2022北京首都师大附中高三三模数学（教师版）

2022北京首都师大附中高三三模

数学

2022-05

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内，复数4-。）对应的点的坐标为（-1,2）,则实数。=（)

A.1B.-1C.2D.-2

2.若全集。=1<,4={x|x<l},5={x[%>-1},则()

A.B.AC.D.

3.下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是（）

A.y=2.B.y=-x3

X

C.y=cos—D.y=In

2-2+x

4.如果实数a,b,。满足：a>b>c,则下列不等式一定成立的是（)

A.ac23>be2B.a2>b2>c2C.a+c>2bD.a-c>b-c

5.在圆M:Y+V一2x-3=0中，过点E（O,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

()

A.20B.472C.6夜D.872

6.设函数/(x)=；sin3x+°),x€R,其中0>0,烟<万.若/5万\\7V

0,且相邻两个零点之间

的距离大于不，则（）

1Ibr2兀

A.<y=—,(p=-----B.co=—,(p=—

324312

17乃211万

C.CD——,(p=---D.co=—,(p=-----

324312

7.已知等差数列{a,,},则“r=2”是""([ik+1*।

a但1,%,/,一^—GN厂成立的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，在正方体ABC。-A&GA中，E为棱BC上的动点，R为棱用8的中点，则下列选项正确的是（）

A.直线A。1与直线EF相交

B.当£为棱8c上的中点时，则点E在平面49户的射影是点E

C.存在点七，使得直线A。与直线所所成角为30

D.三棱锥石一4）产的体积为定值

9.已知函数=+若实数加以-2,0],贝在区间[私加+2]上的最大值的取值范

x-2x,x>0

围是（）

A.[1,4]B,[2,4]C.[1,3]D.[1,2]

10.已知函数/（x）=e、-k+4,给出下列四个结论：

①若a=0,则有一个零点；

②若。€（1,中动，则有三个零点；

③k>0,使得“X）在R上增函数；

④X/a<0,/（x）在R上是增函数.

其中所有正确结论序号是（）

A.①②③B.①③④C.①@④D.②③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.

11.在（«-4]的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）

IX）

12.若sinacos£-cosasin£=cos60,请写出一组符合题意的.

13.点A（2,0）,3（1,2）,C（2,2）,\AP\=\AB-AC\,。为坐标原点，则而与次的夹角的取值范围是

14.已知双曲线C的焦点为耳（—2,0）,乙（2,0）,实轴长为2,则双曲线。的离心率是；若点。是双曲

线C的渐近线上一点，且-Q*LKQ,则△片鸟Q的面积为.

C-C

15.颗粒物过滤效率"是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为〃=巧;--X100%,其中Cw表示单

位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）,G.表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数

量(单位：ind./L).某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试,

测试结果如图所示.图中点的横坐标表示第，・种口罩第J次测试时Cw的值，纵坐标表示第，种口罩第/次测试

时4„的值［=1,2,/=1,2,3,4).

Q(ind/L)

Qa/ind/L)

该研究小组得到以下结论：

①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高；

②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；

③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；

④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步最.

16.如图，直三棱柱ABC—45G中，AC=BC=^AAi,。是棱的中点，DCJBD.

(1)证明：DC,±BC-

(2)求二面角4一80—G的大小.

17.已知“IBC的内角的对边分别为a,b,c,且\/曲11仟+8)+5足仁一3卜0.

(1)求B8的值；

(2)给出以下三个条件:

条件①：a2-Z?2+c2-3c=0：条件②。=3；条件③5"蹂=”书•这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的

条件并回答下面的问题：

(i)求sinA的值；

(ii)求NA6C的角平分线8D的长.

18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16

时公布实时在园人数.下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：

1日2日3114H51161170

10时在园人数115261800519682828413830101016663

12时在园人数26518370894293116845340172316814800

14时在园人数37322380454063120711365582470615125

16时在园人数27306296873063816181208211616910866

通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量(同一时段在园人数的饱和量)之比来表示游园舒适度，40%以下

称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人.

(I)甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；

(II)从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布

列和数学期望；

(III)根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？(只需

写出结论)

19.已知椭圆C：《+，=l(a>8>0)过点(0,1),离心率为孝.

(1)求椭圆C方程；

⑵直线>=Z(x+l)伏。0)与椭圆交于A、B两点,过A、8作直线/:尤=一2的垂线，垂足分别为〃、N,

点G为线段MN的中点，尸为椭圆C的左焦点.求证：四边形AGNE为梯形.

IZ7-?

20.已知函数/(x)=—or+--(tz>0).

22x

⑴若a=l,求曲线y=/(x)在点(1,/。))处切线方程；

(2)若对任意xe[l,+"),都有/(x)21nx,求实数。的取值范围.

21.设〃..2且〃wN,集合={1,2,3,4,…,2小，若对。”的任意女元子集匕，都存在“小也匕，满足：

a<h<c,a+b>c,且a+Z?+c为偶数，则称匕为理想集，并将女的最小值记为K,,.

(1)当〃=2时，是否存在理想集？并说明理由.

(2)当〃=3时，是否存在理想集？若存在，求出K3；若不存在，请说明理由.

(3)求K4

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内，复数温一。)对应的点的坐标为(一1,2),则实数。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的乘法运算公式对已知式子进行整理，结合所给点的坐标即可求出。.

【详解】解：=由题意知，一1一出对应的点的坐标为(—1,2),贝ija=—2,

故选:D.

【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了已知复数对应点坐标求参数，属于基础题.

2.若全集。=1<,A={x|x<l},B={x|工>一1},则()

AA^BB.B^AC.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得8uA={RxNl},然后可判断出答案.

【详解】因为A={x|x<l},B={x|x>-l},

所以gA={x|xNl},所以.KaB

故选：D

3.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是()

A.y=2|v|B.y=-x3

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.

【详解】对于A,函数/。)=2N的定义域为R,关于原点对称，

且/(-%)=2T=2W=/(x),所以函数f(x)为偶函数，

当xe(0,2)时〃x)=2',函数/(x)单调递增，故A不符合题意；

对于B,函数/(x)=-d定义域为R,关于原点对称，

且/(一x)=-(—x)3=/=一/(尤)，所以函数/(x)为奇函数，

由嘉函数的性质知函数)，=无3在R上单调递增，

所以函数/(；1)=-1在区上单调递减，故B不符合题意；

对于C,函数/(x)=cos］的定义域为R,关于原点对称，

XX

且/(一X)=cos(--)=cos-=/(X),所以函数f(x)为偶函数,

当X€(0,2)时］€(0,1),又(0,1)=(o,,

所以函数f(x)=cos］在(0,1)上单调递减，故C符合题意；

2—x

对于D,函数〃x)=ln——的定义域为(-2,2),关于原点对称，

2+x

且/(一可=In言=In(2尸=-InU=一/(H,

Z—AZ,-rX/+X

112x

所以/(X)是奇函数，又='——不一-一

令/'(x)<0n-2Vx<0,令/'(x)>0n0<x<2,

所以函数/(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

4.如果实数。，b,C满足：a>b>c,则下列不等式一定成立的是()

A.ac1>be1B.a1>b2>c2C.a+c>2hD.a-c>b-c

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果.

【详解】对于选项A,当c=0时，ad=bd,故选项A错误；

对于选项B,当。=-1,。=一2,。=一3时，层>出>/错误；

对于选项C,当a=l,6=0,c=—3时，a+c>2Z?错误；

对于选项D,直接利用不等式的基本性质的应用求出方一C,故选项D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.

5.在圆M:炉+^-2x_3=0中，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

()

A.272B.472C.6近D.872

【答案】B

【解析】

【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而求出最短、最长弦，即可得解;

【详解】解：圆加：/+丁―2x—3=0,即〃：（％-1）2+丁=4,圆心为M（1,O）,半径r=2.

又=J『+（—if=瓶,所以过点E（0,l）的最长弦|AC|=2r=4,最短弦忸。|=2尸彳丽7=20，

且最短弦与最长弦互相垂直，所以SABS=1|AC|x|fir）|=472；

故选：B

6.设函数/(x)=；sin3x+°),x€R,其中0>0,烟<%.若/5万\\7V

0,且相邻两个零点之间

的距离大于乃，则（）

111万2兀

A.<y=—,(p=-------B.co=—,(p=—

324312

17万211万

C.CD=—,(p----D.a)=—,(p=-------

324312

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求得?再由周期公式求得。，最后由若〃冷毛求得。值，即可得解.

T71

【详解】解：因为函数相邻两个零点之间的距离大于万，所以/（%）的最小正周期大于24，所以一>一,

42

口“5%1,JI乃、TIbr543万

又八可）='"玄）=°n'所RC以r）W=H一至二7

2万2

・・T=3兀，则—=34，即。=—

CD3

f(x)=~sin(s+夕)=gsin(|x+(p),

54、13•/5万、,

由/x—+<?)=-.得sin(s+—)=l.

oL12

5兀71~

(pH-----——F2k7c,kfeZ.

122

因为冏<4，所以取Z=0,得⑴弋.

271

CD——9（P—---.

312

故选：B.

7.已知等差数列{4},则）=2”是“产幺=a剋，,成立的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等差数列的通项公式计算可得；

【详解】解：因为f,左,/,=eN",设等差数列的首项为4,公差为d，

t

当f=2时％；%+(%_l)a+q+(/-l)d]=q+]k+l

F里，故充分性成立;

k+l,

若~^=4,+/,即4+"/一至，即4+(%—1)d+4+(/_l)d=/q+--------1

所以24+伏+/-2）4=/+（左+/7”，即（2T）（4—d）=0,所以t=2或q=d,故必要性不成立,

ci.+ci,（iik+1

故“E=2”是“七」=a区丁wNJ”成立的充分不必要条件；

故选：A

8.如图，在正方体A3CD-44GA中，E为棱3c上的动点，/为棱的中点，则下列选项正确的是（）

A.直线4。与直线£7?相交

B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面A。F的射影是点F

C.存在点E，使得直线A。与直线所所成角为30。

D.三棱锥石一4）产的体积为定值

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理可得AA//平面片GC8,进而可判断A；

利用勾股定理和反证法即可判断B；建立如图空间直角坐标系，利用向量法和反证法即可判断C；根据等体积法即

可判断D.

【详解】A：由题意知，ADJ/BG，Bgu平面B£C8,AQ|Z平面B|GCB

所以A2〃平面BCCB,

又EFU平面BCCB，所以4。与EE不相交，故A错误；

B：连接A。、Dp、AF.AE.CB{,如图,

当点£为8C的中点时，EF〃CB\,又AAJ.C4,所以

若点E在平面A。尸的射影为尸，则所_L平面4。尸，垂足为尸，

所以砂_LAF，设正方体的棱长为2,则4£：=4/=石，EF=6,

△A£F中，WA£2,所以NAFEK9()°，

即EF1A/不成立，故B错误；

C：建立如图空间直角坐标系。一盯z,连接8G，则AR//BC；,

所以异面直线EF与A"所成角为直线EF与BC］所成角，

设正方体的棱长为2,若存在点E(a,2,0)(0Wa<2)使得EF与BC、所成角为30°，

则3(2,2,0),F(2,2,1),G(0,2,2),所以乔=(2-。,0,1),用=(—2,0,2),

所以而•西=2a—2,又|乔•凿卜同|阿cos30°,

得|2a—2|=2&xJ(2—a)2+lx等,解得a=4土石，

不符合题意，故不存在点E使得所与A3所成角为30°,故C错误；

D：如图，

由等体积法可知％_ADF=VF-ADE>

=

又％rfA\DtjF~3^△ADFBF3=2-x—xADxABxBF,

AD.AB,跖为定值，所以匕“DE为定值，

所以三棱锥E—的体积为定值，故D正确.

故选：D.

9.已知函数=+若实数小以-2,0],贝力/(幻--(一1)|在区间[见加+2]上的最大值的取值范

x-2x,x>0

围是()

A.[1,4]B.⑵4]C.[1,3]D.[1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出了(—1)=1,进而可知l/(x)—/(-l)R/(x)-1|,由〃?€[-2,0],可知区间[加,加+2]£[—2,2],且该区间

长度为2,然后画出函数/(x)的图象，进而可得到y=|/(x)-1|在[-2,2]上的图象，结合图象可求得

y=|/(x)-1]在区间[加，加+2]上的最大值的取值范围.

【详解】由题意，当xW—l时，/(%)=%+2；当—l<x<0时，/(%)=-%；当xNO时，f(x)=x2-2x.

