2022年甘肃省陇南市高考数学诊断试卷（理科）（学生版+解析版）

2022年甘肃省陇南市高考数学诊断试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={忒仄-2>1},-%-6<0},则4nB=（）

A.{x|l<x<3}B.{A|1<X<2}C.{X\-2<x<]}D.{A:|-3<x<l}

2.（5分）已知复数z满足（z-2）（1+。=1-3i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）已知等差数列{“"}满足420-422=2,411011=1012,则42022=（）

A.0B.1C.2D.2023

4.（5分）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名

学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8,15,20,21,19,19,

10,6,20,23,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

5.（5分）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，

如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）2QW0）的一部分，且点A（2,

-2）在该抛物线上（）

c.（0,D.（0,一）

4o

6.（5分）新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目,

“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和

生物的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

7.（5分）已知A是函数f（x）SsinOJx（3〉0）图象的一个最高点,B,C为直线丫=返

y2

（x）图象的两个相邻的交点，若存在8,C,则3=（）

A.2B.2C.22LD..

333

8.（5分）在高为3的直三棱柱ABC-AiBiCi中，AABC是以C为直角的等腰三角形，且

A8=2&iCi的中点，M为线段BC上的动点，则AM+MD的最小值为（）

A.3+75B.726C.2+/10D.5

9.（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能

折叠的扇子，其中乙4。8=120°,0A=2OC=2而上，则就•前的最小值是（）

A.-1B.1C.-3D.3

10.（5分）设a=2e«2,b—e02,c—1.2,则（）

A.a〈b〈cB.b<c<aC.b<a<cD.c〈b<a

22

11.（5分）已知双曲线E：2__?_=i（a>0,b〉0）的左焦点为凡过点F的直线/垂

直于双曲线E的一条渐近线，直线/与双曲线E交于点N,且祁=3屈，则双曲线E的

离心率为（）

A.V2B.V3C.D.V5

2

12.（5分）若存在正实数x,y,使得等式4x+〃（y-3e2x）Clny-live）=0成立，其中e为

自然对数的底数（）

A.（0,~y］B.[-4,4CO）

ee

C.（-8,o）D.（-8,O）U[A-,Q）

e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.（5分）己知函数/（x）=ar3-2b/+x是定义在［2a+l,3-a］上的奇函数,则a+b=.

14.（5分）（x-1）（2r-1）6的展开式中项的系数是.（用数字作答）

15.（5分）已知数列｛斯｝的前n项和为Sn,且2Sn=3an-2n,若am>729,则m的最小值

是

16.（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒

洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部

分.如图，正四面体ABCD的棱长为4,则该勒洛四面体内切球的半径是

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.

17.（12分）在△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,eg平疝.记

（1）求角A的值；

（2）延长AC至点。，使得CQ=AC,且BQ=2BC,求AABC的周长.

18.（12分）如图，四边形A5co是圆柱的轴截面，O',EF是底面圆的一条直径，DE=

DF.

（1）证明：EFLAB；

（2）若2A£>=JEAB,求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.

19.（12分）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫

情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（4,B,C）,其中16名职工分别是A部门8

人，B部门4人

（1）若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；

（2）若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可

能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X,求

随机变量X的分布列和数学期望.

20.(12分)已知椭圆C：三-+H_=1(。＞人＞0)的左、右焦点分别为尸1,F2,椭圆C的

a2b次

离心率小于喙.点P在椭圆C上，|PF||+|PF2|=4,且△PFIF2面积的最大值为我.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点M(l,1),A,8是椭圆C上不同的两点，点N在直线/：3x+4y-12=0上，且

NAAli.NB=nBM)试问人+口是否为定值？若是；若不是，请说明理由.

21.(12分)已知函数/(x)—e'^+x-xlnx(m^O).

