排列与排列数-(课件)

人教2019B版选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理3.1.2排列与排列数

学习目标1.正确理解排列的意义,掌握写出所有排列的方法,加深对分类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.2.掌握有关排列综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会用分类讨论思想解决问题.2.区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复

两个原理1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.温故知新试解答下列三个计数问题：（1）小张要在三所大学中选择两所分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？

（2）班里要在三名学生中选出两名分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方式？

（3）学校要在三名能力相当的教师中指派两人分别去浙江和上海交流教学经验，共有多少种不同的纸牌方案？

它们的答案是否一致？

如果用A、B、C分别表示上述问题（1）中的三所大学，用（A,B）表示，第一志愿是A，第二志愿是B，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题，（2）（3）的结果是否也能用类似的方法表示？尝试与发现（A,B）,（A,C）,（B,C）,（B,A）,（C,A）,（C,B）

概念解析

一、排列的定义

一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.排列的定义应注意的问题:(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个排列才是同一个排列.(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.(4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出m个对象后,在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问题,无序就不是排列问题.(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形图法、框图法.概念辨析1.判断下列问题是否是排列问题:(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标;(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题.(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.小试牛刀辨析：

“排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中,任取m个对象,按照一定顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,它是一个数。概念解析

问题探究辨析：

(1)这个公式只有在m,n∈N+,m≤n的情况下才成立(以后不再说明).(2)公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(n-m+1).概念解析三、排列数公式1.排列数公式：典例解析例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列。

由图可知，所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.2.排列数公式的阶乘表示概念解析3.排列数的性质典例解析

典例探究

典例解析例3.某地区足球比赛共有12个队伍参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？

例3的关键是，把所给问题转化为等价的排列问题。例4.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同时，都表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？

例4.说明，解题过程中，可以将基本技术原理与排列知识有机结合.典例解析例5.

用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？

典例解析

例5的方法二，通常称为“排除法”，也就是先算出无限制条件的所有排法数，然后再减去不符合条件的排法数。例6.

用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？

从例6可以看出，利用排列数公式，可以简化思维过程.典例解析排数字问题常见的解题方法1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位.2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.归纳总结跟踪训练1.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数?(2)个位数字不是5的六位数?(3)不大于4310的四位偶数?跟踪训练分析这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解.例7.有3位男生和2位女生，要做某风景点前站成一排照合影，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？

例7的解法，相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为“捆绑法”.典例解析例8.某晚会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？

典例解析值得注意的是，例8中所有符合条件的安排方法都可用解法中的方式得到，例如“AB甲C乙”

，只要在图中的第三个、第四个空格分别填上甲、乙即可.这种解法方法通常称为“插空法”.在解决类似的要求不相邻的问题中，用插空法往往简单、有效.1.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法.2.元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中归纳总结跟踪训练2.有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间,乙必在两端;(2)甲不在左端,乙不在右端;(3)男、女生分别排在一起;(4)男女相间;(5)男生不全相邻.跟踪训练1.4·5·6·…·(n-1)·n等于(

)当堂达标解析:原式可写成n×(n-1)×…×6×5×4,故选D.答案:D2.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个解析:①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;②不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排列.答案:B答案:C3.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

)A.8

B.24

C.48