠ABC＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故选：C．【变式53】（2023春•株洲期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为5cm，若BC＝5cm，则∠A的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°【答案】A【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为5cm，BC＝5cm，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝∠BOC＝30°，故选：A．【题型6根据三角形的外接圆的性质求线段长度】【典例6】（2023•雁塔区校级模拟）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．2 B． C． D．【答案】C【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵∠BAC与∠BOC互补，∴∠BAC+∠BOC＝180°，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，在Rt△OBD中，OB＝2，∴OD＝OB＝1，BD＝OD＝，∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝2，故选：C．【变式61】（2023•灞桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，△BCD内接于⊙O，若∠BCD＝60°，则圆心O到弦BD的距离是（）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠BCD＝60°，AB＝8，∴，过O作OH⊥BD于H，∴BH＝DH，∵AO＝BO，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AD＝4＝2，即圆心O到弦BD的距离是2，故选：C．【变式62】（2023•雁塔区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（）A．5 B． C． D．【答案】B【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OC＝4，∴DC＝2OC＝8，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵点B是的中点，∴＝，∴CB＝BD，∴BC＝＝4，故选：B．【变式63】（2023•成县三模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（）A． B． C．5 D．5【答案】D【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝10，∴CD＝AD＝5，∴AC＝＝5，故选：D．1．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°【答案】D【解答】解：连接OB，∵∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝＝65°．故选：D．2．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（）A．41° B．45° C．49° D．59°【答案】C【解答】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵∠DBA＝∠DCA＝41°，∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，故选：C．3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【解答】解：∵△ABC的外心为O，∴OB＝OC＝OA，∵OA＝＝，∴OB＝OC＝，∵B、C是方格纸格线的交点，∴B、C的位置如图所示，∴BC＝＝．故选：D．4．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故选：C．5．（2023•常州）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝4．【答案】4．【解答】解：如图，连接CD、OC．∵∠DAC＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝CD＝4，∴AD＝AC＝4．故答案为：4．6．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝35°．【答案】35．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案为：35．7．（2023•广安）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为7．【答案】7．【解答】解：作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图所示，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD，∴BD＝BO•sin∠BOD＝7×sin60°＝7×＝，∴BC＝2BD＝7，故答案为：7．8．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为3cm．【答案】3．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），故答案为：3．10．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来△ABD，△ACD，△BCD．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知：OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，OE＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．11．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径长为5．【解答】（1）证明：连接AD，AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∴，∴AF⊥BC；（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝6，∴AF＝＝＝8，∵BD＝2，∴DF＝4，连接OD，设DO＝AO＝x，∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，∵OD2＝OF2+DF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半径长为5．1．（2023秋•文成县期中）在同一平面内，已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以等于（）A．6 B．5 C．3 D．0【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径r＝5，点A在⊙O外，∴点A到圆心O的距离OA＞5，故选：A．2．（2023秋•玄武区期中）平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段OP＝5cm，则点P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，OP＝5cm，∴点P到圆心的距离大于圆的半径，∴点P在⊙O外．故选：A．3．（2022秋•大洼区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2）【答案】D【解答】解：如图所示：点P即为所求；所以点P的坐标为（5，2）．故选：D．4．（2023秋•萧山区期中）已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【答案】D【解答】解：∵点A在直径为8cm的⊙O内，∴OA＜4cm；∵2cm＜4cm；故选：D．5．（2023秋•西城区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．30° B．50° C．80° D．100°【答案】B【解答】解：∵∠BOC＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：B．6．（2023秋•福州期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：过D作DF⊥DE，则△DEF为等腰直角三角形，连接AC，取AC的中点O，连接PO、OE，∵△DEF为等腰直角三角形，∴DF＝DE，∵∠ADF+∠FDC＝∠CDE+∠FDC，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF与△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠CED＝135°，∴∠AEC＝90°，∵正方形边长为6，∴AC＝6，∴OE＝3，PO＝BC＝3，∴OE﹣PO≤PE≤PO+OE，∴3﹣3≤PE≤3+3，∵E不可以与A，B，C，D重合，∴线段PE的取值范围为3﹣3≤PE≤3+3，且PE≠3，PE≠3．∴线段PE的最大值为3+3．故选：D．7．（2023•鼓楼区校级三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【解答】解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝10，∴OA＝OB＝OE′＝5，∵BC＝12，∴OC＝＝＝13．∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8．故选：B．8．（2023秋•长沙期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（）A．2 B．5 C．1 D．5或1【答案】D【解答】解：设⊙O的半径为r，当点P在圆外时，r＝＝1；当点P在⊙O内时，r＝＝5．综上可知此圆的半径为1或5．故选：D．9．（2023秋•溧阳市期中）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，3），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是（） B．2 C．25 D．3【答案】A【解答】解：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，∵C是AP的中点，O是AD的中点，∴OC是△APD的中位线，∴OC＝PD，连接BD交⊙B于E，∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝＝5，当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，∴OC的最小值为：×3＝＝1.5．故选：A．10．（2023秋•江阴市期中）下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆；故不符合题意；（2）直径所对的圆周角是直角；故符合题意；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；故不符合题意；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．故符合题意；故选：B．11．（2023秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为5的圆，则以下四个点在圆上的是（）A．（3，0） B．（0，6） C．（2，4） D．（3，4）【答案】D【解答】解：∵点（3，4）到圆心的距离＝＝5，又∵r＝5，∴点（3，4）到圆心的距离＝r，∴点（3，4）在⊙O上，故选：D．12．（2023秋•乐清市期中）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，故选：C．13．（2023秋•龙湾区月考）如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（）A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定【答案】C【解答】解：如图：连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），∴圆心M的坐标为（2，0），∵A（0，4），∴AM＝＝2，∵线段DM＝4，∴DM＜半径AM，∴点D在⊙M内，故选：C．14．（2023秋•普兰店区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴BA＝＝＝10，∴其外接圆的半径为5．故选：B．15．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B． C．10 D．34【答案】C【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在M