(1)当〃7=1时，求/(x)在［1；

(2)设函数/(X)的导函数为/(x),讨论了(x)

(二)选考题：共10分，请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一个题目计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为'(支为参数),

ly=3sinO.

以坐标原点0为极点，直线/的极坐标方程是pcos0-psin0+4—0.

(I)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)已知P,。分别是曲线C和直线/上的动点，求|尸。|的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=|2x+a|+|函-3|.

(1)当“=1时，求不等式f(x)＜尤+7的解集；

(2)若关于x的不等式/(x)21恒成立，求。的取值范围.

2022年甘肃省陇南市高考数学诊断试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|3x-2>1},B={x\x1-x-6<0},则4nB=（）

A.{x|l<x<3}B.{A|1<X<2}C.{x|-2<x<l}D.{x\-3<x<l}

【解答】解：：A={x|3x-2>8}={x|x>l},

B—[xix1-x-2<0}={x|-2<x<3},

，AnB={x|l<x<3},

故选：A.

2.（5分）已知复数z满足（z-2）（l+i）=l-3i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：由复数z满足（z-2）（1+0=2-3。

则z=^j^+2=（5Ti；（IT）+2=l-4i，

l+i4

则复数Z在复平面内所对应的点的坐标为（1,-2）,

则复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，

故选：D.

3.（5分）已知等差数列{。"}满足420-422=2,411011=1012,则42022=（）

A.0B.1C.2D.2023

【解答】解：在等差数列{如}中,由。20-。22=2,得2d=-6.

.".a2O22=aion+lOl1J=1012-1011=L

故选：B.

4.（5分）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名

学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8,15,20,21,19,19,

10,6,20,23,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

【解答】解：将这组数据按一定顺序排列为6,8,10,16,18,19,20,21,25,

则这组数据的中位数和众数分别是19,20,

故选：C.

5.（5分）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，

如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）2（aWO）的一部分，且点A（2,

c.（0,十）D。（0,T）

O

【解答】解：•••点4（2,-2）在抛物线上5,

2

••.抛物线方程为）=-g八-2y,2P=8,£=_1,

222

，焦点坐标为（0,--）,

8

故选：A.

6.（5分）新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，

“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和

生物的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

c1c%6

【解答】解：由题意可得，学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率P=.1,5c.

8

故选：B.

7.（5分）已知A是函数f（x）=«sin3x（3〉0）图象的一个最高点,B,C为直线丫=返

y2

（x）图象的两个相邻的交点，若存在2,C,则3=（

D.呼

【解答】

解：令V^sin3x=义或

3

则方程在［0,三］的解为」L,32L

36363

由△ABC是等边三角形,

故选：c.

8.（5分）在高为3的直三棱柱ABC-4B1C1中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，且

AB=2&ICI的中点，M为线段BC上的动点，则AM+MZ）的最小值为（）

A.3+75B.726C.2+-/10D.5

【解答】解：将等腰直角△ABC翻折到矩形BCC向共面，如图,

AM+MD的最小值为AD,

,:AC=BC=1Mx—=2>。。=4,

3

；.■£>=4（2+3）3+J.2=V26>

C.AM+MD的最小值为/谢.

故选：B.

9.（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能

折叠的扇子，其中NAO8=120°,OA=2OC=2CD上,则证,质的最小值是（）

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，

则B(2,0),日)，E(cos。."),

3

故EA=(-5-cos0,V3>EB=(2-cos0,

则丽稀=(-8-COS0)(2-cose)+(V3

=-2+COS20-cos0-5/SsinQ+sin3S

TT

=-2+1-4sin(04--)

6

jr

=-2sin(0+—)-1,

4

故当o+工=2L,即o=?L时，

633

瓦•而有最小值-2-4=-3,

D.c<b<a

【解答】解：・・・。=2/°3,b=e°,2

・••妨a=-2.2+/〃2,加8=8.2,

：.lna-lnb=-0.5+/n2>-0.3+/〃“=-0.4+7.5=0.3>0,

:・lna>lnb,

•*cib，

设fG)="-(x+l),

:・f(x)="-6,

当x>0时，f(x)>0,

当xV6时，f(x)<0,

：.f(x)2/(0)=1-(5+1)=0,

•V(8.2)>0,

即e7-2-(0.6+1)>0,

即e72>1.6,

：.b>c,

.,.a>b>c.

