2023年中考数学二轮复习-线段问题（旋转综合题）

2023年中考数学二轮专题复习一线段问题（旋转综合题）

一、解答题

1.（1）发现问题：如图1,在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90。，点F为BC上一点，以BF为边作正

方形8FEQ,点E在AB上，若AC=BC=2,BF=五,则一=；

CF

AT

（2）类比探究：如图2,在（1）的条件下，将正方形8FEO绕点B旋转，连接AE,BE,CF,求百的值；

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当A,E,F三点共线时，直接写出线段CF的长.

备用图

如图1,在RLABC中，AC=6BC=\.将.ABC绕点B顺时针方向旋转90。，点A的对应点为点E,连

接AE,则AE=

图1

（2）【问题解决】

如图2,在RtABC中，AC=5,8C=3,NACB=90。，延长CB到M,使CM=AC,将斜边A8绕点8

顺时针旋转90。到BE,连接CE,ME.求ME的长.

A

CBM

图2

(3)【拓展延伸】

如图3,在四边形48。尸中，BCA.AF,垂足为C,ZABC=NBDF,AC=CF=\,々=k,DF=4,请

用含k的式子表示A。的长.

ACF

图3

3.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题.如图1.将正方形纸片ABC。折叠，使

边AB,AO都落在对角线AC上，展开得折痕4E,AF,连接EF.试判断尸的形状.

独立思考：

(1)请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程.

实践探究：

(2)如图2.将图1中的—E4尸绕点A旋转，使它的两边分别交边BC,CD于点P,Q,连接PQ.请猜想线

段8P,PQ,。。之间的数量关系，并加以证明.

问题解决：

(3)如图3.连接正方形对角线B。，若图2中的NPAQ的边AP,AQ分别交对角线8。于点M,N,将图3

中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4所示.若BM=7,DN=24,求MN的长.

4.如图1,是边长为6cm的等边三角形，边在射线0M上，且。4=9cm.点。从。点出发，沿

0M方向运动.当点。不与点A重合时，将线段8绕点C逆时针方向旋转60。得到CE.连接BE,DE.

图1

(1)如图1,当点。在线段OA上运动时，线段B。、BE、8c之间的数量关系是,直线AO和直线BE

所夹锐角的度数是

(2)如图2,当点。运动到线段A8(不与A点重合)上时，(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理

由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由:

(3)如图3,将ABC改为等腰直角三角形，其中斜边AB=6,其它条件不变，以CQ为斜边在其右侧作等腰

直角三角形CDE,连接BE,请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由.

5.如图1,已知ABC是等边三角形，点E在线段A8上，点。在直线8c上，且ED=EC,将△BCE绕点

C顺时针旋转60。至△ACF,连接EF.

(1)证明：AB=DB+AF.

(2)如图2,如果点E在线段48的延长线上，其它条件不变，线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系？

请说明理由.

6.数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力,

拓展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABC。折叠，使边48、AO都落在对角线AC上，展开得折痕AA7、AN,连接MN,

如图1.

Si图2图3图4

转一转：将图1中的NM4N绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CO于点E、F,连接EF,如图2.

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4.

⑴/MAN。，写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

(2)线段BE、EF、£>F之间的数量关系为;

(3)连接正方形对角线8。，若图2中的NE4F的边AE、川分别交对角线8。于点G、点”.如图3,求C三F

oG

的值；

(4)求证：GH2=BG2+DH2.

7.如图1,在RtZVIBC中，？890?,AB=4,BC=2,点、D、E分别是边BC、AC的中点，连接。E.将

CC应绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.

(1)问题发现

ArAr

①当a=0。时，—=______；②当a=180。时，—=______.

BDBD

(2)拓展探究

Ap

试判断：当0。〈a<360。时，黑的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

(3)问题解决

a电绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段8。的长.

8.如图1,在RtZVlBC中，?B90?,AB=BC,A。是BC边上的中线，点。是A。上一点，DEA.EO,

E是垂足，£>£”可绕着点。旋转，点F是点E关于点。的对称点，连接A。和CE

(1)问题发现：如图2,当急=1时，则下列结论正确的是.(填序号)

①=C9；②点尸是0C的中点：③40是的角平分线；④石CF.

(2)数学思考：将图2中*DEO绕点。旋转，如图3,则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；

An

(3)拓展应用：在图1中，若器=%，将绕着点。旋转.

①则AQ=CF；

②若Afi=4,x=l,在")EO旋转过程中，如图4,当点。落在A8上时，连结BE,EC,求四边形ABEC

的面积.

9.如图1,在^ABC中，AB=BC,点D、E分别在边BC,AC上，连接QE,且£>E=£>C.

