2023-2024学年辽宁省大连八中高三上学期9月联考数学试题及答案

20230919数学统练8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ff(x)2ex1e2yf(x)1.已知函数A.2exyeC.xye，则曲线在点处的切线方程为（）2200B.2e2xye20022D.4e2xye22.函数f(x)＝3＋xlnx）1e1,eAB.e1e1,C.D.,exa，若p是真命题，则实数的取值范围是（ꢀꢀ）ex0a3.已知命题p：aeaeA.a1B.D.C.a14.设aR，若函数A.a1yexax，xR，有大于零的极值点，则（）111aD.B.aC.aee5.已知函数f(x)＝x＋sinx，x∈(－1，1)，则满足f(a－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是32A.(0，2)B.(1，2)C.(1，2)D.(0，2)x26.设函数fxsinxcosx，则下列是函数f（x）极大值点的是（）455π2A.πB.-πC.πD.-33337.已知0a4，0b2，A.cba0c3，且16aa24，4lnbbln2，9ccln3，则22（B.cabC.acbD.bca1a0.1,b，c0.98.设，则（）9A.abcB.cbaC.D.acb4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.a,,,dab0cd9.设A.c为实数，且，则下列不等式正确的是（）cdB.acbd2cdbC.acbdD.0axx1210.已知函数fx，则下列结论正确的是（）exA.函数存在两个不同的零点fxB.函数既存在极大值又存在极小值fx时，方程fxk有且只有两个实根C.当ek05xt,fx2D.若时，，则t的最小值为2ef(x)x24xax有两个极值点，设这两个极值点为x，x，且x2，则（1）11.若函数1212)xx2fxC.3D.fx3A.B.121112.已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数，且对任意的x，x∈[0，+∞)(x≠x)，总有1212f(x-2)-f(x-2)12>0，则下列结论正确的是（）1-2A.f(-6)<f(0)B.f(0)<f(-3)C.f(0)<f(-6)D.f(-3)<f(0)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.a13.已知bab，则的取值范围为_______.bax1214.若函数f(x)（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是______.exxfxx的极大值点为fxfex15.已知函数16.已知直线，则______，极大值为______.eyaxbyax2相切，则与曲线的最大值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4axa0，q：实数x满足|x3|1.17.设p：实数x满足x22（1）若a1，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；a0（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数的取值范围．a8x12x18.（1）当x1时，求的最小值；31f(x)log2x21xf(a)fb0（2）已知函数，若对任意的正数a，b，满足，求ab的最小值.19.求解下列两题fx12mfxa（1）已知函数xa0且a1ax2时，若不等式（对a2x1,3m恒成立，求实数的取值范围．任意（2）已知函数fx2a4x2x1有解，求实数的取值范围．0xfx，若关于的方程a20.已知函数fxxx.（1）求的最小值；fx12x，都有x（2）证明：对一切成立.ex21.已知函数x1axxaR.fxe（1）若函数在x处的切线与直线3xy0fxa平行，求的值；fxxa1（2）若不等式x的取值范围.a对一切恒成立，求实数fxx1x22.已知函数.（1）讨论的单调性；fx11abbaabab2（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.ab20230919数学统练8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ff(x)2ex1e2yf(x)1.已知函数A.2exyeC.xye，则曲线在点处的切线方程为（）2200B.2e2xye20022D.4e2xye2【答案】A【解析】【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.f(x)2ex1e2，所以f(x)2ex1，所以f3e2，f2e.2【详解】因为f处的切线方程为在点yf(x)y2e2x1，2所以曲线2exye故选：A.2.函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是（220.即）1e1e,eA.B.1e1,C.D.,e【答案】B【解析】1【分析】求导，令f′(x)<0，解得0<x<，解之可得选项.e11【详解】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，令f′(x)<0，解得0<x<，故xe1f(x)的单调递减区间是.e故选：B．