所以/(一1)=1,则"(x)-/(-I)H/(%)—11,

因为根以-2,0J,所以区间[加，加+2]1[—2,2],且该区间长度为2.

作出函数f(x)的图象，如图1,进而可得到y=|/(x)-l|在[-2,2]上的图象，如图2,

根据图象可知在区间[加,机+2]上的最大值的取值范围是[1,2].

故选：D.

【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.

10.已知函数/(%)="一1+4,给出下列四个结论:

①若a=0,则/(X)有一个零点；

②若aw(l,+x)),则/(x)有三个零点；

③丸>0,使得“X)在R上是增函数；

④Va40J(%)在R上是增函数.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①③④C.@@④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数分段研究函数/(x)的单调递增，结合零点的存在性定理依次判断命题即可.

/、丫।।/\[ex+x+a,(x<-a]

【详解】因为函数"x)=e*—k+4,所以函数/(x)=(*'，，

e-x-ciAx^—ci)

则/⑺=;'+JG(X<0)

对于①，当。=0时

x—x,(x>0)

当x<0时，/(力单调递增,

当X20B寸，八x)=e*—120,所以/(X)单调递增，所以函数“X)在R上单调递增，且/(—l)=e--l<(),

/(l)=e'-l>0,所以函数/(x)有一个零点，故①正确;

e'+x+tz,(x<-a)

对于②,若ae(l,+oo),则—a<—l,

ex-a)>

当x<-n时，/(x)单调递增，且〃-a)=e-"-a+a=e-">0,

f(-2a)=e-2a-2a+a=e2a-a<e2a-l<0,

所以函数/(x)在(-0,—a)上有1个零点；

当时，令/'(九)=e*-1=0,解得x=0,

当一a<%<0时，.f'(x)<(),贝ij〃x)单调递减；

当x>0时，/(x)>0,则/(X)单调递增，如图,

所以〃力产〃°)=6°-0-2=-1<0，

所以函数/(力在(-a,+oo)上有2个零点，

综上，当aG(1,+00)时函数/(x)有3个零点，故②正确;

对于③，当a>0,即一。<0时，则/(x)=〈x'/)、,

[e-X-a,(x>-a)

当x<一“时，y(x)单调递增，

当xN-a时，令/''(》)=e*-1=0,解得x=0,

所以当一a<x<0时，所以/'(x)=e*-l<0,/(x)单调递减；

当xX)时，所以/(%)=炉一1>0,/")单调递增，

所以当a>0时，函数“X)在和(0，+8)上单调递增，

在(-。，0)上单调递减，所以不存在a>0,使得/(x)在R上是增函数，故③错误;

“、[ex+x+aAx<-a]

对于④，当a<0,即一a>0时，则/(%)=〈t、)、,

[e-x-a,(x>-a)

当X<-4时，/(X)单调递增，

A

当XN-Q时，f'(x)=e-1>0,

则/(X)单调递增，所以函数/(X)R上单调递增，

结合命题①的分析可知当a=0时函数/(x)在R上单调递增，

综上，Va<0,/(x)在R上是增函数，故④正确；

故选：C.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.

11.在(6-』]的展开式中，常数项为__________.(用数字作答)

IX)

【答案】-84

【解析】

【分析】求出二项式展开式的通项，再令匕包=0,求出r,再代入计算可得；

2

9一r9-3r

【详解】解：二项式的展开式通项公式为7；M=q.x才.㈠广厂丁㈠广弓犬丁-

令二9一一3r=0,解得r=3,

2

故展开式的常数项为7；=-孀=-84,

故答案为：-84.

12.若sinacos,一cosasin/?=cos60,请写出一组符合题意的a、。.

【答案】a=45°、尸=15°(答案不唯一)

【解析】

【分析】本题属于开放性问题，只需填写符合题意的答案即可，再利用两角差的正弦公式及诱导公式计算可得;

【详解】解：因为sinacos用一cosasin4=sin(a-0,cos60"-cos(90-30)=sin30,

所以sin(«-/?)=sin30°,

所以。一/=30°+攵x360°,ZeZ或a-〃=150°+攵x360°,k&Z,

不妨令a=45。、Z?=15°；

故答案为：a=45°、#=15。(答案不唯一)

13.点A(2,0),8(1,2),C(2,2),\AP\=\AB-AC\,。为坐标原点，则而与3A的夹角的取值范围是

7T

【答案】0

_)70_

【解析】

【分析】根据向量得模的几何意义可得点P的轨迹是以A(2,0)为圆心，1为半径的圆，再利用圆的切线可求得答

案.