(2)拓展探究：若/ACB=NECZ)=30。，将△EZJC饶点C按逆时针旋转a度(0Ya<180。)，图2是旋

转过程中的某一位置，在此过程中A黑F的大小有无变化？如果不变，请求出A黑F的值，如果变化，请说明理

BDBD

由；

(3)问题解决：若/ABC=NEQC=p(0°<p<90°),将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则二的值

为—.(用含B的式子表示)

10.在正方形A8CO中，点E在射线BC上(不与点8、C重合)，连接。3,DE,将£>E绕点E逆时针旋

转90。得到EF,连接8F.

图1

图2

(1)如图1,点E在BC边上.

①依题意补全图1;

②若AB=6,EC=2,求防的长；

(2)如图2,点E在8c边的延长线上，用等式表示线段BO,BE,B尸之间的数量关系，并证明.

11.问题探究

(1)如图1,旗。中，ZACB=90°,AC=3,将ABC绕点8逆时针旋转得到△ABC,点C的对应点C'

落在AB边上，A'B=5,连接A4，，则/VV的长为；

(2)如图2,在,ABC中，ZBAC=60°,AG为BC边上的高，若AG=6,试判断.A8C的面积是否存在最

小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

图1图2图3

问题解决

(3)如图3,AfiC是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中？B90?,ZA=45。，A3边上的点

E为休息区，AE=12点米，BE=12米，两条观光小路附和EF(小路宽度不计，下在BC边上，H在AC

边上)拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，NHEF=105。,并且要求四

边形EFC”的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形瓦C”？若存在，请求出四边形E尸C”的面

积的最大值；若不存在，请说明理由.(结果保留根号)

12.在一45c中，43=AC,ABAC=a，点D是直线AC右侧一点，且ZADC=-ZBAC,连接BD.将.ACD

绕点A顺时针旋转a得到二ABE,连接DE.

EE

图1图2

(1)观察猜想，如图1,当夕=60。时，AD.CD、BO的数量关系是；

(2)类比探究，如图2,当&=90。时，试判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请说明理由；若不成立，

请写出线段AO,BD,CD之间的数量关系，并加以证明.

(3)拓展应用，如图3,在矩形ABC。中，BA=46,AD=4,EP是△43。的中位线，将绕点A在

平面内自由旋转，当/WDE为直角三角形时，直接写BE的长.

13.综合与实践

问题情境：

将两个完全相同的等腰R3A8C和等腰RsCDE按图1方式放置，NACB=NDCE=9。。,将RmCDE绕点、

C顺时针旋转，连接AE,BD,4E与8。相交于点G.

猜想证明：

(1)在图1中，请判断AE与8。的数量关系与位置关系，并说明理由；

(2)当旋转到CE//AB时，如图2,证明：AE平分NB4C：

BE

G

图2

解决问题:

(3)若旋转到如图3所示的位置时，连接BE、此时△BCE恰好是等边三角形，AE与BC相交于点尸，请

你直接写出B少F的值.

14.在正方形ABCQ中，过点B作直线I,点E在直线/上，连接C£,DE,其中CE=8C,过点C作

于点F,交直线/于点从

(1)当直线/在如图①的位置时

①请直接写出NECH与之间的数量关系

②请直接写出线段BH,EH,C”之间的数量关系

(2)当直线/在如图②的位置时，请写出线段B”，EH,C”之间的数量关系并证明;

(3)己知AB=2,在直线/旋转过程中当NEBC=15。时，请直接写出EH的长.

图①图②备用图

15.如图，四边形A8C。是正方形，点E在的延长线上，连接CE,EC绕点E逆时针旋转90。得到EF,

连接CP,AF,CF与对角线交于点G.

(2)试探究线段.，BG,0c之间有何数量关系？请证明；

(3)若点E在直线A8上运动，CF与对角线8。所在直线交于点G,且AB=3,当NAFC=30。时，请直接写

出3G的长度.

16.新定义：如图1(图2,图3),在二A8C中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，

得到△/0C',若N84C+N8AC'=180。，我们称△AB'C'是,4?C的“旋补三角形"，△AB'C'的中线4。叫

做.ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”

(1)【特例感知】

①若ABC是等边三角形(如图2),BC=4,贝ijAD=；

②若N8AC=90°(如图3),BC=6,AD=；

(2)【猜想论证】

在图1中，当ABC是任意三角形时，猜想40与BC的数量关系，并证明你的猜想；(提示：过点B'作

B'EAC'且B'E=AC',连接C'E,则四边形AB'EC是平行四边形.)

(3)【拓展应用】

如图4,点A,B,C,。都在半径为5的圆尸上，且AB与CQ不平行，AD=6,△”£＞是△8PC的，，旋

补三角形”，点尸是“旋补中心”，求BC的长.

参考答案:

1.(1)忘；(2)V2;(3