故选：D.

22

11.(5分)已知双曲线E：¥-%=l(a>0，b〉0)的左焦点为凡过点尸的直线/垂

直于双曲线E的一条渐近线，直线/与双曲线E交于点N,且而=3而，则双曲线E的

离心率为()

A.V2B.V3C.D.疾

2

【解答】解：设M在渐近线产=一且x上，

a

则直线EW的方程为尸=包(x+c),

b

(_(2

(x+c)x=-^—

联立方程《，解得,,

b_ab

y--xy=

ac

2,

：.M(,辿)，

cc

又：同=5而，d-+6c，辿)，

•.•点N在双曲线上,

/Q5Q2\2Q2

.k2c-3a)8a

=2,

a2c2c2

化简得4c2=1346,

•*V—•-')

a2

故选：C.

12.(5分)若存在正实数x,y,使得等式4x+a(y-3e2x)Uny-Inx)=0成乂，其中e为

自然对数的底数()

A.(0,4]B-\~2>-HOO)

ee

C.(-8,o)D.(-oo,o)u/，一)

e-

【解答】解：由4x+〃(y-3e2x)Clny-bvc)=0得4%+〃(厂4入)加工=0,

x

即5+o(工-3«2)加工=6,

XX

设/=工，则/>(),

X

则4+。(r-3e2)lnt=0,

即([-3«2)/川=-2有解，

a

设g(r)=Ct-2e2)Int,

则g'(z)=/WF-t一为增函数,

t

Q2

・・・g'(?)=/n?+3-2®—=2+1-5=0,

68

e

.••当时，gf(/)>2,

当OV/V/时，g，(Q<3,

,当f=及时,函数g(r)取得最小值g(e2)=(e7-3e2)lne1=-4e2,

即g(/)2g(e2)=-4e2,

若(f-3/)碗=-2有解，

a

则-22-4昌即或昌

aa

・・.。<0或介工

2

e

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.(5分)已知函数f(x)=加-2苏+%是定义在［2〃+1,3-4］上的奇函数，贝!|a+b=2.

4.

【解答】解：函数/(x)=0?-2版4+、是定义在［2a+1,3-网上的奇函数，

可得2“+1+4-a=0,解得a=-4,

又/(-x)=-f(x),可得b=8,

所以a+b--4.

故答案为：-4.

14.(5分)(x-1)-1)6的展开式中N项的系数是220.(用数字作答)

【解答】解:展开式中含X3的项为xX以(2x)2,(-5)4-IX£(2x)7.(-1)33,

所以V的系数为220,

故答案为：220.

15.(5分)已知数列｛所｝的前n项和为Sn,且2s=3z-2n,若a,”>729,则m的最小值

是7

【解答】解：当〃=1时，2a8=3ai~5,解得m=2；

当〃》6时，・：2Sn=3anYm,

2Sn-i=8。〃-1~2(n-5)f

两式相减，整理得。〃=33」+6,

♦♦〃〃+1=3(a〃-4+1),

又=3#6,

・・・｛版+1｝是以3为首项，8为公比的等比数列，

n-1n>

•'-an+l=3X4=3

n

an=3-l-

令am=3m-7>729，

解得机》7.

又；，

•••，"的最小值是7,

故答案为:4.