【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，关键在于求得导函数取正负的区间，属于基础题.xa，若p是真命题，则实数的取值范围是（ꢀꢀ）ex0a3.已知命题p：aeaeA.a1B.D.C.a1【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出给定命题的否定，再利用全称量词命题为真求解作答.p【详解】依题意，命题：xexa，即xaex，0而函数yex(上单调递增，因此恒有exeae，则，ae所以实数a的取值范围是故选：B.4.设aR，若函数A.a1yexax，xR，有大于零的极值点，则（）111aD.B.aC.aee【答案】A【解析】ex,y2a,则两曲线交点在第一象限结合图像exa0有大于的实根数形结合令0,y1,易得a1a1,选A.5.已知函数f(x)＝x＋sinx，x∈(－1，1)，则满足f(a－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是32A.(0，2)B.(1，2)C.(1，2)D.(0，2)【答案】B【解析】11f（﹣xf（x且f′（x0可知函数f（x由此可求出a．【详解】∵函数f（x）＝x3+sinx，x∈（﹣1，1则f（﹣x）＝﹣f（x∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）＝3x2+cosx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1∴f（1﹣a）＜f（a2﹣111a11a11，求得＜＜2，21a∴1aa12故选B．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．x26.设函数fxsinxcosx，则下列是函数f（x）极大值点的是（）4535π2A.πB.-πC.πD.-333【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，再根据极值点的定义即可得出答案.x2【详解】解：由fxsinxcosx，4x1得fxsinxxxsinxx，22令或fx0，则x0x2kZ，,k3x,,,0,,fx0，则当时，33333x,,,,fx0，当时，33333所以函数在,,,0,fx,递减，33333,,,,在上递增，33333所以函数f（x）极大值点的是故选：D..37.已知0a4，0b2，0c3，且16aa24，4lnbbln2，9ccln3，则22（A.cba【答案】D【解析】B.cabC.acbD.bcaxfxx0，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.【分析】构造函数x2a4lnbln2cln32【详解】由题意，得，，．a242b222c321x2xe2x0，则fx设当，x2fxx312f(x)>012fx0时，；当时，，0xexe所以在1212上为减函数，fxee,上为增函数，在f10x1时，fxfx结合；x1时，0，0，易画出fxfaf4又，fb，，结合，，的取值范围及的图象，可得f2fcf3fxabcbca，故选：D1a0.1,b，c0.98.设，则（）9A.abc【答案】C【解析】B.cbaC.D.acbf(x)x)xa,b,c的大小.【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定【详解】方法一：构造法11xxf(x)x)x(x(x)1f设当，因为，1xx(0)f(x)0x)f(x)0，时，，当时所以函数f(x)x)x在(0,)单调递减，在(0)上单调递增，1101019100.9，即bc，f()f(0)0所以，所以，故9999191911119ee10f()f(0)0+0所以，所以，故10，所以，101010ab故，x21e1x1x1设g(x)xex)(0xx，则g(x)xex,x1h(x)ex(x2，h(x)ex(x22x，令x2单调递减，单调递增，当0x21时，当21x1时，h(x)0，函数h(x)e(xh(x)0h(x)e(xx2，函数h(0)0又，h(x)0所以当0x21时，所以当0x21时，，g(x)0g(x)xex)单调递增，x，函数gg(0)00.9，所以ac所以，即0.1e0.1故选：C.方法二：比较法0.110.1bc0.1)，解：ae0.1，，lnalnb0.10.1)①令则，f(x)xx),x(0,0.1],x1f(x)10，1x1x故f(x)在(0,0.1]上单调递减，f(0.1)f(0)0ab0ab，所以；可得，即②令ace0.1，g(x)xexxx),(0,0.1],1x1xe1xx111x则g'xxexex，令k(x)xxe)x1，所以k(x)x22x)ex0，k(x)(0,0.1](0,0.1]k(x)k(0)0g(x)0，即，所以所以在上单调递增，可得上单调递增，可得gg(0)0ac0a.，所以g(x)在，即ca.故4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.a,,,dab0cd，则下列不等式正确的是（9.设A.c为实数，且）cdB.acbd2cdbC.acbdD.0a【答案】D【解析】【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得【详解】已知ab0cd,对各选项逐一判断：选项A：因为0cd,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得c2,所以选项A错误.选项B：取a2,b1c1d2,,,则,则ac3,bd3,此时acbd,所以选项B错误.选项C：取a2,b1c1d2,,2,2,此时acbd,所以选项C错误.cdbcdab0,0cd,所以adbdbc0,所以选项D正确.选项D：因为故选：D.,所以,即aabxx1210.已知函数fx，则下列结论正确的是（）exA.函数存在两个不同的零点fxB.函数既存在极大值又存在极小值fx时，方程fxk有且只有两个实根C.当ek05xt,fx2D.若时，，则t的最小值为2e【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．15【详解】对于A，由fx0，得x2x10，∴x，故A正确；2x2x2x1x2对于B，fx，exexx,1时，x1,2fx0，当时，()x>0，f当∴在fx，上单调递减，在(-2)上单调递增，,1∴f是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；f2xy0，根据Bf(e，再根据单调性可知，当对于C，当时，可知，函数的最小值是f(x)k有且只有两个实根，所以C正确；ek0时，方程对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为(2,)0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当xy0，所以图象是无限接近时，轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．f(x)x24xax有两个极值点，设这两个极值点为x，x，且x2，则（1）11.若函数1212)xx2fxC.3D.fx3A.B.1211【答案】D【解析】【分析】求导分析出函数的极大值点即可.fxQf(x)x4xax2【详解】，ax2x24xaf(x)2x4，x令，，且0xx，fx0，则方程2x2xx4xa0两根为12124242a0，，a2所以axx2xx1，所以011122，，12122的极大值点，即.xfxf1f13为1故选:D.12.已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数，且对任意的x，x∈[0，+∞)(x≠x)，总有1212f(x-2)-f(x-2)12>0，则下列结论正确的是（B.f(0)<f(-3)）1-2A.f(-6)<f(0)【答案】CD【解析】C.f(0)<f(-6)D.f(-3)<f(0)fxfx-2)12【分析】根据对任意的x，x∈[0，+∞)(x≠x)，有>0，不妨设0≤x<x，得到f(x-2)<f(x-12121212122)，从而f(x-2)在[0，+∞)上是增函数，即f(x)在[-2，+∞)上是增函数，然后根据f(x-2)是偶函数，即f(x-2)的图像关于y轴对称求解.fxfx-2)12【详解】因为对任意的x，x∈[0，+∞)(x≠x)，有>0，121212fxfx-2)12不妨设0≤x<x，因为>0，1212所以f(x-2)-f(x-2)<0，f(x-2)<f(x-2)，1212所以f(x-2)在[0，+∞)上是增函数，所以f(x)在[-2，+∞)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数，所以f(x-2)的图像关于y轴对称，故f(x)的图像关于直线x=-2对称，所以f(-6)=f（2f(-3)=f(-1)，则f(-3)<f(0)<f(-6).故选：CD.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性在比较函数值大小中的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.a13.已知bab，则的取值范围为_______.b【答案】(-2)【解析】1【分析】由2bb，可得b0,再将bab同乘可得答案.b【详解】因为bab，所以2bb，1所以b00.，b1将不等式bab,同乘以,bbabba12，即.则bbb故答案为(-2).【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.ax1214.若函数f(x)（e为自然对数的底数）是减函数，则实数a的取值范围是______.ex【答案】【解析】xa恒成立，讨论的取值，结合不等式恒成立的条件，f0【分析】首先求函数的导数，由题意可知，即可求解.2axax12【详解】fx，ex因为函数是减函数，所以0恒成立，fx0恒成立．fxgx12，则gx令当a0时，gx1成立，所以a0满足条件．当0时，则的图象开口向上，不恒成立，不符合题意，舍去．gxgx0gx0a04a4a02当时，要使恒成立，则，0a1，又a00a1.，所以解得．a综上可得，实数的取值范围是故答案为：xfxx的极大值点为______，极大值为______.fxfex15.已知函数，则e【答案】【解析】①.2e②.2ln2【分析】首先求函数的导数，并求，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值.fefe1e【详解】易求fx，，x0x11fefe2fe所以因此，则，eex21fx2lnxfx，，exef(x)>0得0x2e，由.fx0x2e得由所以函数在2e上单调递增，在上单调递减．fx因此的极大值点为故答案为：2e；22yaxb，极大值为fxx2ef2e2ln2e22ln2.16.已知直线与曲线的最大值为___________.yax2相切，则【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标，求出函数yax2的导数，利用导数的几何意义结合已知条件建立关系求出a+b即可得解.a【详解】设切点为，由x,y00yax2求导得y，xayaxbyax2相切，则ax10y2，0因直线与曲线，解得，则0yaxbyaxbab2，于是得，而切点在直线上，即00aba(2a)(a11，当且仅当a1时取“=”，2因此，所以当ab1时，取最大值1.故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4axa0，q：实数x满足|x3|1.17.设p：实数x满足x22（1）若a1，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；a0（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．(2,【答案】（1）；4[,2]（2）.3【解析】qp1）解不等式化简命题，，再求交集作答.p（2）根据给定条件化简命题，结合（1）中信息，利用集合的包含关系求解作答.【小问1详解】由|x3|1，得1x31，解得2qx(2,4)4，于是命题：，x当a1时，由x4x30，解得1x3，于是命题px：，2q由命题，均为真命题，得x(2,，p(2,所以实数x的取值范围【小问2详解】.a024axa20ax3a，解得，于是命题px(a,3a)，当时，由x：q由是的充分不必要条件，得p(2,ꢀ(a,3a)，a2a24434a2a2，则a2，因此或，解得或a4a4334[,2]所以实数a的取值范围是.38x12x18.（1）当x1时，求的最小值；31f(x)log2x21xf(a)fb0（2）已知函数，若对任意的正数a，b，满足，求ab的最小值.【答案】（1）102）12【解析】8x142x2(x2，然后使用基本不等式求解；1）先把化为(x（2）先判断函数f(x)为单调递减的奇函数，然后得ab1，最后利用基本不等式中常数代换求解即可.8x142x2(x2x1，所以x10，1），因为(x8x1442x2(x24(x210，所以(x(x4x18x1(xx3时取等号，所以2x当且仅当，即的最小值为10.1x2xx，所以x1x0恒成立，故f(x)的定义域为R，（2）因为x2222f(x)f(x)log2x1x2x1x102且由，所以f(x)为奇函数，f(a)fb0f(a)fb)，，得12f(x)log2x1x2，易知函数f(x)在R上是减函数，又x21xa1bab1，因为a0从而所以，所以，b0，3131babbaab6626612.ababaabbab11a，b当且仅当，即时等号成立.a2631故的最小值为12.ab19求解下列两题fx12mfxa（1）已知函数xa0且a1ax2时，若不等式（对a2x1,3m恒成立，求实数的取值范围．任意（2）已知函数fx2a4x2x1有解，求实数的取值范围．0xfx，若关于的方程a【答案】（1）,32(0,)（2）【解析】【分析1）利用对数运算化简，再根据不等式恒成立，转化为求函数fx12x2x的最小值，即可求解；gxfx122112a（2）首先参变分离【小问1详解】，根据方程有解，转化为求函数的值域问题，即可求解.22x2x21x1,3，xx设gxfx12log2，22x122xx1121x1,3．再设t，21x217219t1x1,3,x，，，2x13913log23，gxg1log2故fx12mx3恒成立，对任意x2mgxmlog23，即；m故实数的取值范围为,32【小问2详解】2x由题意，关于的方程2a2x210有解，x111221412a2t0x则，令2，2attt，2x2x221214上单调递增，所以当在时，，t0y0又函数yt函数的值域为，2a0a0，要使原方程有解，只需，则．a故实数的取值范围为20.已知函数fxxx.（1）求的最小值；fx12x，都有x（2）证明：对一切成立.ex11【答案】(I)f().（Ⅱ）见解析.ee【解析】1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小12x2x)lnxxx值2）对一切，都有成立，即，结合（1）中结论可知exee1x2m(x)，构造新函数，分析其最大值，可得答案．eexe1）f(x)的定义域为)，f(x)的导数f(x)1lnx．1，解得f(x)0x令令；e1，解得f(x)00x．e11从而f(x)在(0,)单调递减，在(，)单调递增．ee11x所以，当时，f(x)取得最小值．ee12（2）若lnxexx2则x，exe11由（1）得：，当且仅当x时，取最小值；eex21xexm(x)(x)，则设，exex(x)0m(x)，单调递增，时，x)(x)0m(x)，单调递减，时，x1时，m(x)1故当取最大值e12x)，都有lnx故对一切成立．ex【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．21.已知函数x1axxaR.fxe（1）若函数在x处的切线与直线3xy0fxa平行，求的值；（2）若不等式fxxa1xa恒成立，求实数的取值范围.对一切a1【答案】（1）（2）,1【解析】a1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；gxfxxa1（2时，可知单调递增，由此可知gx对任意a10x；当时，可知在上单调递减，0,1agxgxg1