【详解】因为5(1,2),C(2,2),所以而=(—1,0),

所以|QH荏-ACHCB\=1,

所以点尸的轨迹是以42,0)为圆心，1为半径的圆，

如图：

由图可知，当OP与圆相切时，NPOA最大，也就是而与赤夹角最大,

TT

此时OPLBA,OA=2,PA=l,所以/尸。4二一,

6

71

所以而与砺夹角的取值范围是0，工.

_0_

兀

故答案为：0,-.

o

【点睛】本题考查了向量的减法法则和向量的模的几何意义，考查了向量的夹角，考查了数形结合思想，属于基础

题.

14.已知双曲线C的焦点为耳（一2,0）,玛（2,0）,实轴长为2,则双曲线C的离心率是；若点。是双曲

线C的渐近线上一点，且则△片入。的面积为.

【答案】①.2②.在

2

【解析】

【分析】直接求出心c,即可求出离心率；利用几何法求出|且@=1,|耳。|=6,直接求出面积.

【详解】因为双曲线C的焦点为耳（―2,0）,E（2,0）,实轴长为2,所以c=2,a=l,所以离心率e=£=2.

a

因为c=2,a=l,所以（==6,

所以直线/：y=—x,即y=gx为双曲线的一条渐近线.不妨设点。是/上一点，

a

且々QJ_gQ,则NQO8=60。.

因为KQ_LgQ,。为耳工的中点，所以|0。|=|乙。|,所以A。鸟Q为等边三角形，

所以怩。1=1,由勾股定理解得：忻0=玛玛2_优。『=也2一］2=百

所以△耳居。的面积为"LXGXI=T5.

22

如图示：

故答案为：2；

2

C-C

15.颗粒物过滤效率〃是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为〃二°；1x100%,其中Cw表示单

位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）,表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数

量（单位：ind./L）.某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，

测试结果如图所示.图中点&的横坐标表示第i种口罩第/次测试时Cm,的值，纵坐标表示第i种口罩第/次测试

时Gn的值(j=l,2,J=l,2,3,4).

八Jind/L)

O

“ind/L)

该研究小组得到以下结论：

①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高；

②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；

③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；

④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【解析】

【分析】

,C

先根据题意分析得直线。&•的斜率％=寸越大，颗粒物过滤效率〃越小，再看图逐一分析结论即可.

^out

Q-Q(C、C

【详解】依题意，n=inxioo%=xioo%,知直线的斜率上=子越大，颗粒物过滤效率

QulIc°Jc0M

77越小.看图分析如下：

在第1种口罩的4次测试中，四条直线。4/(/=1,2,3,4)中，直线。4H斜率最大，故〃最小，第4次测试时的颗

粒物过滤效率最低，则①错误；

在第2种口罩的4次测试中，四条直线。&/(./=1,2,3,4)中，直线。43斜率最小，故〃最大，第3次测试时的颗

粒物过滤效率最高，则②正确；

在第1次和第2次测试中，直线。A2,斜率大于。斜率，(7=1,2),即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3

次和第4次测试中，斜率大于直线。4厂斜率(j=l,2),即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④

正确.

故答案为：②④.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步最.

16.如图，直三棱柱ABC—A5G中，AC=BC=^AAl,。是棱的中点，DCJBD.

ClBl

(1)证明：DC,±BC-

(2)求二面角4一8。—G的大小.

【答案】(1)见解析；(2)30°

【解析】

【详解】试题分析：(D易证DG_LBD,再根据勾股定理证DCiLDC,从而可证得DCi，平面DCB,得到DGLBC.

(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取AIBJ的中点为M,连结CiM、DM,证明/GDM是Ai-BD-G的平面

角即可.

(I)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.

是AAi的中点，/.DC=DCi

XAC=—AAi,ADC,2+DC2=CCi2,.—DC

2

又DC」BD,且DCiClDC=D,DCi_L平面DCB.