16.（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒

洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部

分.如图，正四面体A8C。的棱长为4,则该勒洛四面体内切球的半径是_4-旄

【解答】解：由题意知：该勒洛四面体内切球的球心即为正四面体B8CZ）的中心。，且

该勒洛四面体内切球与勒洛四面体相切，

并连接。4,OE,0D

显然，A,O,E三点共线,

所以点4到平面BCD的距离72_2由2_（喑2=嘤

h=ABr

设OA=x,则/=Ch-x）2+J,

代入数据，解得：x=V2.即0A=&，

所以该勒洛四面体内切球的半径为0E=AE-0A=4-A历，

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.

17.（12分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,岑■藤,正.

（1）求角4的值;

(2)延长AC至点。，使得CQ=AC,且BD=2BC,求aABC的周长.

【解答】解：(1)ZVIBC的面积靛.正.得邑csinA=1,

223

.,.tanA=代，V0<A<TT2L;

6

(2)在△ABO中，由余弦定理有

22

.♦.4/=36+4庐-2X6X26X&,：.a^3+b-3b@,

2

*/ZACB^-ZBCD=TircosZACB+cosZBCD=4,

2.,22.,22

...a+b-36+a+b-7a=52一/=一跳②，

8ab2ab

由①②解得。=8,a=3{,

•••△ABC的周长为15+7我.

18.（12分）如图，四边形A3C。是圆柱的轴截面，O',EV是底面圆的一条直径，DE=

DF.

（1）证明：EF±AB；

（2）若求平面8CF与平面C£>E所成锐二面角的余弦值.

【解答】解：（1）证明：连接。0,

因为。E=OF.EF是底面圆的一条直径，

所以£>OJ_EF,因为A。是圆柱的母线，

所以4£>_LE凡因为OOCAO=。，ABCD,

所以EFJL平面ABCD,ABu平面ABCD,

：.EF±AB；

(2)以。为坐标原点，。£00'所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则尸（1,5,B（0,1,C（4,1,代），-7,如）,0,2）,

所以而=(1,0),BC，7,M),ED=(1,匹),EC=(1,1,夜),

设平面BCF的一个法向量为扇=(X，y，

则?•号x-y=0，令产1,z”

npBC=V3z=3

平面2CF的一个法向量为亟=(4,1,

设平面OEC的一个法向量为、=(a,b,

则付空a-bW^c=3,令ea=-a,

m»EC=a+b+>/3c=0

所以平面DEC的一个法向量为；=(-，§,5,

所以cosV、，,>=_m・n_=愿,

ImI*Ini71+7XA/3+14

所以平面BCF与平面COE所成锐二面角的余弦值为限.

19.(12分)为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫

情防控工作部署，安排4名干部和三个部门(4,B,C),其中16名职工分别是4部门8

人，B部门4人

(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；

(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口(假设每名干部安排到各高速路口是等可

能的，且各位干部的选择是相互独立的)，记安排到第一个高速路口的干部人数为X,求

随机变量X的分布列和数学期望.

【解答】解：（1）至少有2个组长来自A部门共有3种情况：有3个组长来自A部门,

有3个组长来自A部门.

C2c7+C3c1+C7

设事件A表示“至少有2个组长来自A部门”，则P（A）=工§__"一鼠=字_

C2*4*130

16

（2）由题意可得：X的可能取值为0,3,2,3,8.

P(X=k)=c：g)k(_1_)2-k,%=o,1,5,3,依照s4=_81_)p(X=l)=「1

,256

xAx(3)4=JO：勺5£,p(x=3)=上__L.

7256256256256

可得X的分布列

8cnbsp\X&nhsp;7 \1 2&〃加p;3 4

 \P :*1&〃加〃；.I。1 54128cnbsp\——

256256256256256

E(X)=6X」=3.

4

20.（12分）已知椭圆C：3丁+2_=1（。＞匕＞0）的左、右焦点分别为乃，F2,椭圆C的

a2b,2

离心率小于亚.点尸在椭圆C上，|PF||+|PF2|=4,且△PFIF2面积的最大值为e.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点M（l,1）,A,3是椭圆C上不同的两点，点N在直线/：3x+4y-12=0上，且

一版，试问人+N是否为定值？若是；若不是，请说明理由.

