2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题21 折叠问题中的勾股定理（解析版）

专题21折叠问题中的勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示)【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=；(3)△BCD的周长为m+2【解析】【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=，AD=8-=；（3）∵△ABC的面积为m+1，∴AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．2．（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．【答案】（1）10cm；（2）①4cm；②3cm【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB的长，即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，进而求出AE的值；②在Rt△ADE中，由勾股定理，列出方程，可求DE的长．【详解】解：（1）设AB＝xcm，则AC＝（x＋2）cm，∵AC2＝AB2＋BC2，∴（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8，∴AB＝8cm，∴AC＝8＋2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，∴AE＝AC−EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴（8−y）2＝42＋y2，解得：y＝3，∴DE＝3cm．【点睛】本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．3．如图，折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DE∥BC，连结AF．（1）试判断△ACF的形状；（2）若AC＝13，AB＝20，BC＝21，求CF的长．【答案】（1）直角三角形；（2）5【解析】【分析】（1）由折叠性质可得DE⊥AF，根据DE∥BC，即得BC⊥AF，故△ACF是直角三角形；（2）设CF=x，则BF=21-x，在Rt△ACF和Rt△ABF中，利用公共边AF=可列方程，解方程即可．【详解】解：（1）△ACF是直角三角形，理由如下：∵折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，∴DE是线段AF的垂直平分线，即DE⊥AF，∵DE∥BC，∴BC⊥AF，∴∠AFC＝90°，∴△ACF是直角三角形；（2）设CF＝x，则BF＝21﹣x，在Rt△ACF中，AF2＝AC2﹣CF2＝132﹣x2，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝202﹣（21﹣x）2，∴132﹣x2＝202﹣（21﹣x）2，解得x＝5，∴CF＝5．【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，涉及勾股定理及应用、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，利用勾股定理列方程解决问题．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．（1）若a＝4，求CE的长；（2）求的值．【答案】（1）CE＝1.5；（2）【解析】【分析】（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．【详解】解：（1）设，，AD是BC边上的中线，∴CD＝2，由翻转变换的性质可知，，由勾股定理得，，解得，，则CE＝1.5.（2）设，∵，AD是BC边上的中线，，由翻转变换的性质可知，，由勾股定理得，，解得，，则，∴【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．5．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形纸片，AB=2，将△ABD纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．（1）求证：△FBE是直角三角形；（2）求BF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接BE、AE交FG于点O，利用等边三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；（2）根据勾股定理和翻折的性质解答即可．【详解】（1）连接BE、AE交FG于点O，等边△BCD中，E为CD中点，∴DBE=30°，BE⊥CD，∵∠ABD=60°，∴∠FBE=90°，即△FBE是直角三角形；（2）在Rt△EBC中，CE=1，BC=2，∴BE2=BC2﹣CE2=22﹣12=3，∵△AGF翻折至△EGF，∴AF=EF，在Rt△EBF中，设BF=x，则AF=EF=2﹣x，∴EF2=BF2+BE2，即（2﹣x）2=x2+3，解得：x=，即BF=．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．6．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．【答案】3cm．【解析】【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8-x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【详解】解：由题意设CN=xcm，则EN=（8-x）cm，又∵点D落在BC边中点E处∴CE=DC=4cm，∴在Rt△ECN中，EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即CN=3cm．7．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，求的长．【答案】2【解析】【分析】设，连接，，分别在和中利用勾股定理得出三边关系，然后利用得出，最后利用方程求解即可．【详解】设，连接，，在中，，在中，，∵，∴，即，解得，即．【点睛】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．8．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.（1）试说明；（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2），，之间的关系是．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．【详解】（1）由折叠的性质，得，，在长方形纸片中，，∴，∴，∴，∴．（2），，之间的关系是．理由如下：由（1）知，由折叠的性质，得，，．在中，，所以，所以．【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：（1）DE的长；（2）△GED的面积．【答案】（1）3，（2）【解析】【分析】（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEG中，根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，AG×GE＝AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，∴16+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DE＝3．（2）过G点作GM⊥AD于M，则AG×GE＝AE×GM，∵AG＝4，AE＝5，GE＝DE＝3，∴GM＝，∴S△GED＝GM×DE＝．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积，灵活运用折叠的性质设未知数，根据勾股定理列方程是解题的关键．10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．【解析】【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）由（1）可得∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得∠EAF＝∠DAF，继而可得∠EAG＝∠BAD＝45°；（3）首先设BG＝x，则可得CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，然后利用勾股定理GE2＝CG2＋CE2，得方程：（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解此方程即可求得答案．【详解】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，∴BG＝2．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．11．如图，正方形ABCD中，，点E在CD上，且，将沿AE对折至，延长EF交BC于点G，连接AG、CF．求证：≌；求BG的长；求的面积．【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）．【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理即可得出结论；结合和求出的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可得出结论．【详解】是由折叠得到，，，又四边形ABCD是正方形，，，，，在和中，≌，正方形ABCD中，，，，设，则．在直角中，根据勾股定理，得，解得．；由知，，，由知，≌，，，由知，，，，．【点睛】此题属于四边形的综合题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．12．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求△MNK的面积．（3）△MNK的面积能否小于0．5？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；【答案】40°；1．3；不能．【解析】【详解】试题分析：（1）根据矩形得出AM∥DN，则∠KNM=∠1，根据∠KMN=∠1得出∠KNM=∠KMN，根据∠1=70°得到∠KNM=∠KMN=70°，从而求出∠MKN的度数；（2）根据题意画出图形，设MK=AK=CK=x，则DK=5－x，根据勾股定理求出x的值，从而得出△MNK的大小；（3）过M点作AE⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1，由（1）得∠KNM=∠KMN，根据MK=NK，MK≥ME，ME=AD=1，得出MK≥1，从而得到△MNK的面积最小值．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN，