中考数学考点大串讲（北师大版）：专题03 概率的进一步认识（易错30题2种题型）（解析版）

专题03概率的进一步认识（易错30题2种题型）一、用树状图或表格求概率1．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．2．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）一个小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域里的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面积之比计算概率即可．【详解】设每个正方形的面积为１个单位，根据题意，全部面积为９，阴影的面积为3，故它最终停留在黑色区域里的概率是，故选C．【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握面积之比等于概率是解题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分别用表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可．【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果，∴；故选C．【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格．4．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）从2名男生和2名女生共4名候选人中随机选取两人参加演讲比赛，则两人恰好是一男一女的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出树状图表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可．【详解】解：根据题意可画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中两人恰好是一男一女的有8种，则两人恰好是一男一女的概率是；故选：C．【点睛】本题考查用列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．5．（2023秋·九年级课时练习）不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果有2种，两次都摸到相同颜色的小球的概率为．故选：A．【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．6．（2022春·陕西榆林·九年级校考期中）从2.6．9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：

共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种（92和96），∴在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率为，故选：A．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）将分别标有“大”、“美”、“明”、“德”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“明德”的有2种结果，∴两次摸出的球上的汉字能组成“明德”的概率为，故选A．【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．8．（2022秋·安徽宿州·九年级校考期中）现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小萱从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚，则小萱抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率是．【答案】【分析】根据题意，将四枚邮票依次记为，，，，根据画树状图法求概率，即可求解．【详解】根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小萱同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．∴恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．故答案为：．【点睛】本题考查了画树状图法求概率．解题的关键是把所有等可能的情况都列举出来．9．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）在3名女生和2名男生中选出两人当志愿者，恰好选中一名男生和一名女生的概率是．【答案】/0.6【分析】根据题意先画出树状图，得出可能的结果数和一男一女的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：∵可能的结果有20种，其中一男一女的结果有12种，∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是．故答案为：．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解题关键．10．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是．

【答案】【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种，∴能使小灯泡L发光的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，解题的关键是罗列出所有等可能的情况，做到不重复，不遗漏．11．（2023秋·九年级课时练习）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．【答案】【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．12．（2023秋·重庆九龙坡·九年级校考阶段练习）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为．【答案】【分析】先画出树状图求出和为正数的概率，根据一次函数图象经过一、三象限得到，由此即可得到答案．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，结果两数的和为正数的结果有6种，∴从四个数中随机取两个数的和为正数的概率为，∵一次函数的图象经过一、三象限，∴，∴从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，一次函数图象与系数的关系等等，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．13.（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为．

【答案】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：设大正方形的面积为1，由图可知，小正方形的面积为大正方形面积的，小等腰直角三角形的面积为大正方形面积的，∴阴影部分的面积为大正方形面积的：.飞镖落在阴影部分的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．14．（2023秋·九年级课时练习）小丽、小颖和另两名同学一起去看电影，买到4张座位相连的电影票，座位号顺次为10排5，6，7，8座，小丽和小颖从4张票中随机各抽取一张，则小丽和小颖抽取到的电影票正好是相邻座位的概率是．【答案】/【分析】先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出电影票正好是相邻座位的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：用画树状图法表示：

共有12种等可能的结果数，其中相邻的座位为共6种，所以（相邻座位），故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．15．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）为扎实推进“多彩校园”活动，我市某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数504080参加四个社团活动人数扇形统计图请根据以上信息，回答下列问题：(1)抽取的学生共有______人，其中参加篮球社团的有________人；(2)若该校有3200人，请估算该校参加舞蹈社团的学生人数；(3)该校某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．【答案】(1)200，30(2)800(3)【分析】（1）从统计表和扇形统计图可知，样本中选择“足球”社团的有80人，占调查人数的，根据频率即可求出调查总人数，进而求出参加篮球社团的人数；（2）求出样本中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，即可估计总体中“舞蹈”社团的学生人数占调查人数的百分比，根据频率进行计算即可；（3）用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．【详解】（1）解：调查总人数：（人），参加“篮球”社团的人数为：（人），故答案为：200，30；（2）解：（人），答：该校3200名学生中，参加舞蹈社团的学生大约有800人；（3）解：从3男2女共5名学生中随机抽取2名，所有等可能出现的结果如下：共有20种等可能出现的结果，其中1男1女的共有12种，所以从3男2女中任意抽取2名同学，其中是一男一女的概率的概率为：【点睛】本题考查统计表、扇形统计图，列表法或树状图法，掌握频率以及用树状图法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．16．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．【答案】【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中刚好是一男生一女生的结果有6种，∴刚好是一男生一女生的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．17．（2022·广东广州·广州大学附属中学校联考模拟预测）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：等级成绩人数15187

(1)表中；扇形统计图中，等级对应的扇形圆心角为度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有人；(2)若分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，用总人数减去其它等级的人数，求出，再用乘以等级所占的百分比，求出等级对应的扇形圆心角度数；用全校的总人数乘以成绩为等级的学生所占的百分比，即可得出答案；（2）画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人，，等级对应的扇形圆心角为：，估计成绩为等级的学生共有：（人，故答案为：，，；（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有2种，则甲、乙两人都未被选中的概率．【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布表，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）为了激发学生热爱劳动的兴趣，提高学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动，我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“陶艺制作”四种课程．为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校对学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．(1)在校园中随机选取名同学进行问卷调查，该同学选择最喜欢“手工烹饪”的概率是______；(2)现从喜欢“整理收纳”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，合作展示收纳整理小技巧，请用画树状图或列表法求恰好选到甲和丙两位同学的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：在校园中随机选取1名同学进行问卷调查，该同学选择最喜欢“手工烹饪”的概率是，故答案为：．（2）解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选到甲和丙同学的结果数为，恰好选到甲和丙同学的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．19．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）人口“老年化”是我国社会发展急需解决的问题，放开生育政策，国家鼓励生育．现有一个家庭有3个孩子，(1)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；(2)求这个家庭至少有一个女孩的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据生男生女的等可能性来画出树状图，进而得出结论.（2）根（1）中的树状图进行解答即可．【详解】（1）解：“树状图”列出所有结果为：一共有8种情况，出现的可能性是相同的，这个家庭有2个男孩和1个女孩的情况有3种，所以这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为；（2）由树状图可知：一共有8种情况，出现的可能性是相同的，这个家庭至少有一个女孩的情况有7种，所以这个家庭至少有一个女孩的概率为.【点睛】本题考查树状图或表格法来求概率，准确画出树状图是解题的关键.20．（2022秋·广东清远·九年级统考期末）体育公园在防疫期间开设，B，三个测体温通道．一天早晨，小粤与爸爸各自随机选择一个通道进入．利用画树状图或列表的方法，求小粤和爸爸从同一通道进入公园的概率．【答案】【分析】先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．【详解】列表如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中小粤和爸爸从两个从同一通道进入校园的有3种可能，所以小粤和爸爸从同一通道进入校园的概率为【点睛】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法求概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格找出符合条件的可能结果是解题关键．21．（2021秋·陕西榆林·九年级校考阶段练习）某单位安排甲随机到A、B、C三个社区中的一个进行新冠疫苗接种，再安排乙随机到A、B、C三个社区中的一个进行新冠疫苗接种．(1)甲在A社区接种疫苗的概率是______；(2)利用树状图或列表法求甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：∵一共有A、B、C三个社区，甲到每个社区接种疫苗的可能性相同，∴甲在A社区接种疫苗的概率是；故答案为：；（2）解：由题意，画树状图如图所示：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的结果有6种，∴甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率为．【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．二、用频率估计概率22．（2022秋·安徽宿州·九年级校考期中）如图，二维码图案占满了整张正方形纸，且面积为，为了估计图中黑色部分的面积，可在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落人黑色部分的频率稳定在左右，那么估计黑色部分的面积约为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点落人黑色部分的频率稳定在，则黑色部分占整体的，黑色部分面积约占整体面积的，即可．【详解】点落人黑色部分的频率稳定在，∴黑色部分占整体的，∵正方形的面积为，∴黑色部分的面积约：．故选：C．【点睛】本题考查用频率估计概率，解题的关键是理解题意，掌握概率的运用．23．（2023秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．【详解】解：由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，故选：A．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．24．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，由此估计盒子中小球共有（

）A．30 B．28 C．24 D．20【答案】A【分析】根据频率估计概率，直接由概率公式求解即可.【详解】解：设盒子中小球共有个，根据题意得，解得：，经检验：符合题意，所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球．故选：A．【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.25．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）不透明的箱子里装有除颜色外完全相同的黑白两种颜色的塑料球共50个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，据此可以估计箱子里黑球个数约是个．【答案】35【分析】根据黑球的频率稳定在0.7，得到摸到黑球的概率为0.7，利用总数乘以概率即可得出结果．【详解】解：∵多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在0.7，∴摸到黑球的概率为0.7，∴黑球个数约是个；故答案为：．【点睛】本题考查利用频率估计概率，以及已知概率求数量．解题的关键是根据频率估算出概率．26．（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：抽查的头盔数n10020030050080010003000合格的头盔数m951942894797699602880合格头盔的频率0.9500.9450.9620.9580.9610.9600.960请估计该工厂生产1000个头盔，合格的头盔数有个．【答案】960【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可．【详解】解：∵头盔的合格率稳定在附近，∴估计该工厂生产1000个头盔，合格的头盔数有（个）．故答案为：960．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．27．（2023秋·全国·九年级专题练习）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有个．【答案】【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例相等求出即可．【详解】】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，∴从袋子中任意摸出个球，是白球的概率约为，设袋子中的白球个，依题意，得解得：