/.DCi±BC

（II）由（I）知，DCilBC,又CCi_LBC,DCiClCC产Ci

，BC_L平面CDCi,BiCi〃BC；.BiCiJ_平面CDCi

二BiCUAC,△A1C1B1为等腰直角三角形

取A山।的中点为M,连结CiM、DM

直棱柱的底面AIBICIL侧面AB”CiMlA.Bi

GM_L平面ABi,CiMIBD.

由（I）知，DG_L平面DCB,ADCilBD

又CiMCDCkC,，BD_L平面CiMD,MD1BD

ZCiDM是ALBD-G的平面角.

在RtZ\GMD中，C|M=斗A©1,CQ=+A。；=84cl，

.\sinZCDM=-1^-=i

1.,.ZCiDM=30°

C,D2

二面角AI-BD-CI的大小为30°.

考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等知识.

点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是求解空间的角与距离的关键.求角的步骤为：一作，二证,

三指，四求.

17.已知“WC的内角A,8,C的对边分别为a,0,c,且瓜in《+8)+sin?-8)=0.

(1)求B8的值；

(2)给出以下三个条件：

条件①：a2-b2+c2-3c=0；条件②。=3；条件③5“隧=今后•这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的

条件并回答下面的问题：

(i)求sinA的值；

(ii)求NA5C的角平分线8。的长.

【答案】(1)—；

3

4R15

(2)条件❷2也正确，⑴1；(ii)—.

148

【解析】

7T

【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得2sin(8+§)=0,即可求得B；

(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出力，结合正弦定理即可求出

BDCD

sinA、sinC,再次利用正弦定理可得，,解方程组即可.

BD_AD

,sinA-sinZABZ)

【小问1详解】

也sin彳+8)+sin(y-8)=0,

3J

—cosBH—sinB4-----cosB—sinB—0»

2222

sin3+cosB=0，

TTTT

2sin(B+y)=0,得B+~j=k兀，k

由0<3VTT,得8=2^；

3

【小问2详解】

若条件①正确，由/一从+。2一3°=0，得一/=3c，

13c3

由余弦定理，得cos8="+L*n即n—=---=—

lac22ac2a

解得。=-3不符合题意,故条件①不正确，则条件②③正确;

1573

⑴由SABC=—acsinB,q

24

得国Lkxq,解得c=5,

422

由余弦定理，得"2=a2+c2-2accosB=9+25-30x(--)=49,

2

因为)>0,所以b=7,由正弦定理，

得上=，,即sinA=3=辿；

sinsinAb14

(ii)由正弦定理，得一也=—即sinC=£*0=±v5,

sinBsinCh14

因为BO平方NA5C,ZABC=——，所以NA3O=NCB£>=、，

33

在△A3。中，由正弦定理，得=———

sinAsinZABD

BDCD

在△CB。中，由正弦定理，得

sinCsinZCBD

sjnrAn

又CD=7—A£>,上述两式相除，得^一=-------

sinA1-AD

35ADsinA35315

解得所以8D二_____—_x—=_

8sinZABQ一87-8

D

18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16

时公布实时在园人数.下表记录了1（）月1日至7日的实时在园人数：

1S2日3日4H5日6H7日

10时在园人

115261800519682828413830101016663

数

12时在园人

26518370894293116845340172316814800

数

14时在园人

3732238(M54063120711365582470615125

数

16时在园人

27306296873063816181208211616910866

数

通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下

称为“舒适”，己知该公园的最大承载量是8万人.

（I）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；

（II）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布

列和数学期望；

（10）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需

写出结论）

【答案】（I）,；（H）X的分布列见解析，数学期望E（X）=m；（111）从10月3日开始连续三天12时的在

园人数的方差最大.

【解析】

【分析】（I）由题意得，在园人数为8x40%=3.2万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解

即可；

（II）从1（）月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、70,得X的取值可能为0，

1,2,且服从超几何分布，由此可求出答案；

（III）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论.

【详解】解：：40%以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人，

在园人数为8x40%=3.2万人以下为“舒适”，

（I）1（）月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适''的天数为3天，

3

甲同学遇上“舒适”的概率P=二；

7

（H）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适'’的有4日、6日、7日,

•••X的取值可能为o，1，2,且服从超几何分布,

C：C；_6