山东省淄博重点中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

淄博重点中学2023级高一上学期数学期中考试一．选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，集合，下列关系正确的是（）A． B． C． D．2．已知命题：，，那么命题的否定是（）A．， B．， C．， D．，3．下列各组的两个函数为相等函数的是（）A．，B．，C．，D．，4．已知函数则（）A． B．2 C． D．35．已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．或 C．或 D．6．对于实数a，b，c，下列命题中正确的（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二．多选题（共4小题）9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．10．已知集合，，若，则（）A． B．1 C．0 D．211．已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，当时，，则下列结论正确的是（）A． B．为奇函数 C．为偶函数 D．为上的增函数12．函数的图像可能是（）A． B．C． D．三．填空题（共4小题）13．函数的定义域是________．14．已知函数是幂函数，且在上为减函数，则________．15．函数，在定义域R上满足对任意实数都有，则a的取值范围是________．16．已知函数的值域为R，侧实数m的取值范围是________．四．解答题（共6小题）17．已知集合，，（1）求，；（2）若，求实数a的取值范围．18．（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；19．已知集合，集合，命题：，命题：．（1）当实数a为何值时，p是q的充要条件；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（I）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?21．已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，，若，求实数t的取值范围．22．已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）用定义法证明函数在上单调递增；（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围．淄博重点中学2023级高一上学期期中考试参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据元素与集合的关系可解．【解答】解：因为集合，集合，对于A，符合方程，故A正确，对于B，A是数集，B是点集，，故B错误，对于C，，故C错误，对于D，不符合符合方程，故D错误，故选：A．【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．2．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：，，那么命题p的否定是，．故选：D．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．3．【分析】通过求函数的定义域，可看出A，B两选项函数的定义域不同，两函数不相等，而选项C的两函数解析式不同，也不相等，只能选D．【解答】解：A．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；B．的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不相等；C．，，解析式不同，不相等；D．的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，相等．故选：D．【点评】考查函数的定义，判断两函数相等的方法：看定义域和解析式是否都相同．4．【分析】由题意，利用分段函数的解析式先求出的值，可得要求式子的值．【解答】解：函数，则，故选：D．【点评】本题主要考查利用分段函数的解析式求函数的值，属于基础题．5．答案：D6．答案：B7．【分析】将不等式有解转化为即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式有解，即即可，，则当且仅当，即，即时取等号，此时，，即，则由得，即，得或，即实数m的取值范围是，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．8．【分析】根据条件构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设，则不等式等价为，即当时，为减函数，是奇函数，是偶函数，且，作出的图象如图：，当时，，即，当时，，即，综上x的取值范围是，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．二．多选题（共4小题）9．【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：在上单调递减，不符合题意；为偶函数且在上单调递增，符合题意；为奇函数，不符合题意；为偶函数，且在上单调递增，符合题意．故选：BD．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．10．【分析】可求出，根据可得出，然后讨论a：时，显然满足题意；时，可得出或1，解出a的值即可．【解答】解：，，且，，①时，，满足题意；②时，，则或1，或1，综上得或1或0．故选：ABC．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．【分析】求得的值判断选项A，利用函数奇偶性定义判断选项BC；利用函数单调性定义判断选项D．【解答】解：，，，可令，则，得，故A正确；令，则，得．故B正确，C错误；设任意实数，且，令，，则，，，又当时，，，即，为R上的增函数，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．12．【分析】分，，三种情况讨论，判断函数的单调性即可求解．【解答】解：当时，，为反比例函数，故选项C符合；当时，，当时，，当时，，由复合函数的性质可得在，上单调递增，在，上单调递减，故选项B符合；当时，，定义域为，当时，，当时，，由复合函数的性质可得在，，，上单调递减，故选项A符合．故选：ABC．【点评】本题主要考查函数图像的判断，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分式的分母不为0，解不等式即可求得结果．【解答】解：由题意知，，解得且，所以函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数定义域的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14．【分析】运用幂函数的定义，可得，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．【解答】解：由幂函数定义可知：，解得或，又函数在上为减函数，当时，，符合题意，当时，，不符合题意则，，，解得，故实数a的取值范围为，故答案为：，【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．15．【分析】由已知可得函数，在定义域R上为减函数，则，解得a的取值范围．【解答】解：若在定义域R上满足对任意实数都有，则函数，在定义域R上为减函数，则解得：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．16．【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对m分类讨论，分别计算可得．【解答】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示：当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为R，不符合题意；当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为R，不符合题意；当时，在时，即，此时的值域为R，符合题意，当时，当时当时，此时，即，此时函数的值域为R，符合题意；综上可得，即实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的值域，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．四．解答题（共6小题）17．【分析】（1）根据交集，并集的定义即可求；（2）由已知得到C为A的子集，利用数轴确定出a的范围．【解答】解：（1），，，；（2），，，，，，则实数a的取值范围为．【点评】此题考查了交集、并集的运算，属于基础题．18．【分析】（1）直接用换元法或整体配凑法即可求得解析式；（2）直接用待定系数法即可求得解析式；【解答】解：（1）设（2）是二次函数，设，由，得，由，得，整理得，，，，，；【点评】本题主要考查了求函数解析式，属中档题．19．【分析】（1）求出集合B，根据p是q的充要条件得到，即可求出a的值，（2）由题意可得A是B的真子集，分类讨论，得到关于a的不等式组，解得即可．【解答】解：（1），即，有，解得，故，因为p是q的充要条件，所以，故的解集也为，所以，即；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，①当，此时即或0，符合题意，②当时，当或时，，即，此时，解得，由当时，，不合题意，所以当时，，即，此时，解得，综上所述a的取值范围为．【点评】本题考查了解二次不等式、充分必要条件与集合的包含关系，属于中档题．20．【分析】（I）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（II）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．【解答】解：（I）当时，该项目获利为S，则，当时，，因此，该项目不会获利当时，S取得最大值，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（II）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：当时，所以当时，取得最小值240；当时，当且仅当，即时，取得最小值200因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．【点评】知识点基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用，考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式．21．【分析】（1）分及，利用二次函数的性质讨论即可求得；（2）写出函数在上的解析式，利用函数性质可知，解出即可．【解答】解：（1），当时，，此时；当时，在上单调递减，此时；综上，（2）当时，，即易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，且，，解得或，综上，实数t的取值范围为．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．22．【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得a，b；（2）根据函数