【解答】解：（1）\PFi\+\PF2\=2=2a,a=2,则

当P为上顶点或下顶点时,，△PF3F2的面积最大，4-X2cXb=bc=V3,

bc=V2

由，4=b2+c8^Wb=V3,c=2.

23

所以椭圆C的方程为江上

43

（2）由于欣=入高，NB=HBM,所以A,M,N,

72

由（1）得椭圆C的方程为-J^=],故M（l,

47

所以直线A/N与椭圆必有两个交点A,B,不妨设A在MN之间,

当直线MN的斜率不存在时，直线的方程为x=8,

B+4-7=y=±3即A(5,"I"),B(6,等),

2+4y-12=0即N(l，

由NA二人AM，NB二NBM得(0,=X(0,^-),(0,~^-)=|1(0,-y-),

所以入手|i=-A,X+|l=0.

当直线MN的斜率存在时，设直线"N的方程为y-2=A(x-1),

y-l=k(x-2)

由1v*2V2消去y并化简得(5+43)x3+(8左-8内)X+4d-2%-8=0,

AJf

3k2-8k5k2-8k-8

xA+xR=-----2xAxR=----------E-

B8+4kAB3+4k5

y-i=k(x-i)解得当生

由

3x+4y-12=0N4k+7

*一.

由NA二人AM，NB=WBM得XA-XN=X(XM-XA),XB-XN=|iCXM-XB\

所以入+N=£&31=工^31

XM-XAXM-XB1-XA1-XB

=XN(XA+XB-7)-2XAXB+(XA+XB)

xAxB-(xA+xB)+1

999

6k+8,8k-8k3k-8k-2,8k-3k、

,Xv(g--Z)-2n.vX7-(E-)

4k+7n3+4k83+4k63+4k‘

4k2-3k-88k6-8k.,

------2——z(----r)+1

3+33+6k」

-6k-16.8k+16

^3+4k453+8k2

5

3+4k2

综上所述，入+”为定值.

21.（12分）已知函数/（无）=e,tLX+x-xlnx（/n0）.

(1)当m=l时,求/(%)在口;

(2)设函数/(x)的导函数为/(x),讨论了(x)

【解答】解：(1)当m=l时，f(x)=ex+x-xlnx,x6［l.

f'(x)-lnx=g(x),

gr(x)--=u(x)在在［1.

X

，(1)=e-1>3,：.gf(x)>0,

：.g(x)在阳1,e］上单调递增，

：.f(x)=g(x)>8,

・・.函数f(x)x6［l,e］上单调递增，

x=l时，函数f(x)取得最小值；

x=c时，函数/(%)取得最大值-e=c，

.V(x)在［5,e］上的值域为［e+1,ee］.

(2)函数/(x)=^+x-xlnx(机20),xG(5.

f(x)=mefnx+\~Inx-\=tnemx-Inx,

①6=2时，f(x)=l+x-xlnx,+8).

f(x)=-/心在在(0,+8)上单调递减.

：.f(x)在在(4,+8)上存在唯一零点1.

②相>0时，f(x)=memx-lnx=h(x),

h'(X)=，"7/r一」在xe(0.

X

%f5时，hf(x)-8,hf(%)f+8.

・••存在唯——；《)€(0,+°°)6mx0=—k-,2/zwi+〃rto=-/〃X4,

x8

使得函数〃(x)在(0,xo)上单调递减，在(K,+8)上单调递增.

即x=xo时，函数〃（X）取得极小值即最小值,

mx

h(xo)—mp2-lrvco=—--+nvco+2lnm,

mx^

*/—--+如026,当且仅当一-_6,即mxo=l时取等号.

IRXQmXg

加>旦时，h(刈)>2+7历工=0,+8)上不存在零点.

ee